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8. 对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易。在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：
如解方程组：$\begin{cases} x + 2(x + y) = 3, ① \\ x + y = 1。② \end{cases}$
解：把②代入①，得 $x + 2×1 = 3$，解得 $x = 1$。
把 $x = 1$ 代入②，得 $y = 0$。所以原方程组的解为 $\begin{cases} x = 1, \\ y = 0。 \end{cases}$
请用同样的方法解方程组：$\begin{cases} 2a = -1 + 3b, \\ 3b = 11 - 3a。 \end{cases}$
如解方程组：$\begin{cases} x + 2(x + y) = 3, ① \\ x + y = 1。② \end{cases}$
解：把②代入①，得 $x + 2×1 = 3$，解得 $x = 1$。
把 $x = 1$ 代入②，得 $y = 0$。所以原方程组的解为 $\begin{cases} x = 1, \\ y = 0。 \end{cases}$
请用同样的方法解方程组：$\begin{cases} 2a = -1 + 3b, \\ 3b = 11 - 3a。 \end{cases}$
答案
8. 解:$\begin{cases}2a=-1+3b①, \\ 3b=11-3a②。\end{cases}$
将②代入①,得 $2a=-1+11-3a$,
即 $5a=10$,
解得 $a=2$。
将 $a=2$ 代入②,得 $3b=11-3×2=5$,
解得 $b=\frac{5}{3}$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}a=2, \\ b=\frac{5}{3}。\end{cases}$
将②代入①,得 $2a=-1+11-3a$,
即 $5a=10$,
解得 $a=2$。
将 $a=2$ 代入②,得 $3b=11-3×2=5$,
解得 $b=\frac{5}{3}$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}a=2, \\ b=\frac{5}{3}。\end{cases}$
解析
【分析】
本题要求用整体代入法解二元一次方程组，解题时先观察两个方程的结构特点，发现方程①中含有“3b”，而方程②直接给出了3b的表达式，因此可以将方程②中的3b整体代入方程①，消去未知数b，先求出a的值，再将a的值代回原方程求出b的值，即可得到方程组的解。
【解析】
解：$\begin{cases}2a=-1+3b①, \\ 3b=11-3a②。\end{cases}$
将②代入①，得 $2a=-1+11-3a$，
移项合并同类项得 $5a=10$，
解得 $a=2$。
将 $a=2$ 代入②，得 $3b=11-3×2=5$，
解得 $b=\frac{5}{3}$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}a=2, \\ b=\frac{5}{3}。\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}a=2, \\ b=\frac{5}{3}。\end{cases}$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组，代入消元思想
【点评】
本题是整体代入法解二元一次方程组的典型应用，重点考查学生的观察能力和对消元思想的灵活运用，通过整体代入可简化计算步骤，提升解题效率，是解特殊结构二元一次方程组的常用技巧。
【难度系数】
0.8
本题要求用整体代入法解二元一次方程组，解题时先观察两个方程的结构特点，发现方程①中含有“3b”，而方程②直接给出了3b的表达式，因此可以将方程②中的3b整体代入方程①，消去未知数b，先求出a的值，再将a的值代回原方程求出b的值，即可得到方程组的解。
【解析】
解：$\begin{cases}2a=-1+3b①, \\ 3b=11-3a②。\end{cases}$
将②代入①，得 $2a=-1+11-3a$，
移项合并同类项得 $5a=10$，
解得 $a=2$。
将 $a=2$ 代入②，得 $3b=11-3×2=5$，
解得 $b=\frac{5}{3}$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}a=2, \\ b=\frac{5}{3}。\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}a=2, \\ b=\frac{5}{3}。\end{cases}$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组，代入消元思想
【点评】
