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引入 计算:(1)$(10^{4})^{3}=10^{4}×10^{4}×10^{4}=$
(3)$(a^{n})^{4}=a^{n}·a^{n}·a^{n}·a^{n}=$
$\underbrace{\quad\quad\quad\quad\quad}_{n个a^{m}}$ (
$10^{12}$
;(2)$(a^{2})^{4}=a^{2}·a^{2}·a^{2}·a^{2}=$$a^8$
;(3)$(a^{n})^{4}=a^{n}·a^{n}·a^{n}·a^{n}=$
$a^{4n}$
.$\underbrace{\quad\quad\quad\quad\quad}_{n个a^{m}}$ (
$n$
)个$m$答案
1. $10^{12}$ 2. $a^8$ 3. $a^{4n}$ 括号内 n
解析
【分析】
这是幂的乘方运算的推导类题目，解题思路很清晰：第一步先根据乘方的定义，把幂的乘方形式转化为多个同底数幂相乘的形式；第二步运用同底数幂“底数不变，指数相加”的运算规则计算指数；最后总结规律即可解决所有问题，末尾的填空可以类比前面的计算逻辑，数清楚相同指数相加的个数就能得到答案。
【解析】
(1) 根据乘方的定义，$(10^4)^3$表示3个$10^4$相乘，结合同底数幂的乘法法则计算：
$(10^4)^3=10^4×10^4×10^4=10^{4+4+4}=10^{4×3}=10^{12}$
(2) 同理，$(a^2)^4$表示4个$a^2$相乘，计算过程如下：
$(a^2)^4=a^2·a^2·a^2·a^2=a^{2+2+2+2}=a^{2×4}=a^8$
(3) $(a^n)^4$表示4个$a^n$相乘，计算过程如下：
$(a^n)^4=a^n·a^n·a^n·a^n=a^{n+n+n+n}=a^{n×4}=a^{4n}$
末尾填空：n个$a^m$相乘时，指数部分为m相加n次，即共有n个m相加，因此括号内填n。
【答案】
(1) $10^{12}$；(2) $a^8$；(3) $a^{4n}$；括号内填$\boldsymbol{n}$
【知识点】
1. 乘方定义
2. 同底数幂乘法
3. 幂的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础推导题，通过由特殊到一般的推导过程，帮助学生理解幂的乘方法则的来源，只要熟练掌握同底数幂的乘法规则就能顺利解答，是巩固幂运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
这是幂的乘方运算的推导类题目，解题思路很清晰：第一步先根据乘方的定义，把幂的乘方形式转化为多个同底数幂相乘的形式；第二步运用同底数幂“底数不变，指数相加”的运算规则计算指数；最后总结规律即可解决所有问题，末尾的填空可以类比前面的计算逻辑，数清楚相同指数相加的个数就能得到答案。
【解析】
(1) 根据乘方的定义，$(10^4)^3$表示3个$10^4$相乘，结合同底数幂的乘法法则计算：
$(10^4)^3=10^4×10^4×10^4=10^{4+4+4}=10^{4×3}=10^{12}$
(2) 同理，$(a^2)^4$表示4个$a^2$相乘，计算过程如下：
$(a^2)^4=a^2·a^2·a^2·a^2=a^{2+2+2+2}=a^{2×4}=a^8$
(3) $(a^n)^4$表示4个$a^n$相乘，计算过程如下：
$(a^n)^4=a^n·a^n·a^n·a^n=a^{n+n+n+n}=a^{n×4}=a^{4n}$
末尾填空：n个$a^m$相乘时，指数部分为m相加n次，即共有n个m相加，因此括号内填n。
【答案】
(1) $10^{12}$；(2) $a^8$；(3) $a^{4n}$；括号内填$\boldsymbol{n}$
【知识点】
1. 乘方定义
2. 同底数幂乘法
3. 幂的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础推导题，通过由特殊到一般的推导过程，帮助学生理解幂的乘方法则的来源，只要熟练掌握同底数幂的乘法规则就能顺利解答，是巩固幂运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
探究 $(a^m)^n = a^m · a^m · \dots · a^m = a^{m+m+\dots+m} = \_\_\_\_\_\_$
答案
$a^{mn}$
解析
【分析】
推导本题的结果可以分三步思考：首先根据乘方的定义，明确$(a^m)^n$的含义是n个$a^m$相乘；再运用同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘底数不变、指数相加，因此指数部分是n个m相加的和；最后根据乘法的意义，n个相同的m相加可以转化为乘法$m× n$，就能得到最终运算结果。
【解析】
1. 由乘方的意义可知，$(a^m)^n$表示n个$a^m$相乘，因此：
$(a^m)^n = \underbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}_{n个a^m}$
