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二、拓展性作业
9. 现有两块同样的长方形木板如图2-3所示，甲木工在图2-3①中的长方形木板上截出三个面积分别为4 dm²，8 dm²和18 dm²的正方形木板A，B，C。
(1)从图2-3①中的长方形木板中截出的正方形木板C的边长为
(2)求图2-3①中的长方形木板剩余部分(阴影部分)的面积；
(3)乙木工打算在图2-3②中的长方形木板上截出两个面积均为16 dm²的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由。
9. 现有两块同样的长方形木板如图2-3所示，甲木工在图2-3①中的长方形木板上截出三个面积分别为4 dm²，8 dm²和18 dm²的正方形木板A，B，C。
(1)从图2-3①中的长方形木板中截出的正方形木板C的边长为
$3\sqrt{2}$
dm；(2)求图2-3①中的长方形木板剩余部分(阴影部分)的面积；
(3)乙木工打算在图2-3②中的长方形木板上截出两个面积均为16 dm²的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由。
答案
9. (1)$3\sqrt{2}$
(2)解:$(\sqrt{18}+\sqrt{8})×(\sqrt{8}+\sqrt{4})-4-8-18$
$=(3\sqrt{2}+2\sqrt{2})×(2\sqrt{2}+2)-4-8-18$
$=5\sqrt{2}×2\sqrt{2}+5\sqrt{2}×2-4-8-18$
$=20+10\sqrt{2}-4-8-18$
$=10\sqrt{2}-10$，
所以题图 2-3①中的长方形木板剩余部分(阴影部分)的面积为$(10\sqrt{2}-10)\ \mathrm{dm^2}$。
(3)解:不能在题图 2-3②中的长方形木板上截出两个面积均为 16 dm² 的正方形木板。
理由:$\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}(\mathrm{dm})$，$\sqrt{16}×2=4×2=8(\mathrm{dm})$。
因为 $5\sqrt{2}＜8$，
所以不能在题图 2-3②中的长方形木板上截出两个面积均为 16 dm² 的正方形木板。
(2)解:$(\sqrt{18}+\sqrt{8})×(\sqrt{8}+\sqrt{4})-4-8-18$
$=(3\sqrt{2}+2\sqrt{2})×(2\sqrt{2}+2)-4-8-18$
$=5\sqrt{2}×2\sqrt{2}+5\sqrt{2}×2-4-8-18$
$=20+10\sqrt{2}-4-8-18$
$=10\sqrt{2}-10$，
所以题图 2-3①中的长方形木板剩余部分(阴影部分)的面积为$(10\sqrt{2}-10)\ \mathrm{dm^2}$。
(3)解:不能在题图 2-3②中的长方形木板上截出两个面积均为 16 dm² 的正方形木板。
理由:$\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}(\mathrm{dm})$，$\sqrt{16}×2=4×2=8(\mathrm{dm})$。
因为 $5\sqrt{2}＜8$，
所以不能在题图 2-3②中的长方形木板上截出两个面积均为 16 dm² 的正方形木板。
解析
【分析】
(1) 正方形面积等于边长的平方，已知正方形C的面积，对面积开算术平方根并化简即可得到其边长；
(2) 阴影部分面积=大长方形总面积-三个正方形的面积和。首先先求出三个正方形的边长，结合图形可知大长方形的长为正方形B和C的边长之和，宽为正方形A和B的边长之和，算出大长方形面积后减去三个正方形的面积即可得到阴影面积；
(3) 要判断能否截出两个面积为16dm²的正方形，先算出单个正方形的边长，再求出两个正方形并排摆放需要的总长度，和大长方形的长比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 正方形C的面积为18dm²，因此边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$dm；
(2) 分别计算三个正方形的边长：
正方形A边长：$\sqrt{4}=2\mathrm{dm}$，正方形B边长：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\mathrm{dm}$，正方形C边长：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\mathrm{dm}$
大长方形的长：$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\mathrm{dm}$
大长方形的宽：$\sqrt{4}+\sqrt{8}=2+2\sqrt{2}\mathrm{dm}$
大长方形面积：$5\sqrt{2}×(2+2\sqrt{2})=10\sqrt{2}+20\ \mathrm{dm^2}$
阴影部分面积：$(10\sqrt{2}+20)-4-8-18=10\sqrt{2}-10\ \mathrm{dm^2}$
(3) 单个面积为16dm²的正方形边长为$\sqrt{16}=4\mathrm{dm}$，两个正方形并排摆放需要的总长度为$4×2=8\mathrm{dm}$。
大长方形的长为$\sqrt{18}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}\approx7.07\mathrm{dm}$，因为$5\sqrt{2}＜8$，因此不能截出两个符合要求的正方形。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$
(2) $(10\sqrt{2}-10)\ \mathrm{dm^2}$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
二次根式的运算，正方形面积计算，实数大小比较
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查二次根式相关知识，既需要掌握二次根式化简、运算的基础能力，也需要结合图形提取边长的数量关系，能很好地锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 正方形面积等于边长的平方，已知正方形C的面积，对面积开算术平方根并化简即可得到其边长；
(2) 阴影部分面积=大长方形总面积-三个正方形的面积和。首先先求出三个正方形的边长，结合图形可知大长方形的长为正方形B和C的边长之和，宽为正方形A和B的边长之和，算出大长方形面积后减去三个正方形的面积即可得到阴影面积；
(3) 要判断能否截出两个面积为16dm²的正方形，先算出单个正方形的边长，再求出两个正方形并排摆放需要的总长度，和大长方形的长比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 正方形C的面积为18dm²，因此边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$dm；
(2) 分别计算三个正方形的边长：
正方形A边长：$\sqrt{4}=2\mathrm{dm}$，正方形B边长：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\mathrm{dm}$，正方形C边长：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\mathrm{dm}$