本题是整体代入法解二元一次方程组的典型应用，重点考查学生的观察能力和对消元思想的灵活运用，通过整体代入可简化计算步骤，提升解题效率，是解特殊结构二元一次方程组的常用技巧。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 在《九章算术》的“方程”一章中，二元一次方程组是用算筹表示的，若图5-2-1①所示的算筹图表示的方程组为$\begin{cases} 3x + 2y = 19, \\ x + 4y = 23, \end{cases}$则图5-2-1②表示的方程组的解为________。
9. 在《九章算术》的“方程”一章中，二元一次方程组是用算筹表示的，若图5-2-1①所示的算筹图表示的方程组为$\begin{cases} 3x + 2y = 19, \\ x + 4y = 23, \end{cases}$则图5-2-1②表示的方程组的解为________。
答案
9. $\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$
解析
【分析】
首先要根据已知的图①对应的方程组，总结算筹的计数规则：1. 每一行前两部分的竖线数量，分别对应x、y的系数；2. 每一行第三部分是常数项，左侧的横线数代表十位上的数字（1根横线代表10），右侧部分上方1根横线代表5，加上下方竖线的数量就是个位上的数字，常数项=十位数字×10+个位数字。再根据规则写出图②对应的二元一次方程组，用消元法求解即可。
【解析】
根据图①对应的方程组，总结算筹计数规则如下：
每行前两部分的竖线数分别为x、y的系数；每行第三部分为常数项：左边横线数是十位数字（1根横线对应10），右边部分上方1根横线代表5，加下方竖线数为个位数字，常数项=十位数字×10+个位数字。
据此写出图②的方程组：
第一行：x系数为2，y系数为1，常数项=1×10+1=11，得方程$2x+y=11$；
第二行：x系数为4，y系数为3，常数项=2×10+(5+2)=27，得方程$4x+3y=27$。
解方程组$\begin{cases}2x+y=11&①\\4x+3y=27&②\end{cases}$：
由①得：$y=11-2x$ ③，
将③代入②：$4x+3(11-2x)=27$，
展开计算：$4x+33-6x=27$，
移项合并同类项：$-2x=-6$，解得$x=3$，
把$x=3$代入③得：$y=11-2×3=5$。
【答案】
$\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$
【知识点】
算筹计数规律，二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合我国古代算筹计数的传统文化，既考查规律探究能力，又考查二元一次方程组的求解能力，解题的关键是准确归纳算筹表示数的规则，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
首先要根据已知的图①对应的方程组，总结算筹的计数规则：1. 每一行前两部分的竖线数量，分别对应x、y的系数；2. 每一行第三部分是常数项，左侧的横线数代表十位上的数字（1根横线代表10），右侧部分上方1根横线代表5，加上下方竖线的数量就是个位上的数字，常数项=十位数字×10+个位数字。再根据规则写出图②对应的二元一次方程组，用消元法求解即可。
【解析】
根据图①对应的方程组，总结算筹计数规则如下：
每行前两部分的竖线数分别为x、y的系数；每行第三部分为常数项：左边横线数是十位数字（1根横线对应10），右边部分上方1根横线代表5，加下方竖线数为个位数字，常数项=十位数字×10+个位数字。
据此写出图②的方程组：
第一行：x系数为2，y系数为1，常数项=1×10+1=11，得方程$2x+y=11$；
第二行：x系数为4，y系数为3，常数项=2×10+(5+2)=27，得方程$4x+3y=27$。
解方程组$\begin{cases}2x+y=11&①\\4x+3y=27&②\end{cases}$：
由①得：$y=11-2x$ ③，
将③代入②：$4x+3(11-2x)=27$，
展开计算：$4x+33-6x=27$，
移项合并同类项：$-2x=-6$，解得$x=3$，
把$x=3$代入③得：$y=11-2×3=5$。
【答案】
$\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$
【知识点】
算筹计数规律，二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合我国古代算筹计数的传统文化，既考查规律探究能力，又考查二元一次方程组的求解能力，解题的关键是准确归纳算筹表示数的规则，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
10. 定义:我们把一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象与正比例函数 $y=x$ 的图象的交点称为一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的“不动点”。
例如,求 $y=2x-1$ 的“不动点”:联立方程 $\begin{cases} y=2x-1, \\ y=x, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=1, \\ y=1, \end{cases}$ 则 $y=2x-1$ 的“不动点”的坐标为 $(1,1)$。
