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7.【例4】计算：$(\dfrac{1}{8})^{10} × 8^{10}.$
答案
7. 解:原式 = $(\dfrac{1}{8} × 8)^{10} = 1^{10} = 1.$
解析
【分析】
本题可通过观察式子特征简化计算：首先发现两个幂的指数均为10，且底数$\dfrac{1}{8}$和8互为倒数，乘积为1，因此可以逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，先计算底数的乘积，再计算乘方，即可快速得到结果，无需分别计算两个高次幂的值。
【解析】
根据积的乘方的逆运算公式，可得：
原式 $=(\dfrac{1}{8} × 8)^{10}$
$=1^{10}$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
积的乘方逆运算；有理数乘方计算
【点评】
本题是幂的运算中的基础简便运算题，解题核心是识别出同指数幂、底数互为倒数的特征，灵活逆用积的乘方公式简化计算，能有效避免高次幂直接计算的繁琐，是幂的运算中常用的简便技巧。
【难度系数】
0.9
本题可通过观察式子特征简化计算：首先发现两个幂的指数均为10，且底数$\dfrac{1}{8}$和8互为倒数，乘积为1，因此可以逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，先计算底数的乘积，再计算乘方，即可快速得到结果，无需分别计算两个高次幂的值。
【解析】
根据积的乘方的逆运算公式，可得：
原式 $=(\dfrac{1}{8} × 8)^{10}$
$=1^{10}$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
积的乘方逆运算；有理数乘方计算
【点评】
本题是幂的运算中的基础简便运算题，解题核心是识别出同指数幂、底数互为倒数的特征，灵活逆用积的乘方公式简化计算，能有效避免高次幂直接计算的繁琐，是幂的运算中常用的简便技巧。
【难度系数】
0.9
8.计算:$0.25^{2025} × 4^{2026}$
答案
8. 解:原式 = $0.25^{2025} × 4^{2025} × 4$
$= (0.25 × 4)^{2025} × 4 = 1 × 4 = 4.$
$= (0.25 × 4)^{2025} × 4 = 1 × 4 = 4.$
解析
【分析】
解题时首先观察式子中两个幂的底数特征：0.25和4互为倒数，乘积为1，适合用积的乘方的逆运算简化计算。但两个幂的指数不同，因此先利用同底数幂乘法的逆运算，把$4^{2026}$拆分为$4^{2025}×4$，构造出指数相同的两个幂$0.25^{2025}$和$4^{2025}$，再套用积的乘方逆公式$a^n·b^n=(a·b)^n$计算即可。
【解析】
解：原式 = $0.25^{2025} × 4^{2025} × 4$
$= (0.25 × 4)^{2025} × 4$
$= 1^{2025} × 4$
$= 1 × 4$
$= 4$
【答案】
$4$
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂乘法逆用
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，解题关键是观察到底数的特殊数量关系，通过拆分指数构造同指数幂，将复杂的高次幂运算转化为简单的乘法计算，熟练掌握幂的运算法则及其逆用是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察式子中两个幂的底数特征：0.25和4互为倒数，乘积为1，适合用积的乘方的逆运算简化计算。但两个幂的指数不同，因此先利用同底数幂乘法的逆运算，把$4^{2026}$拆分为$4^{2025}×4$，构造出指数相同的两个幂$0.25^{2025}$和$4^{2025}$，再套用积的乘方逆公式$a^n·b^n=(a·b)^n$计算即可。
【解析】
解：原式 = $0.25^{2025} × 4^{2025} × 4$
$= (0.25 × 4)^{2025} × 4$
$= 1^{2025} × 4$
$= 1 × 4$
$= 4$
【答案】
$4$
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂乘法逆用
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，解题关键是观察到底数的特殊数量关系，通过拆分指数构造同指数幂，将复杂的高次幂运算转化为简单的乘法计算，熟练掌握幂的运算法则及其逆用是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
9.【例5】计算:$(-3x^3)^2 - x^2 · x^4 - (x^2)^3.$
答案
9. 解:原式 = $( - 3)^2 · (x^3)^2 - x^6 - x^6$
$=9x^6 - x^6 - x^6 = (9 - 1 - 1)x^6 = 7x^6.$