2. 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$\underbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}_{n个a^m} = a^{\underbrace{m+m+\dots+m}_{n个m}}$
3. 根据乘法的定义，n个m相加的和等于$m× n=mn$，因此：
$a^{\underbrace{m+m+\dots+m}_{n个m}} = a^{mn}$
【答案】
$a^{mn}$
【知识点】
乘方的意义、同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的乘方法则的推导过程，要求同学们从基础运算定义出发理解公式的来源，避免死记硬背公式，能更好地掌握幂的相关运算规则。
【难度系数】
0.9
推导本题的结果可以分三步思考：首先根据乘方的定义，明确$(a^m)^n$的含义是n个$a^m$相乘；再运用同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘底数不变、指数相加，因此指数部分是n个m相加的和；最后根据乘法的意义，n个相同的m相加可以转化为乘法$m× n$，就能得到最终运算结果。
【解析】
1. 由乘方的意义可知，$(a^m)^n$表示n个$a^m$相乘，因此：
$(a^m)^n = \underbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}_{n个a^m}$
2. 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$\underbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}_{n个a^m} = a^{\underbrace{m+m+\dots+m}_{n个m}}$
3. 根据乘法的定义，n个m相加的和等于$m× n=mn$，因此：
$a^{\underbrace{m+m+\dots+m}_{n个m}} = a^{mn}$
【答案】
$a^{mn}$
【知识点】
乘方的意义、同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的乘方法则的推导过程，要求同学们从基础运算定义出发理解公式的来源，避免死记硬背公式，能更好地掌握幂的相关运算规则。
【难度系数】
0.9
归纳 幂的乘方法则:$(a^m)^n = a^{mn}$(m,n都是正整数),即幂的乘方,底数
不变
,指数相乘
.答案
底数 不变，指数 相乘
解析
【分析】
这道题考查幂的乘方法则的文字表述，解题时可先回忆幂的乘方的推导逻辑：计算$(a^m)^n$本质是n个$a^m$相乘，根据同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加，也就是$a^{m+m+\dots+m}$（共n个m相加），最终结果为$a^{mn}$，由此可总结出幂的乘方的运算规律，对应填空即可。
【解析】
根据已知的幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n都是正整数），其对应的文字表述为：幂的乘方，底数不变，指数相乘。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
不变，相乘
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对幂的乘方运算法则的记忆与理解，掌握各类幂运算的基本法则是后续学习整式乘除运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查幂的乘方法则的文字表述，解题时可先回忆幂的乘方的推导逻辑：计算$(a^m)^n$本质是n个$a^m$相乘，根据同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加，也就是$a^{m+m+\dots+m}$（共n个m相加），最终结果为$a^{mn}$，由此可总结出幂的乘方的运算规律，对应填空即可。
【解析】
根据已知的幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n都是正整数），其对应的文字表述为：幂的乘方，底数不变，指数相乘。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
不变，相乘
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对幂的乘方运算法则的记忆与理解，掌握各类幂运算的基本法则是后续学习整式乘除运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
1.【例1】(人教八上$\mathrm{P}_{100}$例2改编)计算:
(1)$(10^3)^2 = 10^{(\_\_\_\_\_\_)} = \_\_\_\_\_\_;$
