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1. 分解因式：$a^2 - 4 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
$\boldsymbol{(a+2)(a-2)}$
解析
【分析】
观察待分解的式子$a^2-4$，它是两项且符号相反，每一项都能写成平方的形式，符合平方差公式的结构特征。我们可以利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解，只需确定公式中对应的a和b，代入即可得到结果。
【解析】
解：首先将原式改写为平方差的形式：
$a^2 - 4 = a^2 - 2^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，将$b=2$代入公式得：
$a^2 - 2^2 = (a+2)(a-2)$
【答案】
$(a+2)(a-2)$
【知识点】
平方差公式，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查对平方差公式结构的识别与应用，掌握平方差公式“两项异号、均为平方形式”的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
观察待分解的式子$a^2-4$，它是两项且符号相反，每一项都能写成平方的形式，符合平方差公式的结构特征。我们可以利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解，只需确定公式中对应的a和b，代入即可得到结果。
【解析】
解：首先将原式改写为平方差的形式：
$a^2 - 4 = a^2 - 2^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，将$b=2$代入公式得：
$a^2 - 2^2 = (a+2)(a-2)$
【答案】
$(a+2)(a-2)$
【知识点】
平方差公式，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查对平方差公式结构的识别与应用，掌握平方差公式“两项异号、均为平方形式”的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.分解因式：$4x^2 -9y^2 =$ 。
答案
解：
$4x^2 - 9y^2$
$=(2x)^2 - (3y)^2$
$=(2x+3y)(2x-3y)$
$4x^2 - 9y^2$
$=(2x)^2 - (3y)^2$
$=(2x+3y)(2x-3y)$
解析
【分析】
观察待分解的式子，属于两项差的形式，且两项都可以写成某个整式的平方，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征。首先将两项分别改写为平方形式，确定公式中的$a$和$b$：$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$，对应$a=2x$，$b=3y$，再代入平方差公式即可得到分解结果。
【解析】
$4x^2 - 9y^2$
$=(2x)^2 - (3y)^2$
$=(2x+3y)(2x-3y)$
【答案】
$(2x+3y)(2x-3y)$
【知识点】
平方差公式；公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，正确确定公式中对应的$a$、$b$的值，分解后需确认结果为最简因式乘积形式，无法继续分解即可。
【难度系数】
0.9
观察待分解的式子，属于两项差的形式，且两项都可以写成某个整式的平方，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征。首先将两项分别改写为平方形式，确定公式中的$a$和$b$：$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$，对应$a=2x$，$b=3y$，再代入平方差公式即可得到分解结果。
【解析】
$4x^2 - 9y^2$
$=(2x)^2 - (3y)^2$
$=(2x+3y)(2x-3y)$
【答案】
$(2x+3y)(2x-3y)$
【知识点】
平方差公式；公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，正确确定公式中对应的$a$、$b$的值，分解后需确认结果为最简因式乘积形式，无法继续分解即可。
【难度系数】
0.9
3. $2027^2 - 2026^2 = \_\_\_\_\_\_$
答案
$\boldsymbol{4053}$
解析
【分析】
观察算式是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式$a^2-b^2$的结构特征，因此可以用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行简便计算，避免直接计算大数平方的繁琐运算。首先确定公式中$a=2027$，$b=2026$，代入公式后先计算加减法再算乘法即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=2027$，$b=2026$，代入计算：
$\begin{aligned}2027^2 - 2026^2&=(2027+2026)×(2027-2026)\\&=4053×1\\&=4053\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4053}$
【知识点】
平方差公式，因式分解简便运算
【点评】
本题是基础运算题，核心是识别算式的平方差结构，通过公式变形可以大幅降低计算量，减少出错概率，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