$=9x^6 - x^6 - x^6 = (9 - 1 - 1)x^6 = 7x^6.$
解析
【分析】
本题属于整式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：①先处理第一项的积的乘方，根据积的乘方法则，把每个因式分别乘方再相乘；②再处理第二项的同底数幂乘法，按照底数不变、指数相加的规则计算；③接着处理第三项的幂的乘方，按照底数不变、指数相乘的规则计算；④最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：原式$=(-3)^2·(x^3)^2 - x^{2+4} - x^{2×3}$
$=9x^6 - x^6 - x^6$
$=(9-1-1)x^6$
$=7x^6$
【答案】
$7x^6$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是整式运算的常规基础题型，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时需注意区分不同幂运算中指数的计算规则，避免因混淆法则出现指数计算错误，同时注意乘方运算的符号处理。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：①先处理第一项的积的乘方，根据积的乘方法则，把每个因式分别乘方再相乘；②再处理第二项的同底数幂乘法，按照底数不变、指数相加的规则计算；③接着处理第三项的幂的乘方，按照底数不变、指数相乘的规则计算；④最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：原式$=(-3)^2·(x^3)^2 - x^{2+4} - x^{2×3}$
$=9x^6 - x^6 - x^6$
$=(9-1-1)x^6$
$=7x^6$
【答案】
$7x^6$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是整式运算的常规基础题型，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时需注意区分不同幂运算中指数的计算规则，避免因混淆法则出现指数计算错误，同时注意乘方运算的符号处理。
【难度系数】
0.8
10.计算:$(x^2)^3 · x^3 + (-2x^3)^3$
答案
10. 解:原式 = $x^6 · x^3 + ( - 2)^3 · (x^3)^3$
$= x^9 - 8x^9 = (1 - 8)x^9 = - 7x^9.$
$= x^9 - 8x^9 = (1 - 8)x^9 = - 7x^9.$
解析
【分析】
本题属于整式混合运算题，按照运算顺序逐步思考即可：首先遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算规则，第一步先计算两个乘方项，分别用幂的乘方法则计算$(x^2)^3$、用积的乘方法则计算$(-2x^3)^3$；第二步计算乘方后的单项式乘法，用同底数幂的乘法法则计算即可；最后合并同类项得到结果，计算过程中注意负数乘方的符号不要出错。
【解析】
解：原式 = $x^{2×3} · x^3 + (-2)^3 · (x^3)^3$
$= x^6 · x^3 - 8 · x^{3×3}$
$= x^{6+3} - 8x^9$
$= x^9 - 8x^9$
$= -7x^9$
【答案】
$-7x^9$
【知识点】
幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，核心考查幂的相关运算法则的掌握程度，运算时要严格遵循运算顺序，特别注意负数的奇次幂符号为负，避免因符号问题失分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式混合运算题，按照运算顺序逐步思考即可：首先遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算规则，第一步先计算两个乘方项，分别用幂的乘方法则计算$(x^2)^3$、用积的乘方法则计算$(-2x^3)^3$；第二步计算乘方后的单项式乘法，用同底数幂的乘法法则计算即可；最后合并同类项得到结果，计算过程中注意负数乘方的符号不要出错。
【解析】
解：原式 = $x^{2×3} · x^3 + (-2)^3 · (x^3)^3$
$= x^6 · x^3 - 8 · x^{3×3}$
$= x^{6+3} - 8x^9$
$= x^9 - 8x^9$
$= -7x^9$
【答案】
$-7x^9$
【知识点】
幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，核心考查幂的相关运算法则的掌握程度，运算时要严格遵循运算顺序，特别注意负数的奇次幂符号为负，避免因符号问题失分。
【难度系数】
0.8
1. 下列算式中,计算正确的是 (
A.$a^2 + a^2 = a^4$
B.$(a^3)^4 = a^7$
C.$a^2 · a^2 = a^4$
D.$(-3a^3)^2 = 6a^6$
C
)A.$a^2 + a^2 = a^4$
B.$(a^3)^4 = a^7$