(2)$(y^4)^5 = y^{(\_\_\_\_\_\_)} = \_\_\_\_\_\_;$
(3)$(a^x)^5 = a^{(\_\_\_\_\_\_)} = \_\_\_\_\_\_;$
(4)$[(a^3)^2]^2 = (a^{(\_\_\_\_\_\_)})^2 = \_\_\_\_\_\_.$
提示:$[(a^m)^n]^t = a^{mnt}.$
(1)$(10^3)^2 = 10^{(\_\_\_\_\_\_)} = \_\_\_\_\_\_;$
(2)$(y^4)^5 = y^{(\_\_\_\_\_\_)} = \_\_\_\_\_\_;$
(3)$(a^x)^5 = a^{(\_\_\_\_\_\_)} = \_\_\_\_\_\_;$
(4)$[(a^3)^2]^2 = (a^{(\_\_\_\_\_\_)})^2 = \_\_\_\_\_\_.$
提示:$[(a^m)^n]^t = a^{mnt}.$
答案
(1) $3×2$，$10^6$ (2) $4×5$，$y^{20}$ (3) $x·5$，$a^{5x}$ (4) $6$，$a^{12}$
解析
【分析】
这道题考查幂的乘方的运算规则，解题核心是牢记幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时逐问对应法则计算即可，遇到多层幂的乘方时，既可以从内到外逐层运用法则计算，也可以直接将所有指数相乘得到最终的指数，注意不要和同底数幂乘法的指数相加规则混淆。
【解析】
(1) 对于$(10^3)^2$，根据幂的乘方法则，底数10保持不变，指数3和2相乘，因此指数位置填$3×2$，计算得结果为$10^6$；
(2) 对于$(y^4)^5$，底数$y$保持不变，指数4和5相乘，因此指数位置填$4×5$，计算得结果为$y^{20}$；
(3) 对于$(a^x)^5$，底数$a$保持不变，指数$x$和5相乘，因此指数位置填$x·5$，计算得结果为$a^{5x}$；
(4) 先计算内层$(a^3)^2$，底数$a$不变，指数$3×2=6$，因此第一个空填6，再计算$(a^6)^2$，指数$6×2=12$，最终结果为$a^{12}$，也可直接用多层幂乘方法则，指数$3×2×2=12$，结果一致。
【答案】
(1) $3×2$，$10^6$ (2) $4×5$，$y^{20}$ (3) $x·5$，$a^{5x}$ (4) $6$，$a^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的乘方运算的基础练习题，侧重对运算法则的直接应用，解题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免出现指数相加的错误，多层幂运算时可灵活选择逐层计算或直接连乘指数的方法简化计算。
【难度系数】
0.9
这道题考查幂的乘方的运算规则，解题核心是牢记幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时逐问对应法则计算即可，遇到多层幂的乘方时，既可以从内到外逐层运用法则计算，也可以直接将所有指数相乘得到最终的指数，注意不要和同底数幂乘法的指数相加规则混淆。
【解析】
(1) 对于$(10^3)^2$，根据幂的乘方法则，底数10保持不变，指数3和2相乘，因此指数位置填$3×2$，计算得结果为$10^6$；
(2) 对于$(y^4)^5$，底数$y$保持不变，指数4和5相乘，因此指数位置填$4×5$，计算得结果为$y^{20}$；
(3) 对于$(a^x)^5$，底数$a$保持不变，指数$x$和5相乘，因此指数位置填$x·5$，计算得结果为$a^{5x}$；
(4) 先计算内层$(a^3)^2$，底数$a$不变，指数$3×2=6$，因此第一个空填6，再计算$(a^6)^2$，指数$6×2=12$，最终结果为$a^{12}$，也可直接用多层幂乘方法则，指数$3×2×2=12$，结果一致。
【答案】
(1) $3×2$，$10^6$ (2) $4×5$，$y^{20}$ (3) $x·5$，$a^{5x}$ (4) $6$，$a^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的乘方运算的基础练习题，侧重对运算法则的直接应用，解题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免出现指数相加的错误，多层幂运算时可灵活选择逐层计算或直接连乘指数的方法简化计算。
【难度系数】
0.9
2. 计算：
(1)$(b^2)^3 =$
(2)$(2^2)^m =$
(3)$-(x^m)^2 =$
(4)$[(-a^2)^5]^2 =$
(1)$(b^2)^3 =$
$b^6$
；(2)$(2^2)^m =$
$2^{2m}$
；(3)$-(x^m)^2 =$
$-x^{2m}$
；(4)$[(-a^2)^5]^2 =$
$a^{20}$
。答案
2. (1) $b^6$ (2) $2^{2m}$ (3) $-x^{2m}$ (4) $a^{20}$
解析
【分析】