大长方形的长：$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\mathrm{dm}$
大长方形的宽：$\sqrt{4}+\sqrt{8}=2+2\sqrt{2}\mathrm{dm}$
大长方形面积：$5\sqrt{2}×(2+2\sqrt{2})=10\sqrt{2}+20\ \mathrm{dm^2}$
阴影部分面积：$(10\sqrt{2}+20)-4-8-18=10\sqrt{2}-10\ \mathrm{dm^2}$
(3) 单个面积为16dm²的正方形边长为$\sqrt{16}=4\mathrm{dm}$，两个正方形并排摆放需要的总长度为$4×2=8\mathrm{dm}$。
大长方形的长为$\sqrt{18}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}\approx7.07\mathrm{dm}$，因为$5\sqrt{2}＜8$，因此不能截出两个符合要求的正方形。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$
(2) $(10\sqrt{2}-10)\ \mathrm{dm^2}$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
二次根式的运算，正方形面积计算，实数大小比较
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查二次根式相关知识，既需要掌握二次根式化简、运算的基础能力，也需要结合图形提取边长的数量关系，能很好地锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
10. 综合与实践
问题情境:在学习了二次根式和勾股定理后,某班同学以“已知三角形三边的长度,求三角形的面积”为主题开展了数学活动。
操作发现:“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题。如图2-4①是6×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点。在图2-4①中画出△ABC,点A,B,C都是格点,同时构造正方形BDEF,使它的顶点都在格点上,且它的边DE,EF分别经过点C,A,他们借助此图求出了△ABC的面积。
实践探究:
(1)在图2-4①中,所画的△ABC的三边长分别是AB=5, BC=√17, AC=√10, △ABC的面积为
继续探究:
“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料:已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积,对此问题中外数学家曾经进行过深入研究。古希腊的几何学家海伦在他的著作中,给出了求三角形面积的海伦公式: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, 其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$。
我国南宋时期数学家秦九韶,给出了著名的秦九韶公式 $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$。
(2)①一个三角形的边长分别为5,6,7,利用海伦公式,求这个三角形的面积;
②一个三角形的边长分别为√5,√6,√7,利用秦九韶公式,求这个三角形的面积。
(3)“勾股定理”小组经过合作交流,发现任意形状的三角形都可以用“勾股定理”求出其面积。如图2-4②,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积。
问题情境:在学习了二次根式和勾股定理后,某班同学以“已知三角形三边的长度,求三角形的面积”为主题开展了数学活动。
操作发现:“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题。如图2-4①是6×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点。在图2-4①中画出△ABC,点A,B,C都是格点,同时构造正方形BDEF,使它的顶点都在格点上,且它的边DE,EF分别经过点C,A,他们借助此图求出了△ABC的面积。
实践探究:
(1)在图2-4①中,所画的△ABC的三边长分别是AB=5, BC=√17, AC=√10, △ABC的面积为
$\dfrac{13}{2}$
。继续探究:
“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料:已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积,对此问题中外数学家曾经进行过深入研究。古希腊的几何学家海伦在他的著作中,给出了求三角形面积的海伦公式: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, 其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$。
我国南宋时期数学家秦九韶,给出了著名的秦九韶公式 $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$。
(2)①一个三角形的边长分别为5,6,7,利用海伦公式,求这个三角形的面积;
②一个三角形的边长分别为√5,√6,√7,利用秦九韶公式,求这个三角形的面积。
(3)“勾股定理”小组经过合作交流,发现任意形状的三角形都可以用“勾股定理”求出其面积。如图2-4②,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积。
答案
10. (1)$\dfrac{13}{2}$
(2)解:①由题意,知$\dfrac{5+6+7}{2}=9$，
所以这个三角形的面积$=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}=6\sqrt{6}$。
②由题意,因为这个三角形的边长分别为$\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7}$，
所以这个三角形的面积
$=\sqrt{\dfrac{1}{4}×[(\sqrt{5})^2×(\sqrt{6})^2-(\dfrac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{6})^2-(\sqrt{7})^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{4}×(30-4)}$
$=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$。
(3)解:设 BD=x,因为 BC=14，
所以 DC=14−x，
因为 AD⊥BC，
所以 $AD^2=AC^2-CD^2,AD^2=AB^2-BD^2$，
所以 $13^2-(14-x)^2=15^2-x^2$,解得 x=9。
所以 $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}×14×12=84$。
(2)解:①由题意,知$\dfrac{5+6+7}{2}=9$，
所以这个三角形的面积$=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}=6\sqrt{6}$。
②由题意,因为这个三角形的边长分别为$\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7}$，
所以这个三角形的面积