观察算式是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式$a^2-b^2$的结构特征，因此可以用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行简便计算，避免直接计算大数平方的繁琐运算。首先确定公式中$a=2027$，$b=2026$，代入公式后先计算加减法再算乘法即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=2027$，$b=2026$，代入计算：
$\begin{aligned}2027^2 - 2026^2&=(2027+2026)×(2027-2026)\\&=4053×1\\&=4053\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4053}$
【知识点】
平方差公式，因式分解简便运算
【点评】
本题是基础运算题，核心是识别算式的平方差结构，通过公式变形可以大幅降低计算量，减少出错概率，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.若一个长方形的面积为$4y^2 - x^2$，宽为$2y - x$，则该长方形的长为。
答案
$\boldsymbol{2y+x}$
解析
【分析】
要计算长方形的长，首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，由此可推导出长=面积÷宽。接下来观察面积的表达式$4y^2 - x^2$，它符合平方差公式的结构（两个数的平方差），可以先利用平方差公式对面积进行因式分解，再除以宽的表达式，约分后就能得到长的结果。
【解析】
根据长方形面积公式可知：
长方形的长 = 面积 ÷ 宽
代入已知条件得：
$\begin{aligned}长&=(4y^2 - x^2)÷(2y - x)\\&=[(2y)^2 - x^2]÷(2y - x)\\&=(2y - x)(2y + x)÷(2y - x)\end{aligned}$
因为宽$2y - x≠0$，所以约去公因式$2y - x$，得长为$2y + x$。
【答案】
$2y+x$
【知识点】
平方差公式，长方形面积计算，整式除法
【点评】
本题是因式分解与几何计算结合的基础题，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，结合长方形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算长方形的长，首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，由此可推导出长=面积÷宽。接下来观察面积的表达式$4y^2 - x^2$，它符合平方差公式的结构（两个数的平方差），可以先利用平方差公式对面积进行因式分解，再除以宽的表达式，约分后就能得到长的结果。
【解析】
根据长方形面积公式可知：
长方形的长 = 面积 ÷ 宽
代入已知条件得：
$\begin{aligned}长&=(4y^2 - x^2)÷(2y - x)\\&=[(2y)^2 - x^2]÷(2y - x)\\&=(2y - x)(2y + x)÷(2y - x)\end{aligned}$
因为宽$2y - x≠0$，所以约去公因式$2y - x$，得长为$2y + x$。
【答案】
$2y+x$
【知识点】
平方差公式，长方形面积计算，整式除法
【点评】
本题是因式分解与几何计算结合的基础题，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，结合长方形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.分解因式$a^2(b+c)-4(b+c)$的结果是 。
答案
解：
$a^2(b+c)-4(b+c)$
$=(b+c)(a^2 - 4)$
$=(b+c)(a+2)(a-2)$
$a^2(b+c)-4(b+c)$
$=(b+c)(a^2 - 4)$
$=(b+c)(a+2)(a-2)$
解析
【分析】
解题时先观察多项式的结构特征：式子两项都含有公因式$(b+c)$，因此第一步先提取公因式；提取公因式后得到的因式$a^2-4$符合平方差公式的形式（即两个数的平方差），因此再套用平方差公式继续分解，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：$a^2(b+c)-4(b+c)$
先提取公因式$(b+c)$，得：
$=(b+c)(a^2 - 4)$
再对$a^2-4$套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（这里$m=a$，$n=2$），得：
$=(b+c)(a+2)(a-2)$
【答案】
$(b+c)(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规解法，遵循“一提二套三查”的步骤即可求解，要注意最终结果需分解彻底，不要停留在提取公因式后的步骤。
【难度系数】
0.8
解题时先观察多项式的结构特征：式子两项都含有公因式$(b+c)$，因此第一步先提取公因式；提取公因式后得到的因式$a^2-4$符合平方差公式的形式（即两个数的平方差），因此再套用平方差公式继续分解，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：$a^2(b+c)-4(b+c)$
先提取公因式$(b+c)$，得：
$=(b+c)(a^2 - 4)$
再对$a^2-4$套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（这里$m=a$，$n=2$），得：
$=(b+c)(a+2)(a-2)$
【答案】
$(b+c)(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规解法，遵循“一提二套三查”的步骤即可求解，要注意最终结果需分解彻底，不要停留在提取公因式后的步骤。
【难度系数】
0.8
6.把下列各式进行因式分解.
(1)$-\dfrac{1}{25}+4y^2$；
(2)$9a^3b-ab^3$；
(3)$(5m+2n)^2-(2m+5n)^2$.
(1)$-\dfrac{1}{25}+4y^2$；
(2)$9a^3b-ab^3$；
(3)$(5m+2n)^2-(2m+5n)^2$.