本题考查幂的乘方相关运算，解题核心是牢记幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时先观察式子结构，区分负号是否在乘方括号内，多重乘方可反复应用该法则计算，同时注意偶次幂的非负性对符号的影响。(1)直接套用幂的乘方法则计算即可；(2)底数为常数的幂的乘方，同样遵循底数不变指数相乘的规则；(3)负号在括号外，不参与幂的乘方运算，先算乘方部分再添加负号；(4)多重乘方可依次应用法则，注意偶次幂会消去负号。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），逐个计算如下：
(1) $(b^2)^3 = b^{2×3} = b^6$
(2) $(2^2)^m = 2^{2× m} = 2^{2m}$
(3) 负号在括号外不参与乘方运算，先计算$(x^m)^2=x^{m×2}=x^{2m}$，故$-(x^m)^2=-x^{2m}$
(4) 多重乘方可直接将指数相乘，且10次幂为偶次幂，负号抵消：$[(-a^2)^5]^2=(-a^2)^{5×2}=(-a^2)^{10}=a^{2×10}=a^{20}$
【答案】
(1) $b^6$ (2) $2^{2m}$ (3) $-x^{2m}$ (4) $a^{20}$
【知识点】
幂的乘方运算；乘方符号判定
【点评】
本题是幂的乘方的基础运算题，重点考察对幂的乘方法则的掌握程度，易错点是混淆负号的位置、错用同底数幂乘法的指数相加法则，计算时注意先定符号再算指数即可避免错误。
【难度系数】
0.85
本题考查幂的乘方相关运算，解题核心是牢记幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时先观察式子结构，区分负号是否在乘方括号内，多重乘方可反复应用该法则计算，同时注意偶次幂的非负性对符号的影响。(1)直接套用幂的乘方法则计算即可；(2)底数为常数的幂的乘方，同样遵循底数不变指数相乘的规则；(3)负号在括号外，不参与幂的乘方运算，先算乘方部分再添加负号；(4)多重乘方可依次应用法则，注意偶次幂会消去负号。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），逐个计算如下：
(1) $(b^2)^3 = b^{2×3} = b^6$
(2) $(2^2)^m = 2^{2× m} = 2^{2m}$
(3) 负号在括号外不参与乘方运算，先计算$(x^m)^2=x^{m×2}=x^{2m}$，故$-(x^m)^2=-x^{2m}$
(4) 多重乘方可直接将指数相乘，且10次幂为偶次幂，负号抵消：$[(-a^2)^5]^2=(-a^2)^{5×2}=(-a^2)^{10}=a^{2×10}=a^{20}$
【答案】
(1) $b^6$ (2) $2^{2m}$ (3) $-x^{2m}$ (4) $a^{20}$
【知识点】
幂的乘方运算；乘方符号判定
【点评】
本题是幂的乘方的基础运算题，重点考察对幂的乘方法则的掌握程度，易错点是混淆负号的位置、错用同底数幂乘法的指数相加法则，计算时注意先定符号再算指数即可避免错误。
【难度系数】
0.85
3.【例2】(1)若$a^2=2$,则$a^8=(a^2)^4=$
(2)若$a^m=3,a^n=4$,求$a^{2m+n}$的值.
4.若$m^x=3,m^y=2$,求$m^{x+3y}$的值.
$16$
;(2)若$a^m=3,a^n=4$,求$a^{2m+n}$的值.
4.若$m^x=3,m^y=2$,求$m^{x+3y}$的值.
答案
3. (1) 16
(2) 解:$a^{2m+n} = a^{2m} · a^n = (a^m)^2 · a^n = 3^2 × 4 = 36.$
4. 解:$\because m^x = 3 ,m^y = 2 ,$
$\therefore m^{x+3y} = m^x · m^{3y} = m^x · (m^y)^3 = 3 × 2^3 = 24.$
(2) 解:$a^{2m+n} = a^{2m} · a^n = (a^m)^2 · a^n = 3^2 × 4 = 36.$
4. 解:$\because m^x = 3 ,m^y = 2 ,$
$\therefore m^{x+3y} = m^x · m^{3y} = m^x · (m^y)^3 = 3 × 2^3 = 24.$
解析
【分析】
这组题目考查幂的运算公式的逆用，解题思路如下：
1. 首先回忆两个核心运算的变形规则：①同底数幂乘法逆用：$a^{p+q}=a^p· a^q$，可将相加的指数拆分为两个指数的幂相乘的形式；②幂的乘方逆用：$a^{pq}=(a^p)^q$，可将相乘的指数转化为幂的乘方形式。
2. 求解时先将待求的幂按照上述规则变形，使其包含已知的幂的形式，再代入已知数值计算即可。
3(1)中$a^8$可直接转化为$(a^2)^4$，代入$a^2=2$计算；3(2)中$a^{2m+n}$先拆为$a^{2m}· a^n$，再将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$后代入计算；第4题同理将$m^{x+3y}$拆为$m^x· (m^y)^3$后代入计算。
【解析】
3. (1) 已知$a^2=2$，根据幂的乘方运算：
$a^8=(a^2)^4=2^4=16$