C.$a^2 · a^2 = a^4$
D.$(-3a^3)^2 = 6a^6$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查整式相关运算的正误判断，解题思路是逐一根据对应运算法则验证每个选项：首先回忆合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则，依次计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2+a^2$属于合并同类项，只需将系数相加，字母和字母的指数不变，计算得$a^2+a^2=2a^2≠ a^4$，故A错误；
B选项：$(a^3)^4$属于幂的乘方运算，法则是底数不变，指数相乘，计算得$(a^3)^4=a^{3×4}=a^{12}≠ a^7$，故B错误；
C选项：$a^2·a^2$属于同底数幂的乘法运算，法则是底数不变，指数相加，计算得$a^2·a^2=a^{2+2}=a^4$，故C正确；
D选项：$(-3a^3)^2$属于积的乘方运算，法则是把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算得$(-3a^3)^2=(-3)^2×(a^3)^2=9a^6≠6a^6$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项，幂的乘方运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，解题的核心是准确区分不同运算的法则，避免混淆指数的加减、乘除规律，熟练掌握各类运算法则就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式相关运算的正误判断，解题思路是逐一根据对应运算法则验证每个选项：首先回忆合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则，依次计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2+a^2$属于合并同类项，只需将系数相加，字母和字母的指数不变，计算得$a^2+a^2=2a^2≠ a^4$，故A错误；
B选项：$(a^3)^4$属于幂的乘方运算，法则是底数不变，指数相乘，计算得$(a^3)^4=a^{3×4}=a^{12}≠ a^7$，故B错误；
C选项：$a^2·a^2$属于同底数幂的乘法运算，法则是底数不变，指数相加，计算得$a^2·a^2=a^{2+2}=a^4$，故C正确；
D选项：$(-3a^3)^2$属于积的乘方运算，法则是把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算得$(-3a^3)^2=(-3)^2×(a^3)^2=9a^6≠6a^6$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项，幂的乘方运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，解题的核心是准确区分不同运算的法则，避免混淆指数的加减、乘除规律，熟练掌握各类运算法则就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
2.（上海中考）计算：$(4x^2)^3 = \underline{\hspace{}}.$
答案
64x⁶
解析
【分析】
本题考查整式的乘方运算，解题思路如下：首先回忆积的乘方运算法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；再结合幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，分步计算即可。第一步先将原式拆分为常数项4的乘方和含字母的因式$x^2$的乘方两部分，第二步分别计算两部分的结果，第三步将两个结果相乘得到最终答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则可得：
$(4x^2)^3 = 4^3 × (x^2)^3$
计算常数项的乘方：$4^3 = 4×4×4 = 64$
根据幂的乘方运算法则计算含字母的乘方：$(x^2)^3 = x^{2×3} = x^6$
将两部分结果相乘：$64 × x^6 = 64x^6$
【答案】
$64x^6$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题是整式乘方的基础计算题，核心考查对乘方运算法则的掌握情况，只要牢记运算法则、计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的乘方运算，解题思路如下：首先回忆积的乘方运算法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；再结合幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，分步计算即可。第一步先将原式拆分为常数项4的乘方和含字母的因式$x^2$的乘方两部分，第二步分别计算两部分的结果，第三步将两个结果相乘得到最终答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则可得：