$=\sqrt{\dfrac{1}{4}×[(\sqrt{5})^2×(\sqrt{6})^2-(\dfrac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{6})^2-(\sqrt{7})^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{4}×(30-4)}$
$=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$。
(3)解:设 BD=x,因为 BC=14，
所以 DC=14−x，
因为 AD⊥BC，
所以 $AD^2=AC^2-CD^2,AD^2=AB^2-BD^2$，
所以 $13^2-(14-x)^2=15^2-x^2$,解得 x=9。
所以 $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}×14×12=84$。
解析
【分析】
(1) 网格中求不规则三角形面积采用割补法：先计算外围正方形BDEF的面积，再减去正方形内△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(2) ① 应用海伦公式时，先根据三边长计算半周长p，再将p和三边长代入公式，最后化简二次根式得到结果。
② 应用秦九韶公式时，将三边长对应代入公式，先计算各边的平方项，再逐步化简根号内的式子，最终得到面积。
(3) 通过作高构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解：过A作AD⊥BC，设BD为x，用含x的式子表示CD，根据公共高AD的平方在两个直角三角形中相等列方程，求出x后计算高AD的长度，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 正方形BDEF的边长为4，面积为$4×4=16$。周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×3×4=6$，$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×1×4=2$。因此$△ ABC$的面积为$16-6-\frac{3}{2}-2=\frac{13}{2}$。
(2) ① 先计算半周长$p=\frac{5+6+7}{2}=9$，代入海伦公式得：
$S=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$。
② 将$a=\sqrt{5},b=\sqrt{6},c=\sqrt{7}$代入秦九韶公式得：
$S=\sqrt{\frac{1}{4}×[(\sqrt{5})^2×(\sqrt{6})^2-(\frac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{6})^2-(\sqrt{7})^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×(30-4)}=\sqrt{\frac{26}{4}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$。
(3) 过A作$AD⊥BC$于D，设$BD=x$，则$DC=14-x$。
在$Rt△ ABD$中，$AD^2=15^2-x^2$；在$Rt△ ACD$中，$AD^2=13^2-(14-x)^2$。
因此$15^2-x^2=13^2-(14-x)^2$，解得$x=9$。
则$AD=\sqrt{15^2-9^2}=12$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×14×12=84$。
【答案】
(1) $\dfrac{13}{2}$
(2) ① $6\sqrt{6}$；② $\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
(3) $84$
【知识点】
割补法求面积，海伦与秦九韶公式，勾股定理的应用
【点评】
本题围绕三角形面积的多种求法设置问题，涵盖了网格割补、公式直接应用、构造直角三角形求解三类方法，既考查了二次根式的运算能力，也考查了灵活选用方法解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 网格中求不规则三角形面积采用割补法：先计算外围正方形BDEF的面积，再减去正方形内△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(2) ① 应用海伦公式时，先根据三边长计算半周长p，再将p和三边长代入公式，最后化简二次根式得到结果。
② 应用秦九韶公式时，将三边长对应代入公式，先计算各边的平方项，再逐步化简根号内的式子，最终得到面积。
(3) 通过作高构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解：过A作AD⊥BC，设BD为x，用含x的式子表示CD，根据公共高AD的平方在两个直角三角形中相等列方程，求出x后计算高AD的长度，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 正方形BDEF的边长为4，面积为$4×4=16$。周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×3×4=6$，$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×1×4=2$。因此$△ ABC$的面积为$16-6-\frac{3}{2}-2=\frac{13}{2}$。
(2) ① 先计算半周长$p=\frac{5+6+7}{2}=9$，代入海伦公式得：
$S=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$。
② 将$a=\sqrt{5},b=\sqrt{6},c=\sqrt{7}$代入秦九韶公式得：
$S=\sqrt{\frac{1}{4}×[(\sqrt{5})^2×(\sqrt{6})^2-(\frac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{6})^2-(\sqrt{7})^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×(30-4)}=\sqrt{\frac{26}{4}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$。
(3) 过A作$AD⊥BC$于D，设$BD=x$，则$DC=14-x$。
在$Rt△ ABD$中，$AD^2=15^2-x^2$；在$Rt△ ACD$中，$AD^2=13^2-(14-x)^2$。
因此$15^2-x^2=13^2-(14-x)^2$，解得$x=9$。
则$AD=\sqrt{15^2-9^2}=12$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×14×12=84$。
【答案】
(1) $\dfrac{13}{2}$
(2) ① $6\sqrt{6}$；② $\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
(3) $84$
【知识点】
割补法求面积，海伦与秦九韶公式，勾股定理的应用
【点评】
本题围绕三角形面积的多种求法设置问题，涵盖了网格割补、公式直接应用、构造直角三角形求解三类方法，既考查了二次根式的运算能力，也考查了灵活选用方法解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