(2) 计算$a^{2m+n}$：
第一步，逆用同底数幂的乘法法则，拆分指数：$a^{2m+n} = a^{2m} · a^n$
第二步，逆用幂的乘方法则，转化$a^{2m}$：$a^{2m}=(a^m)^2$
第三步，代入$a^m=3$，$a^n=4$计算：
$a^{2m+n}=(a^m)^2 · a^n = 3^2 × 4 = 9 × 4 = 36$
4. 已知$m^x=3$，$m^y=2$，计算$m^{x+3y}$：
第一步，逆用同底数幂的乘法法则拆分指数：$m^{x+3y} = m^x · m^{3y}$
第二步，逆用幂的乘方法则转化$m^{3y}$：$m^{3y}=(m^y)^3$
第三步，代入数值计算：
$m^{x+3y} = m^x · (m^y)^3 = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24$
【答案】
3. (1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{36}$
4. $\boxed{24}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的常规基础题型，解题核心是熟练掌握幂的运算公式的正用与逆用，能够根据待求式的指数特征灵活变形，将其转化为含已知条件的形式后代入计算即可，计算时需注意指数的对应关系，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
这组题目考查幂的运算公式的逆用，解题思路如下：
1. 首先回忆两个核心运算的变形规则：①同底数幂乘法逆用：$a^{p+q}=a^p· a^q$，可将相加的指数拆分为两个指数的幂相乘的形式；②幂的乘方逆用：$a^{pq}=(a^p)^q$，可将相乘的指数转化为幂的乘方形式。
2. 求解时先将待求的幂按照上述规则变形，使其包含已知的幂的形式，再代入已知数值计算即可。
3(1)中$a^8$可直接转化为$(a^2)^4$，代入$a^2=2$计算；3(2)中$a^{2m+n}$先拆为$a^{2m}· a^n$，再将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$后代入计算；第4题同理将$m^{x+3y}$拆为$m^x· (m^y)^3$后代入计算。
【解析】
3. (1) 已知$a^2=2$，根据幂的乘方运算：
$a^8=(a^2)^4=2^4=16$
(2) 计算$a^{2m+n}$：
第一步，逆用同底数幂的乘法法则，拆分指数：$a^{2m+n} = a^{2m} · a^n$
第二步，逆用幂的乘方法则，转化$a^{2m}$：$a^{2m}=(a^m)^2$
第三步，代入$a^m=3$，$a^n=4$计算：
$a^{2m+n}=(a^m)^2 · a^n = 3^2 × 4 = 9 × 4 = 36$
4. 已知$m^x=3$，$m^y=2$，计算$m^{x+3y}$：
第一步，逆用同底数幂的乘法法则拆分指数：$m^{x+3y} = m^x · m^{3y}$
第二步，逆用幂的乘方法则转化$m^{3y}$：$m^{3y}=(m^y)^3$
第三步，代入数值计算：
$m^{x+3y} = m^x · (m^y)^3 = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24$
【答案】
3. (1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{36}$
4. $\boxed{24}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的常规基础题型，解题核心是熟练掌握幂的运算公式的正用与逆用，能够根据待求式的指数特征灵活变形，将其转化为含已知条件的形式后代入计算即可，计算时需注意指数的对应关系，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
引入 计算：$(2×3)^2 =$
$\underbrace{\quad}_{n个ab}$ $\underbrace{\quad}_{n个a}$ $\underbrace{\quad}_{n个b}$
$36$
；$2^2×3^2 =$ $36$
。发现：$(2×3)^2$ $=$
$2^2×3^2$。$\underbrace{\quad}_{n个ab}$ $\underbrace{\quad}_{n个a}$ $\underbrace{\quad}_{n个b}$
答案
36 36 =
解析
【分析】
解题时先遵循有理数的运算顺序分别计算两个式子的结果，再比较大小即可。第一步计算$(2×3)^2$时，有括号先算括号内的乘法，再计算乘方；第二步计算$2^2×3^2$时，先分别计算两个乘方的结果，再计算乘法；最后对比两个式子的计算结果，确定两者的大小关系。
【解析】
1. 计算$(2×3)^2$：
先算括号内的乘法：$2×3=6$，
再算乘方：$6^2=6×6=36$，故第一个空填36。
2. 计算$2^2×3^2$：
先分别计算乘方：$2^2=4$，$3^2=9$，