$(4x^2)^3 = 4^3 × (x^2)^3$
计算常数项的乘方：$4^3 = 4×4×4 = 64$
根据幂的乘方运算法则计算含字母的乘方：$(x^2)^3 = x^{2×3} = x^6$
将两部分结果相乘：$64 × x^6 = 64x^6$
【答案】
$64x^6$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题是整式乘方的基础计算题，核心考查对乘方运算法则的掌握情况，只要牢记运算法则、计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
3. 计算：
(1) $(a^3)^m = \_\_\_\_\_\_$； (2) $(ab)^4 = \_\_\_\_\_\_$；
(3) $(-xy^n)^3 = \_\_\_\_\_\_$；
(4) $(-5 × 10^5)^3 = \_\_\_\_\_\_$。
(1) $(a^3)^m = \_\_\_\_\_\_$； (2) $(ab)^4 = \_\_\_\_\_\_$；
(3) $(-xy^n)^3 = \_\_\_\_\_\_$；
(4) $(-5 × 10^5)^3 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
3. (1) $a^{3m}$ (2) $a^4b^4$ (3) $-x^3y^{3n}$ (4) $-1.25 × 10^{17}$
解析
【分析】
这4道小题均考查幂的运算相关法则，解题思路如下：
1. 第(1)题对应幂的乘方法则，只需牢记幂的乘方时底数不变、指数相乘即可计算；
2. 第(2)(3)(4)题对应积的乘方法则，需要把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，其中第(3)题要注意负号的乘方符号判断，第(4)题计算后需将结果整理为标准的科学记数法形式。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），可得：
$(a^3)^m = a^{3× m} = a^{3m}$
(2) 根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$（n为正整数），可得：
$(ab)^4 = a^4b^4$
(3) 运用积的乘方法则展开，再结合幂的乘方法则计算：
$(-xy^n)^3 = (-1)^3 · x^3 · (y^n)^3 = -1 · x^3 · y^{3n} = -x^3y^{3n}$
(4) 先运用积的乘方法则拆分计算，再整理为标准科学记数法：
$(-5×10^5)^3 = (-5)^3 × (10^5)^3 = -125 × 10^{15} = -1.25×10^2×10^{15} = -1.25×10^{17}$
【答案】
(1) $a^{3m}$；(2) $a^4b^4$；(3) $-x^3y^{3n}$；(4) $-1.25 × 10^{17}$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，科学记数法
【点评】
本题是幂的运算的基础常规题，核心考查对幂的运算性质的理解与运用，解题时要格外注意负号的乘方符号、指数的运算规则，以及科学记数法的规范表示，熟练掌握法则后即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
这4道小题均考查幂的运算相关法则，解题思路如下：
1. 第(1)题对应幂的乘方法则，只需牢记幂的乘方时底数不变、指数相乘即可计算；
2. 第(2)(3)(4)题对应积的乘方法则，需要把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，其中第(3)题要注意负号的乘方符号判断，第(4)题计算后需将结果整理为标准的科学记数法形式。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），可得：
$(a^3)^m = a^{3× m} = a^{3m}$
(2) 根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$（n为正整数），可得：
$(ab)^4 = a^4b^4$
(3) 运用积的乘方法则展开，再结合幂的乘方法则计算：
$(-xy^n)^3 = (-1)^3 · x^3 · (y^n)^3 = -1 · x^3 · y^{3n} = -x^3y^{3n}$
(4) 先运用积的乘方法则拆分计算，再整理为标准科学记数法：
$(-5×10^5)^3 = (-5)^3 × (10^5)^3 = -125 × 10^{15} = -1.25×10^2×10^{15} = -1.25×10^{17}$
【答案】
(1) $a^{3m}$；(2) $a^4b^4$；(3) $-x^3y^{3n}$；(4) $-1.25 × 10^{17}$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，科学记数法