答案
解：
(1) 原式$=4y^2 - (\dfrac{1}{5})^2$
$=(2y + \dfrac{1}{5})(2y - \dfrac{1}{5})$
(2) 原式$=ab(9a^2 - b^2)$
$=ab[(3a)^2 - b^2]$
$=ab(3a + b)(3a - b)$
(3) 原式$=[(5m+2n)+(2m+5n)][(5m+2n)-(2m+5n)]$
$=(7m + 7n)(3m - 3n)$
$=7(m+n)· 3(m-n)$
$=21(m+n)(m-n)$
(1) 原式$=4y^2 - (\dfrac{1}{5})^2$
$=(2y + \dfrac{1}{5})(2y - \dfrac{1}{5})$
(2) 原式$=ab(9a^2 - b^2)$
$=ab[(3a)^2 - b^2]$
$=ab(3a + b)(3a - b)$
(3) 原式$=[(5m+2n)+(2m+5n)][(5m+2n)-(2m+5n)]$
$=(7m + 7n)(3m - 3n)$
$=7(m+n)· 3(m-n)$
$=21(m+n)(m-n)$
解析
【分析】
这三道因式分解题均围绕平方差公式展开，解题思路清晰：
(1) 先调整式子顺序，转化为两个数平方作差的标准平方差结构，直接套用公式即可；
(2) 先观察式子特征，两项均含公因式$ab$，第一步先提取公因式，再对剩余多项式判断是否符合平方差结构，符合则继续套用公式分解，要注意分解彻底；
(3) 将$(5m+2n)$和$(2m+5n)$分别看作整体，先直接套用平方差公式展开，再合并同类项，最后提取系数中的公因式得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=4y^2 - (\dfrac{1}{5})^2$
$=(2y + \dfrac{1}{5})(2y - \dfrac{1}{5})$
(2) 原式$=ab(9a^2 - b^2)$
$=ab[(3a)^2 - b^2]$
$=ab(3a + b)(3a - b)$
(3) 原式$=[(5m+2n)+(2m+5n)][(5m+2n)-(2m+5n)]$
$=(7m + 7n)(3m - 3n)$
$=7(m+n)· 3(m-n)$
$=21(m+n)(m-n)$
【答案】
(1)$(2y+\dfrac{1}{5})(2y-\dfrac{1}{5})$
(2)$ab(3a+b)(3a-b)$
(3)$21(m+n)(m-n)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题可遵循“一提二套三查”的步骤：先判断是否有公因式可提，再看能否套用对应公式，最后检查是否分解到不能再分解为止，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题关键。
【难度系数】
0.8
这三道因式分解题均围绕平方差公式展开，解题思路清晰：
(1) 先调整式子顺序，转化为两个数平方作差的标准平方差结构，直接套用公式即可；
(2) 先观察式子特征，两项均含公因式$ab$，第一步先提取公因式，再对剩余多项式判断是否符合平方差结构，符合则继续套用公式分解，要注意分解彻底；
(3) 将$(5m+2n)$和$(2m+5n)$分别看作整体，先直接套用平方差公式展开，再合并同类项，最后提取系数中的公因式得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=4y^2 - (\dfrac{1}{5})^2$
$=(2y + \dfrac{1}{5})(2y - \dfrac{1}{5})$
(2) 原式$=ab(9a^2 - b^2)$
$=ab[(3a)^2 - b^2]$
$=ab(3a + b)(3a - b)$
(3) 原式$=[(5m+2n)+(2m+5n)][(5m+2n)-(2m+5n)]$
$=(7m + 7n)(3m - 3n)$
$=7(m+n)· 3(m-n)$
$=21(m+n)(m-n)$
【答案】
(1)$(2y+\dfrac{1}{5})(2y-\dfrac{1}{5})$
(2)$ab(3a+b)(3a-b)$
(3)$21(m+n)(m-n)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题可遵循“一提二套三查”的步骤：先判断是否有公因式可提，再看能否套用对应公式，最后检查是否分解到不能再分解为止，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题关键。
【难度系数】
0.8
7.把下列各式进行因式分解.
(1)$16a^4 - b^4$；
(2)$(m + n)^2 - 25n^2$；
(3)$(p + 1)(p - 4) + 3p$.
(1)$16a^4 - b^4$；
(2)$(m + n)^2 - 25n^2$；
(3)$(p + 1)(p - 4) + 3p$.