再算乘法：$4×9=36$，故第二个空填36。
3. 比较大小：
因为$36=36$，所以$(2×3)^2 = 2^2×3^2$，第三个空填“=”。
【答案】
36 36 =
【知识点】
乘方运算、有理数乘法、积的乘方初步
【点评】
本题属于基础运算类题目，通过具体数值的计算对比，能帮助大家直观感受积的乘方的运算规律，为后续系统学习积的乘方法则打好基础，熟练掌握有理数运算顺序即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
解题时先遵循有理数的运算顺序分别计算两个式子的结果，再比较大小即可。第一步计算$(2×3)^2$时，有括号先算括号内的乘法，再计算乘方；第二步计算$2^2×3^2$时，先分别计算两个乘方的结果，再计算乘法；最后对比两个式子的计算结果，确定两者的大小关系。
【解析】
1. 计算$(2×3)^2$：
先算括号内的乘法：$2×3=6$，
再算乘方：$6^2=6×6=36$，故第一个空填36。
2. 计算$2^2×3^2$：
先分别计算乘方：$2^2=4$，$3^2=9$，
再算乘法：$4×9=36$，故第二个空填36。
3. 比较大小：
因为$36=36$，所以$(2×3)^2 = 2^2×3^2$，第三个空填“=”。
【答案】
36 36 =
【知识点】
乘方运算、有理数乘法、积的乘方初步
【点评】
本题属于基础运算类题目，通过具体数值的计算对比，能帮助大家直观感受积的乘方的运算规律，为后续系统学习积的乘方法则打好基础，熟练掌握有理数运算顺序即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
探究 $(ab)^n=(ab)·(ab)·\dots·(ab)=(a·a·\dots·a)·(b·b·\dots·b)=a^{(\_\_\_\_\_\_)}b^{(\_\_\_\_\_\_)}$
答案
n n
解析
【分析】
解题时首先回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方。第一步先理解$(ab)^n$的含义就是n个ab连乘；接下来运用乘法交换律和结合律，将所有的因数a放到一起相乘，所有的因数b放到一起相乘；最后再根据乘方的定义，数出a的总个数和b的总个数，就能得到对应a和b的指数。
【解析】
根据乘方的意义，$(ab)^n$表示n个ab相乘，计算过程如下：
$\begin{aligned}(ab)^n&=\underbrace{(ab)·(ab)·\ldots·(ab)}_{n个ab}\\&=\underbrace{(a· a·\ldots· a)}_{n个a}·\underbrace{(b· b·\ldots· b)}_{n个b} \quad \mathrm{（依据乘法交换律、结合律）}\\&=a^n b^n\end{aligned}$
因此两个括号内依次填入n、n。
【答案】
n；n
【知识点】
乘方的定义；乘法运算律；积的乘方
【点评】
本题是积的乘方法则的推导类基础题，通过乘方的意义和乘法运算律拆分重组因数，能帮助学习者直观理解积的乘方的运算规律，掌握幂的相关运算的底层逻辑。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方。第一步先理解$(ab)^n$的含义就是n个ab连乘；接下来运用乘法交换律和结合律，将所有的因数a放到一起相乘，所有的因数b放到一起相乘；最后再根据乘方的定义，数出a的总个数和b的总个数，就能得到对应a和b的指数。
【解析】
根据乘方的意义，$(ab)^n$表示n个ab相乘，计算过程如下：
$\begin{aligned}(ab)^n&=\underbrace{(ab)·(ab)·\ldots·(ab)}_{n个ab}\\&=\underbrace{(a· a·\ldots· a)}_{n个a}·\underbrace{(b· b·\ldots· b)}_{n个b} \quad \mathrm{（依据乘法交换律、结合律）}\\&=a^n b^n\end{aligned}$
因此两个括号内依次填入n、n。
【答案】
n；n
【知识点】
乘方的定义；乘法运算律；积的乘方
【点评】
本题是积的乘方法则的推导类基础题，通过乘方的意义和乘法运算律拆分重组因数，能帮助学习者直观理解积的乘方的运算规律，掌握幂的相关运算的底层逻辑。
【难度系数】
0.9
归纳 积的乘方法则：$(ab)^n = a^n b^n$（$n$为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别
乘方
，再把所得的幂相乘
.答案
分别 乘方，再把所得的幂 相乘
解析
【分析】
这道题属于基础概念识记类题目，核心考查对积的乘方法则内容的记忆。解题时只需回忆教材中积的乘方法则的标准表述，对应空缺位置填入正确内容即可，不需要复杂推导。
【解析】
根据积的乘方法则的官方定义：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此两个空缺处依次对应填入“乘方”“相乘”。
【答案】
乘方；相乘