【点评】
本题是幂的运算的基础常规题，核心考查对幂的运算性质的理解与运用，解题时要格外注意负号的乘方符号、指数的运算规则，以及科学记数法的规范表示，熟练掌握法则后即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
4. (2025 乐山) 已知：$a^m = 3, a^n = 2$，则，$a^{m+2n} =$
12
.答案
4. 12
解析
【分析】
要求$a^{m+2n}$的值，首先观察指数的形式是两个项的和，可联想同底数幂的乘法法则的逆用：$a^{x+y}=a^x· a^y$，把原式拆分为$a^m$和$a^{2n}$的乘积；再看$a^{2n}$的指数是乘积形式，可联想幂的乘方法则的逆用：$a^{xy}=(a^x)^y$，将$a^{2n}$变形为$(a^n)^2$，最后代入已知的$a^m$、$a^n$的数值计算即可。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算可得：
$a^{m+2n}=a^m · a^{2n}=a^m · (a^n)^2$
将$a^m = 3$，$a^n = 2$代入上式：
原式$=3× 2^2=3×4=12$
【答案】
12
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题的核心是熟练掌握幂的运算法则，并能根据所求式子的指数特征对公式进行逆用变形，是幂运算中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要求$a^{m+2n}$的值，首先观察指数的形式是两个项的和，可联想同底数幂的乘法法则的逆用：$a^{x+y}=a^x· a^y$，把原式拆分为$a^m$和$a^{2n}$的乘积；再看$a^{2n}$的指数是乘积形式，可联想幂的乘方法则的逆用：$a^{xy}=(a^x)^y$，将$a^{2n}$变形为$(a^n)^2$，最后代入已知的$a^m$、$a^n$的数值计算即可。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算可得：
$a^{m+2n}=a^m · a^{2n}=a^m · (a^n)^2$
将$a^m = 3$，$a^n = 2$代入上式：
原式$=3× 2^2=3×4=12$
【答案】
12
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题的核心是熟练掌握幂的运算法则，并能根据所求式子的指数特征对公式进行逆用变形，是幂运算中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 计算：
(1) $x · x^5 · (x^2)^5$；
(2) $(-2x^3 y^4)^2$；
(3) $-(m^2)^6 + (-2m^4)^3$。
(1) $x · x^5 · (x^2)^5$；
(2) $(-2x^3 y^4)^2$；
(3) $-(m^2)^6 + (-2m^4)^3$。
答案
(1) 解:原式 = x · x⁵ · x^(2×5) = x · x⁵ · x¹⁰ = x¹⁶。
(2) 解:原式 = (-2)² · (x³)² · (y⁴)² = 4x⁶y⁸。
(3) 解:原式 = -m¹² + (-2)³ · (m⁴)³ = -m¹² - 8m¹² = -(1 + 8)m¹² = -9m¹²。
(2) 解:原式 = (-2)² · (x³)² · (y⁴)² = 4x⁶y⁸。
(3) 解:原式 = -m¹² + (-2)³ · (m⁴)³ = -m¹² - 8m¹² = -(1 + 8)m¹² = -9m¹²。
解析
【分析】
解决这类幂的运算问题，首先明确运算顺序：先算乘方（含幂的乘方、积的乘方），再算乘法，最后算加减，有同类项的要合并同类项，同时要准确对应各运算法则，避免混淆指数的运算规则。
(1) 先计算幂的乘方项$(x^2)^5$，根据幂的乘方法则转化为同底数幂，再按照同底数幂的乘法法则计算即可；
(2) 属于积的乘方运算，将积里的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可；
(3) 先分别计算两个乘方项，注意区分负号的位置对结果符号的影响，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：$(x^2)^5=x^{2×5}=x^{10}$，再计算同底数幂的乘法：
原式$=x · x^5 · x^{10}=x^{1+5+10}=x^{16}$
(2) 根据积的乘方法则，将每个因式分别乘方：
原式$=(-2)^2 · (x^3)^2 · (y^4)^2=4x^{3×2}y^{4×2}=4x^6y^8$
(3) 先分别计算两个乘方项，再合并同类项：
原式$=-m^{2×6} + (-2)^3 · (m^4)^3=-m^{12}-8m^{12}=(-1-8)m^{12}=-9m^{12}$
【答案】
