19.（本小题满分10分）
先观察下面式子的变形规律，再回答问题.
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，…
(1)已知$n(n≥2)$是正整数. 猜想：$\frac{1}{n(n+1)}=$.
(2)根据(1)中得出的结论，解下面的方程：

19. (1) $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
(2) 原式$=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}+…+\dfrac{1}{x+20}-\dfrac{1}{x+21}=0$，
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+21}=0$，
$\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x+21}=0$.
解得$x=-42$.
经检验，$x=-42$是原分式方程的解.

【分析】
(1) 观察给出的等式规律：等式左侧是两个连续正整数乘积的倒数，右侧是这两个数倒数的差，据此可直接猜想出结果。
(2) 解该分式方程时，先借助第(1)问得到的裂项结论，将方程中除首项外的每一项拆分为两个分式的差，拆分后中间互为相反数的项会全部抵消，仅剩余首尾相关的几个简单分式，整理为常规分式方程后求解，最后检验所得的根是否使原方程分母不为0，确认是否为原方程的解。
【解析】
(1) 根据题中给出的式子规律，可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) 原方程利用裂项规律变形为：
$\frac{1}{x}+(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+\dots+(\frac{1}{x+20}-\frac{1}{x+21})=0$
抵消中间互为相反数的项后，可得：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+21}=0$
整理得：
$\frac{2}{x}-\frac{1}{x+21}=0$
去分母，两边同时乘最简公分母$x(x+21)$（$x≠0$且$x≠-21$），得：
$2(x+21)-x=0$
展开计算：
$2x+42-x=0$
解得$x=-42$。
检验：当$x=-42$时，$x(x+21)=(-42)×(-21)=882≠0$，因此$x=-42$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
(2) $x=-42$
【知识点】
1. 分式裂项变形
2. 解分式方程
3. 规律探究
【点评】
本题结合规律探究与分式方程的求解，核心是掌握裂项相消的技巧以简化复杂的分式求和运算，解题时需注意分式方程求出解后必须验根，排除增根。
【难度系数】
0.7