答案
解：
(1)
原式$=(4a^2)^2 - (b^2)^2$
$=(4a^2 + b^2)(4a^2 - b^2)$
$=(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2)
原式$=(m + n)^2 - (5n)^2$
$=[(m + n) + 5n][(m + n) - 5n]$
$=(m + 6n)(m - 4n)$
(3)
原式$=p^2 - 4p + p - 4 + 3p$
$=p^2 - 4$
$=(p + 2)(p - 2)$
(1)
原式$=(4a^2)^2 - (b^2)^2$
$=(4a^2 + b^2)(4a^2 - b^2)$
$=(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2)
原式$=(m + n)^2 - (5n)^2$
$=[(m + n) + 5n][(m + n) - 5n]$
$=(m + 6n)(m - 4n)$
(3)
原式$=p^2 - 4p + p - 4 + 3p$
$=p^2 - 4$
$=(p + 2)(p - 2)$
解析
【分析】
因式分解的核心思路是先观察式子特征，优先判断是否可用公式法分解，若不能直接分解则先化简整理式子，且最终结果要分解到不能再分解为止。
(1) 观察式子$16a^4 - b^4$，可变形为两个平方项相减的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，第一次用平方差分解后，剩余的$4a^2-b^2$仍为平方差结构，需再次分解；
(2) 式子$(m + n)^2 - 25n^2$中，$25n^2$可写为$(5n)^2$，整体属于平方差结构，直接套用平方差公式后化简括号内的同类项即可；
(3) 式子$(p + 1)(p - 4) + 3p$不能直接用公式分解，先计算多项式乘法、合并同类项化简式子，再判断化简后的式子是否符合平方差公式特征，再进行分解。
【解析】
(1)
原式$=(4a^2)^2 - (b^2)^2$
$=(4a^2 + b^2)(4a^2 - b^2)$
$=(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2)
原式$=(m + n)^2 - (5n)^2$
$=[(m + n) + 5n][(m + n) - 5n]$
$=(m + 6n)(m - 4n)$
(3)
原式$=p^2 - 4p + p - 4 + 3p$
$=p^2 - 4$
$=(p + 2)(p - 2)$
【答案】
(1)$(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2)$(m + 6n)(m - 4n)$
(3)$(p + 2)(p - 2)$
【知识点】
平方差公式因式分解、整式乘法运算、合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需注意：一是要准确识别平方差公式的结构特征，二是因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，三是对于不能直接分解的式子，要先通过整式运算化简后再分解。
【难度系数】
0.8
因式分解的核心思路是先观察式子特征，优先判断是否可用公式法分解，若不能直接分解则先化简整理式子，且最终结果要分解到不能再分解为止。
(1) 观察式子$16a^4 - b^4$，可变形为两个平方项相减的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，第一次用平方差分解后，剩余的$4a^2-b^2$仍为平方差结构，需再次分解；
(2) 式子$(m + n)^2 - 25n^2$中，$25n^2$可写为$(5n)^2$，整体属于平方差结构，直接套用平方差公式后化简括号内的同类项即可；
(3) 式子$(p + 1)(p - 4) + 3p$不能直接用公式分解，先计算多项式乘法、合并同类项化简式子，再判断化简后的式子是否符合平方差公式特征，再进行分解。
【解析】
(1)
原式$=(4a^2)^2 - (b^2)^2$
$=(4a^2 + b^2)(4a^2 - b^2)$
$=(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2)
原式$=(m + n)^2 - (5n)^2$
$=[(m + n) + 5n][(m + n) - 5n]$
$=(m + 6n)(m - 4n)$
(3)
原式$=p^2 - 4p + p - 4 + 3p$
$=p^2 - 4$
$=(p + 2)(p - 2)$
【答案】
(1)$(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2)$(m + 6n)(m - 4n)$
(3)$(p + 2)(p - 2)$
【知识点】
平方差公式因式分解、整式乘法运算、合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需注意：一是要准确识别平方差公式的结构特征，二是因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，三是对于不能直接分解的式子，要先通过整式运算化简后再分解。
【难度系数】
0.8
8. 提升题＞新定义题:如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“美丽数”.如 $4=2^2 - 0^2,12=4^2 - 2^2,20=6^2 - 4^2$,因此 4,12,20 都是“美丽数”.
(1)36 是“美丽数”吗?为什么?
(2)“美丽数”一定是4的倍数吗?请说明理由.
(1)36 是“美丽数”吗?为什么?
(2)“美丽数”一定是4的倍数吗?请说明理由.