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是整式运算模块的基础题，重点考察对核心运算法则的记忆掌握程度，该法则是后续开展复杂整式乘除、化简求值类题目的运算基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
这道题属于基础概念识记类题目，核心考查对积的乘方法则内容的记忆。解题时只需回忆教材中积的乘方法则的标准表述，对应空缺位置填入正确内容即可，不需要复杂推导。
【解析】
根据积的乘方法则的官方定义：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此两个空缺处依次对应填入“乘方”“相乘”。
【答案】
乘方；相乘
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是整式运算模块的基础题，重点考察对核心运算法则的记忆掌握程度，该法则是后续开展复杂整式乘除、化简求值类题目的运算基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
5.【例3】(人教八上$\mathrm{P}_{100}$例3改编)计算:
(1)$(3x)^{2}=(\_\_\_\_\_\_)^{2}·(\_\_\_\_\_\_)^{2}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)$(-2x)^{3}=(\_\_\_\_\_\_)^{3}·(\_\_\_\_\_\_)^{3}=\_\_\_\_\_\_;$
(3)$(x^{2}y)^{2}=(\_\_\_\_\_\_)^{2}·(\_\_\_\_\_\_)^{2}=\_\_\_\_\_\_.$
(1)$(3x)^{2}=(\_\_\_\_\_\_)^{2}·(\_\_\_\_\_\_)^{2}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)$(-2x)^{3}=(\_\_\_\_\_\_)^{3}·(\_\_\_\_\_\_)^{3}=\_\_\_\_\_\_;$
(3)$(x^{2}y)^{2}=(\_\_\_\_\_\_)^{2}·(\_\_\_\_\_\_)^{2}=\_\_\_\_\_\_.$
答案
(1) $3$，$x$，$9x^2$ (2) $-2$，$x$，$-8x^3$ (3) $x^2$，$y$，$x^4y^2$
解析
【分析】
这组题目考查积的乘方相关运算，解题前先回忆对应的运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，公式为$(ab)^n=a^n·b^n$（$n$为正整数）；若因式是幂的形式，乘方时还要用到幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。解题时步骤为：第一步先拆分出每个积里的全部因式，第二步对每个因式分别做乘方运算，第三步将各因式乘方的结果相乘得到最终答案。
【解析】
(1) 算式$(3x)^2$的两个因式为3和x，根据积的乘方法则：
$(3x)^2=3^2·x^2=9x^2$，因此依次填3，x，$9x^2$；
(2) 算式$(-2x)^3$的两个因式为-2和x，根据积的乘方法则：
$(-2x)^3=(-2)^3·x^3=-8x^3$，因此依次填-2，x，$-8x^3$；
(3) 算式$(x^2y)^2$的两个因式为$x^2$和y，先根据积的乘方法则拆分，再用幂的乘方法则计算：
$(x^2y)^2=(x^2)^2·y^2=x^{2×2}y^2=x^4y^2$，因此依次填$x^2$，y，$x^4y^2$。
【答案】
(1) $3$，$x$，$9x^2$ (2) $-2$，$x$，$-8x^3$ (3) $x^2$，$y$，$x^4y^2$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算法则的直接应用，解题时需注意不要遗漏系数的乘方，系数带负号时要根据乘方的奇偶性判断最终符号，幂的乘方运算要注意是指数相乘而非相加，熟练记忆运算法则即可快速做对。
【难度系数】
0.8
这组题目考查积的乘方相关运算，解题前先回忆对应的运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，公式为$(ab)^n=a^n·b^n$（$n$为正整数）；若因式是幂的形式，乘方时还要用到幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。解题时步骤为：第一步先拆分出每个积里的全部因式，第二步对每个因式分别做乘方运算，第三步将各因式乘方的结果相乘得到最终答案。
【解析】
(1) 算式$(3x)^2$的两个因式为3和x，根据积的乘方法则：
$(3x)^2=3^2·x^2=9x^2$，因此依次填3，x，$9x^2$；
(2) 算式$(-2x)^3$的两个因式为-2和x，根据积的乘方法则：
$(-2x)^3=(-2)^3·x^3=-8x^3$，因此依次填-2，x，$-8x^3$；
(3) 算式$(x^2y)^2$的两个因式为$x^2$和y，先根据积的乘方法则拆分，再用幂的乘方法则计算：