(1)由定义可知,一次函数 $y=3x+2$ 的“不动点”的坐标为
(2)若一次函数 $y=mx+n$ 的“不动点”的坐标为 $(2,n-1)$,求 $m,n$ 的值;
(3)若一次函数 $y=kx-3(k≠0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,且一次函数 $y=kx-3$ 没有“不动点”,点 $P$ 为 $x$ 轴上一个动点,使得 $S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,求满足条件的点 $P$ 的坐标。
例如,求 $y=2x-1$ 的“不动点”:联立方程 $\begin{cases} y=2x-1, \\ y=x, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=1, \\ y=1, \end{cases}$ 则 $y=2x-1$ 的“不动点”的坐标为 $(1,1)$。
(1)由定义可知,一次函数 $y=3x+2$ 的“不动点”的坐标为
$(-1,-1)$
;(2)若一次函数 $y=mx+n$ 的“不动点”的坐标为 $(2,n-1)$,求 $m,n$ 的值;
(3)若一次函数 $y=kx-3(k≠0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,且一次函数 $y=kx-3$ 没有“不动点”,点 $P$ 为 $x$ 轴上一个动点,使得 $S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,求满足条件的点 $P$ 的坐标。
答案
10. (1) $(-1,-1)$
(2)解:因为一次函数 $y=mx+n$ 的“不动点”的坐标为 $(2,n-1)$,
所以 $n-1=2$,所以 $n=3$,
所以“不动点”的坐标为$(2,2)$,
所以 $2=2m+3$,解得 $m=-\frac{1}{2}$。
(3)解:因为一次函数 $y=kx-3$ 没有“不动点”,
所以一次函数 $y=kx-3$ 的图象与正比例函数 $y=x$ 的图象平行,
所以 $k=1$,所以 $y=x-3$,
所以 $A(3,0),B(0,-3)$。
设 $P(t,0)$,所以 $AP=|3-t|$,
所以 $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|t-3|×3$,
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×3×3$。
因为 $S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,
所以 $|t-3|=9$,所以 $t=12$ 或 $t=-6$,
所以 $P(-6,0)$ 或 $P(12,0)$。
(2)解:因为一次函数 $y=mx+n$ 的“不动点”的坐标为 $(2,n-1)$,
所以 $n-1=2$,所以 $n=3$,
所以“不动点”的坐标为$(2,2)$,
所以 $2=2m+3$,解得 $m=-\frac{1}{2}$。
(3)解:因为一次函数 $y=kx-3$ 没有“不动点”,
所以一次函数 $y=kx-3$ 的图象与正比例函数 $y=x$ 的图象平行,
所以 $k=1$,所以 $y=x-3$,
所以 $A(3,0),B(0,-3)$。
设 $P(t,0)$,所以 $AP=|3-t|$,
所以 $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|t-3|×3$,
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×3×3$。
因为 $S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,
所以 $|t-3|=9$,所以 $t=12$ 或 $t=-6$,
所以 $P(-6,0)$ 或 $P(12,0)$。
解析
【分析】
(1) 根据“不动点”的定义，求一次函数的不动点只需联立该一次函数与$y=x$的方程，解方程组得到的解就是不动点坐标，本题联立$y=3x+2$和$y=x$即可求解。
(2) 首先“不动点”在$y=x$上，横纵坐标相等，已知不动点横坐标为2，可得纵坐标也为2，先求出$n$的值，再将不动点坐标代入$y=mx+n$即可求出$m$的值。
(3) 一次函数没有“不动点”，说明它和$y=x$无交点，即两直线平行斜率相等，可得$k=1$，进而求出A、B两点坐标；设出P点坐标，用含P点横坐标的式子表示$△ ABP$的面积，根据面积关系列方程即可，注意P点在x轴上，距离计算要加绝对值，避免漏解。
【解析】
(1) 联立方程$\begin{cases} y=3x+2 \\ y=x \end{cases}$，将$y=x$代入第一个方程得$x=3x+2$，解得$x=-1$，则$y=x=-1$，即不动点坐标为$(-1,-1)$。