答案
解：
(1) 36是“美丽数”。
理由：因为$36 = 10^2 - 8^2$，8和10是两个连续偶数，满足“美丽数”的定义，因此36是“美丽数”。
(2) “美丽数”一定是4的倍数。
理由：设两个连续偶数为$2n$和$2n+2$（$n$为整数），根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2-2n)(2n+2+2n)\\&=2×(4n+2)\\&=4(2n+1)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$2n+1$是正整数，因此“美丽数”可以表示为4和整数的乘积，即“美丽数”一定是4的倍数。
(1) 36是“美丽数”。
理由：因为$36 = 10^2 - 8^2$，8和10是两个连续偶数，满足“美丽数”的定义，因此36是“美丽数”。
(2) “美丽数”一定是4的倍数。
理由：设两个连续偶数为$2n$和$2n+2$（$n$为整数），根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2-2n)(2n+2+2n)\\&=2×(4n+2)\\&=4(2n+1)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$2n+1$是正整数，因此“美丽数”可以表示为4和整数的乘积，即“美丽数”一定是4的倍数。
解析
【分析】
(1) 要判断36是否为“美丽数”，需紧扣“美丽数是两个连续偶数的平方差”这一定义思考：我们可以设较小的连续偶数为x，较大的为x+2，根据平方差等于36列方程求解，若解得x为偶数，则符合定义。
(2) 要判断“美丽数”是否一定是4的倍数，属于代数证明类问题：因为偶数都可以表示为2的倍数，所以先设两个连续偶数为2n和2n+2（n为整数），再代入平方差公式展开化简，观察化简结果是否含有因数4即可。
【解析】
(1) 36是“美丽数”。
理由：设两个连续偶数中较小的为x，较大的为x+2，根据题意列方程：
$(x+2)^2 - x^2 = 36$
利用平方差公式因式分解得：$(x+2-x)(x+2+x)=36$
化简得$2(2x+2)=36$，解得$x=8$
对应较大的偶数为$8+2=10$，8和10是连续偶数，即$36=10^2 -8^2$，符合“美丽数”的定义，因此36是“美丽数”。
(2) “美丽数”一定是4的倍数，理由如下：
设两个连续偶数分别为$2n$和$2n+2$（$n$为整数），则它们的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2-2n)(2n+2+2n)\\&=2×(4n+2)\\&=4(2n+1)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$2n+1$是正整数，因此“美丽数”可以表示为4和正整数的乘积，即“美丽数”一定是4的倍数。
【答案】
(1) 36是“美丽数”，因为$36 = 10^2 - 8^2$，8和10是两个连续偶数，符合“美丽数”定义；
(2) “美丽数”一定是4的倍数，理由见解析。
【知识点】
平方差公式，新定义运算，整式化简
【点评】
本题以新定义“美丽数”为背景，考查平方差公式的应用，既要求学生准确理解新定义的内涵，也要求学生熟练掌握用字母表示数、因式分解化简代数式的方法，能有效考察学生的逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断36是否为“美丽数”，需紧扣“美丽数是两个连续偶数的平方差”这一定义思考：我们可以设较小的连续偶数为x，较大的为x+2，根据平方差等于36列方程求解，若解得x为偶数，则符合定义。
(2) 要判断“美丽数”是否一定是4的倍数，属于代数证明类问题：因为偶数都可以表示为2的倍数，所以先设两个连续偶数为2n和2n+2（n为整数），再代入平方差公式展开化简，观察化简结果是否含有因数4即可。
【解析】
(1) 36是“美丽数”。
理由：设两个连续偶数中较小的为x，较大的为x+2，根据题意列方程：
$(x+2)^2 - x^2 = 36$
利用平方差公式因式分解得：$(x+2-x)(x+2+x)=36$
化简得$2(2x+2)=36$，解得$x=8$
对应较大的偶数为$8+2=10$，8和10是连续偶数，即$36=10^2 -8^2$，符合“美丽数”的定义，因此36是“美丽数”。
(2) “美丽数”一定是4的倍数，理由如下：
设两个连续偶数分别为$2n$和$2n+2$（$n$为整数），则它们的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2-2n)(2n+2+2n)\\&=2×(4n+2)\\&=4(2n+1)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$2n+1$是正整数，因此“美丽数”可以表示为4和正整数的乘积，即“美丽数”一定是4的倍数。
【答案】
(1) 36是“美丽数”，因为$36 = 10^2 - 8^2$，8和10是两个连续偶数，符合“美丽数”定义；
(2) “美丽数”一定是4的倍数，理由见解析。
【知识点】
平方差公式，新定义运算，整式化简
【点评】
本题以新定义“美丽数”为背景，考查平方差公式的应用，既要求学生准确理解新定义的内涵，也要求学生熟练掌握用字母表示数、因式分解化简代数式的方法，能有效考察学生的逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