(1) $x^{16}$；(2) $4x^6y^8$；(3) $-9m^{12}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础练习题，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度，解题时要特别注意符号的处理（如负号在括号内外的运算差异），以及不同运算法则中指数是相加还是相乘的区别，避免因法则混淆出错。
【难度系数】
0.85
解决这类幂的运算问题，首先明确运算顺序：先算乘方（含幂的乘方、积的乘方），再算乘法，最后算加减，有同类项的要合并同类项，同时要准确对应各运算法则，避免混淆指数的运算规则。
(1) 先计算幂的乘方项$(x^2)^5$，根据幂的乘方法则转化为同底数幂，再按照同底数幂的乘法法则计算即可；
(2) 属于积的乘方运算，将积里的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可；
(3) 先分别计算两个乘方项，注意区分负号的位置对结果符号的影响，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：$(x^2)^5=x^{2×5}=x^{10}$，再计算同底数幂的乘法：
原式$=x · x^5 · x^{10}=x^{1+5+10}=x^{16}$
(2) 根据积的乘方法则，将每个因式分别乘方：
原式$=(-2)^2 · (x^3)^2 · (y^4)^2=4x^{3×2}y^{4×2}=4x^6y^8$
(3) 先分别计算两个乘方项，再合并同类项：
原式$=-m^{2×6} + (-2)^3 · (m^4)^3=-m^{12}-8m^{12}=(-1-8)m^{12}=-9m^{12}$
【答案】
(1) $x^{16}$；(2) $4x^6y^8$；(3) $-9m^{12}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础练习题，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度，解题时要特别注意符号的处理（如负号在括号内外的运算差异），以及不同运算法则中指数是相加还是相乘的区别，避免因法则混淆出错。
【难度系数】
0.85
6.已知$a=8^{3}$，$b=4^{5}$，则$a,b$的大小关系是
a ＜ b
答案
6. a ＜ b
解析
【分析】
要比较底数和指数都不相同的两个幂的大小，可先观察底数的共性，本题中8和4都可以转化为以2为底的幂，因此可利用幂的乘方法则，将a、b统一为同底数的幂，再根据“底数大于1时，指数越大，幂越大”的规律比较大小即可。
【解析】
先将a、b转化为以2为底的幂：
∵ $a = 8^3 = (2^3)^3$，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得$(2^3)^3 = 2^{3×3}=2^9$；
同理，$b = 4^5 = (2^2)^5 = 2^{2×5}=2^{10}$；
∵ 底数2＞1，且9＜10，
∴ $2^9 ＜ 2^{10}$，即$a ＜ b$。
【答案】
a ＜ b
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂大小比较
【点评】
本题主要考查幂的乘方的应用及同底数幂的大小比较，解题的核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
要比较底数和指数都不相同的两个幂的大小，可先观察底数的共性，本题中8和4都可以转化为以2为底的幂，因此可利用幂的乘方法则，将a、b统一为同底数的幂，再根据“底数大于1时，指数越大，幂越大”的规律比较大小即可。
【解析】
先将a、b转化为以2为底的幂：
∵ $a = 8^3 = (2^3)^3$，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得$(2^3)^3 = 2^{3×3}=2^9$；
同理，$b = 4^5 = (2^2)^5 = 2^{2×5}=2^{10}$；
∵ 底数2＞1，且9＜10，
∴ $2^9 ＜ 2^{10}$，即$a ＜ b$。
【答案】
a ＜ b
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂大小比较
【点评】
本题主要考查幂的乘方的应用及同底数幂的大小比较，解题的核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
7. 用简便方法计算:$0.25^{9}× 2^{20}× 25^{9}× 64^{3}.$
答案
7. 解:原式 = 0.25⁹ × 4¹⁰ × 25⁹ × 4⁹
= 4 × (0.25 × 4 × 25 × 4)⁹ = 4 × 10¹⁸。
= 4 × (0.25 × 4 × 25 × 4)⁹ = 4 × 10¹⁸。
解析
【分析】
本题是幂的乘法简便运算题，解题核心是利用幂的运算性质凑出乘积为整十、整百的数简化计算。首先观察底数特征：0.25与4相乘得1，25与4相乘得100，因此先将原式中$2^{20}$、$64^3$利用幂的乘方法则转化为底数为4的幂，再逆用积的乘方公式，把指数相同的幂合并计算即可。