$(x^2y)^2=(x^2)^2·y^2=x^{2×2}y^2=x^4y^2$，因此依次填$x^2$，y，$x^4y^2$。
【答案】
(1) $3$，$x$，$9x^2$ (2) $-2$，$x$，$-8x^3$ (3) $x^2$，$y$，$x^4y^2$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算法则的直接应用，解题时需注意不要遗漏系数的乘方，系数带负号时要根据乘方的奇偶性判断最终符号，幂的乘方运算要注意是指数相乘而非相加，熟练记忆运算法则即可快速做对。
【难度系数】
0.8
6. 计算:
(1)$(ab)^3 =$
(2)$(-3× 10^2)^3 =$
(3)$(-\dfrac{2}{3}mn^2)^3 =$
(1)$(ab)^3 =$
$a^3b^3$
;(2)$(-3× 10^2)^3 =$
$-2.7 × 10^7$
;(3)$(-\dfrac{2}{3}mn^2)^3 =$
$-\dfrac{8}{27}m^3n^6$
.答案
6. (1) $a^3b^3$ (2) $-2.7 × 10^7$ (3) $-\dfrac{8}{27}m^3n^6$
解析
【分析】
这三道题均考查积的乘方相关运算，解题核心是运用积的乘方运算法则：积的乘方，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同时结合幂的乘方、科学记数法的规则计算即可。
(1) 第一问是两个单项式乘积的乘方，直接对a、b分别取3次方后相乘即可；
(2) 第二问需先对-3和$10^2$分别取3次方，计算后再调整为规范的科学记数法形式；
(3) 第三问需对系数$-\dfrac{2}{3}$、m、$n^2$分别取3次方，注意负数奇次幂的符号为负，幂的乘方时指数相乘。
【解析】
(1) 根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n b^n$，当$n=3$时：
$(ab)^3=a^3b^3$
(2) 运用积的乘方和幂的乘方法则拆分计算：
$(-3×10^2)^3=(-3)^3×(10^2)^3=-27×10^{2×3}=-27×10^6$
将结果转换为标准科学记数法：$-27×10^6=-2.7×10^7$
(3) 拆分各因式分别乘方：
$(-\dfrac{2}{3}mn^2)^3=(-\dfrac{2}{3})^3×m^3×(n^2)^3=-\dfrac{8}{27}m^3n^{2×3}=-\dfrac{8}{27}m^3n^6$
【答案】
(1) $a^3b^3$ (2) $-2.7 × 10^7$ (3) $-\dfrac{8}{27}m^3n^6$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、科学记数法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，重点考察运算法则的掌握程度，解题时要注意负数乘方的符号判断、幂的乘方的指数计算规则，以及科学记数法的规范表达，熟练掌握基础运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查积的乘方相关运算，解题核心是运用积的乘方运算法则：积的乘方，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同时结合幂的乘方、科学记数法的规则计算即可。
(1) 第一问是两个单项式乘积的乘方，直接对a、b分别取3次方后相乘即可；
(2) 第二问需先对-3和$10^2$分别取3次方，计算后再调整为规范的科学记数法形式；
(3) 第三问需对系数$-\dfrac{2}{3}$、m、$n^2$分别取3次方，注意负数奇次幂的符号为负，幂的乘方时指数相乘。
【解析】
(1) 根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n b^n$，当$n=3$时：
$(ab)^3=a^3b^3$
(2) 运用积的乘方和幂的乘方法则拆分计算：
$(-3×10^2)^3=(-3)^3×(10^2)^3=-27×10^{2×3}=-27×10^6$
将结果转换为标准科学记数法：$-27×10^6=-2.7×10^7$
(3) 拆分各因式分别乘方：
$(-\dfrac{2}{3}mn^2)^3=(-\dfrac{2}{3})^3×m^3×(n^2)^3=-\dfrac{8}{27}m^3n^{2×3}=-\dfrac{8}{27}m^3n^6$
【答案】
(1) $a^3b^3$ (2) $-2.7 × 10^7$ (3) $-\dfrac{8}{27}m^3n^6$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、科学记数法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，重点考察运算法则的掌握程度，解题时要注意负数乘方的符号判断、幂的乘方的指数计算规则，以及科学记数法的规范表达，熟练掌握基础运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