(2) 因为“不动点”是一次函数与$y=x$的交点，横纵坐标相等，已知不动点坐标为$(2,n-1)$，所以$n-1=2$，解得$n=3$，即不动点坐标为$(2,2)$；将$(2,2)$代入$y=mx+n$得$2=2m+3$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
(3) 一次函数$y=kx-3$没有“不动点”，说明它与$y=x$平行，因此$k=1$，一次函数解析式为$y=x-3$；
令$y=0$，得$x=3$，即$A(3,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，即$B(0,-3)$；
设$P(t,0)$，则$AP=|t-3|$，$△ ABP$的高为点B到x轴的距离3，因此$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × |t-3| × 3$，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × 3 × 3$；
由$S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$得$\frac{1}{2} × |t-3| × 3 = 3 × \frac{1}{2} × 3 × 3$，化简得$|t-3|=9$，解得$t=12$或$t=-6$，即P点坐标为$(-6,0)$或$(12,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(2) $\boldsymbol{m=-\frac{1}{2},n=3}$
(3) $\boldsymbol{(-6,0)}$或$\boldsymbol{(12,0)}$
【知识点】
新定义问题，一次函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题以新定义“不动点”为载体，综合考查一次函数的性质、方程组求解及几何应用，解题关键是准确理解新定义的含义，第三问需注意分类讨论点P的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 根据“不动点”的定义，求一次函数的不动点只需联立该一次函数与$y=x$的方程，解方程组得到的解就是不动点坐标，本题联立$y=3x+2$和$y=x$即可求解。
(2) 首先“不动点”在$y=x$上，横纵坐标相等，已知不动点横坐标为2，可得纵坐标也为2，先求出$n$的值，再将不动点坐标代入$y=mx+n$即可求出$m$的值。
(3) 一次函数没有“不动点”，说明它和$y=x$无交点，即两直线平行斜率相等，可得$k=1$，进而求出A、B两点坐标；设出P点坐标，用含P点横坐标的式子表示$△ ABP$的面积，根据面积关系列方程即可，注意P点在x轴上，距离计算要加绝对值，避免漏解。
【解析】
(1) 联立方程$\begin{cases} y=3x+2 \\ y=x \end{cases}$，将$y=x$代入第一个方程得$x=3x+2$，解得$x=-1$，则$y=x=-1$，即不动点坐标为$(-1,-1)$。
(2) 因为“不动点”是一次函数与$y=x$的交点，横纵坐标相等，已知不动点坐标为$(2,n-1)$，所以$n-1=2$，解得$n=3$，即不动点坐标为$(2,2)$；将$(2,2)$代入$y=mx+n$得$2=2m+3$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
(3) 一次函数$y=kx-3$没有“不动点”，说明它与$y=x$平行，因此$k=1$，一次函数解析式为$y=x-3$；
令$y=0$，得$x=3$，即$A(3,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，即$B(0,-3)$；
设$P(t,0)$，则$AP=|t-3|$，$△ ABP$的高为点B到x轴的距离3，因此$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × |t-3| × 3$，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × 3 × 3$；
由$S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$得$\frac{1}{2} × |t-3| × 3 = 3 × \frac{1}{2} × 3 × 3$，化简得$|t-3|=9$，解得$t=12$或$t=-6$，即P点坐标为$(-6,0)$或$(12,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(2) $\boldsymbol{m=-\frac{1}{2},n=3}$
(3) $\boldsymbol{(-6,0)}$或$\boldsymbol{(12,0)}$
【知识点】
新定义问题，一次函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题以新定义“不动点”为载体，综合考查一次函数的性质、方程组求解及几何应用，解题关键是准确理解新定义的含义，第三问需注意分类讨论点P的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