【解析】
解：先对原式中各幂进行变形：
$2^{20}=(2^2)^{10}=4^{10}$，$64^3=(4^3)^3=4^{9}$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=0.25^9×4^{10}×25^9×4^9\\&=4×(0.25^9×4^9×25^9×4^9)\\&=4×(0.25×4×25×4)^9\\&=4×100^9\\&=4×(10^2)^9\\&=4×10^{18}\end{aligned}$
【答案】
$4×10^{18}$
【知识点】
幂的乘方运算；积的乘方逆运算；幂的简便计算
【点评】
本题属于幂的运算的典型应用题型，解题关键是根据底数的特点灵活转化幂的形式，逆用运算性质凑整，能有效避免直接计算高次幂带来的复杂运算，考查对幂的运算公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是幂的乘法简便运算题，解题核心是利用幂的运算性质凑出乘积为整十、整百的数简化计算。首先观察底数特征：0.25与4相乘得1，25与4相乘得100，因此先将原式中$2^{20}$、$64^3$利用幂的乘方法则转化为底数为4的幂，再逆用积的乘方公式，把指数相同的幂合并计算即可。
【解析】
解：先对原式中各幂进行变形：
$2^{20}=(2^2)^{10}=4^{10}$，$64^3=(4^3)^3=4^{9}$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=0.25^9×4^{10}×25^9×4^9\\&=4×(0.25^9×4^9×25^9×4^9)\\&=4×(0.25×4×25×4)^9\\&=4×100^9\\&=4×(10^2)^9\\&=4×10^{18}\end{aligned}$
【答案】
$4×10^{18}$
【知识点】
幂的乘方运算；积的乘方逆运算；幂的简便计算
【点评】
本题属于幂的运算的典型应用题型，解题关键是根据底数的特点灵活转化幂的形式，逆用运算性质凑整，能有效避免直接计算高次幂带来的复杂运算，考查对幂的运算公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 已知$x^n=3$，$y^n=2$，求$(xy)^{3n}$的值.
答案
解:
∵ $x^n = 3 , y^n = 2$,
∴ $(xy)^{3n} = x^{3n} · y^{3n} = (x^n)^3 · (y^n)^3 = 3^3 × 2^3 = 216$。
∵ $x^n = 3 , y^n = 2$,
∴ $(xy)^{3n} = x^{3n} · y^{3n} = (x^n)^3 · (y^n)^3 = 3^3 × 2^3 = 216$。
解析
【分析】
本题要求$(xy)^{3n}$的值，可通过逆用幂的运算性质，将待求式转化为含有已知$x^n$、$y^n$的形式再代入计算。首先逆用积的乘方法则，把$(xy)^{3n}$拆分为$x^{3n}·y^{3n}$；再逆用幂的乘方法则，把$x^{3n}$转化为$(x^n)^3$，$y^{3n}$转化为$(y^n)^3$；最后把已知的$x^n=3$、$y^n=2$代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $x^n = 3$，$y^n = 2$，
∴ $(xy)^{3n} = x^{3n} · y^{3n}$（逆用积的乘方运算性质）
$= (x^n)^3 · (y^n)^3$（逆用幂的乘方运算性质）
$= 3^3 × 2^3$
$= 27 × 8$
$= 216$
【答案】
$216$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查积的乘方、幂的乘方运算法则的逆用，解题关键是准确把握幂运算中指数的变化规律，将待求式变形为与已知条件匹配的形式即可快速求解，计算时注意不要出现乘方运算错误。
【难度系数】
0.8
本题要求$(xy)^{3n}$的值，可通过逆用幂的运算性质，将待求式转化为含有已知$x^n$、$y^n$的形式再代入计算。首先逆用积的乘方法则，把$(xy)^{3n}$拆分为$x^{3n}·y^{3n}$；再逆用幂的乘方法则，把$x^{3n}$转化为$(x^n)^3$，$y^{3n}$转化为$(y^n)^3$；最后把已知的$x^n=3$、$y^n=2$代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $x^n = 3$，$y^n = 2$，
∴ $(xy)^{3n} = x^{3n} · y^{3n}$（逆用积的乘方运算性质）
$= (x^n)^3 · (y^n)^3$（逆用幂的乘方运算性质）
$= 3^3 × 2^3$
$= 27 × 8$
$= 216$
【答案】
$216$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查积的乘方、幂的乘方运算法则的逆用，解题关键是准确把握幂运算中指数的变化规律，将待求式变形为与已知条件匹配的形式即可快速求解，计算时注意不要出现乘方运算错误。
【难度系数】
0.8
