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8. 大约在公元222年,我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”.如图,将四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD,中空的部分是小正方形EFGH,连接EG,BD交于点O,BD与HC相交于点P.若$GO = GP$,则直角三角形的边CG与BG的比值是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\sqrt{2} - 1$
D.$\sqrt{3} - \sqrt{2}$
C
).A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\sqrt{2} - 1$
D.$\sqrt{3} - \sqrt{2}$
答案
8. C 【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质,掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.
【解析】
∵ 四边形$EFGH$为正方形,
∴ $∠EGH = 45°,∠FGH = 90°$.
∵ $OG = GP$,
∴ $∠GOP = ∠OPG = 67.5°$,
∴ $∠PBG = 22.5°$.又
∵ $∠DBC =45°$,
∴ $∠GBC = 22.5°$,
∴ $∠PBG = ∠GBC$. 在$△BPG$和$△BCG$中,
$\begin{cases} ∠BGP = ∠BGC = 90°, \\ BG = BG, \\ ∠PBG = ∠GBC, \end{cases}$
∴ $△BPG≌△BCG(\mathrm{ASA})$,
∴ $PG = CG$. 设$OG = PG = CG = x$.
∵ $O$为$EG,BD$的交点,
∴ $EG = 2x$,
∴ $FG =\sqrt{2}x$.
∵ 将四个全等的直角三角形拼成大正方形$ABCD$,
∴ $BF = CG = x$,
∴ $BG = x +\sqrt{2}x$,
∴ $\frac{CG}{BG}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1$. 故选C.
【解析】
∵ 四边形$EFGH$为正方形,
∴ $∠EGH = 45°,∠FGH = 90°$.
∵ $OG = GP$,
∴ $∠GOP = ∠OPG = 67.5°$,
∴ $∠PBG = 22.5°$.又
∵ $∠DBC =45°$,
∴ $∠GBC = 22.5°$,
∴ $∠PBG = ∠GBC$. 在$△BPG$和$△BCG$中,
$\begin{cases} ∠BGP = ∠BGC = 90°, \\ BG = BG, \\ ∠PBG = ∠GBC, \end{cases}$
∴ $△BPG≌△BCG(\mathrm{ASA})$,
∴ $PG = CG$. 设$OG = PG = CG = x$.
∵ $O$为$EG,BD$的交点,
∴ $EG = 2x$,
∴ $FG =\sqrt{2}x$.
∵ 将四个全等的直角三角形拼成大正方形$ABCD$,
∴ $BF = CG = x$,
∴ $BG = x +\sqrt{2}x$,
∴ $\frac{CG}{BG}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1$. 故选C.
解析
【分析】本题围绕赵爽弦图的几何问题展开，解题思路为：先利用小正方形EFGH的性质得出角度，结合GO=GP求出相关角的度数；再利用大正方形对角线BD的性质，推导角相等，证明三角形全等；最后设未知数表示各边长度，结合正方形边长与对角线的关系，计算CG与BG的比值。
【解析】
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH=45°，∠FGH=90°。
∵OG=GP，
∴△GOP为等腰三角形，∠GOP=∠OPG=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠PBG=∠OPG - ∠DBC=67.5°-45°=22.5°，又
∵大正方形ABCD中BD是对角线，
∴∠DBC=45°，故∠GBC=22.5°，即∠PBG=∠GBC。在△BPG和△BCG中，$\begin{cases} ∠BGP=∠BGC=90° \\ BG=BG \\ ∠PBG=∠GBC \end{cases}$，
∴△BPG≌△BCG（ASA），得PG=CG。设OG=PG=CG=x，O为EG中点，故EG=2x，小正方形边长FG=√2 x。由四个直角三角形全等，得BF=CG=x，因此BG=BF + FG=x + √2 x，所以$\frac{CG}{BG}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1$。
【答案】C
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】本题以赵爽弦图为载体，综合考查正方形性质、全等三角形的判定与性质，解题核心是利用角度关系推导全等，结合边长关系求解，需要学生具备图形分析和逻辑推理能力，是典型的几何综合题。
【难度系数】0.5
【解析】
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH=45°，∠FGH=90°。
∵OG=GP，
∴△GOP为等腰三角形，∠GOP=∠OPG=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠PBG=∠OPG - ∠DBC=67.5°-45°=22.5°，又
∵大正方形ABCD中BD是对角线，
∴∠DBC=45°，故∠GBC=22.5°，即∠PBG=∠GBC。在△BPG和△BCG中，$\begin{cases} ∠BGP=∠BGC=90° \\ BG=BG \\ ∠PBG=∠GBC \end{cases}$，
∴△BPG≌△BCG（ASA），得PG=CG。设OG=PG=CG=x，O为EG中点，故EG=2x，小正方形边长FG=√2 x。由四个直角三角形全等，得BF=CG=x，因此BG=BF + FG=x + √2 x，所以$\frac{CG}{BG}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1$。
【答案】C
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】本题以赵爽弦图为载体，综合考查正方形性质、全等三角形的判定与性质，解题核心是利用角度关系推导全等，结合边长关系求解，需要学生具备图形分析和逻辑推理能力，是典型的几何综合题。
【难度系数】0.5
9. 某电信公司推出两种不同的收费标准:A种方式是月租20元;B种方式是月租0元.一个月本地网内打出电话费S(元)与打出时间t(分)的函数图象如图所示,当打出150分钟时,这两种方式的电话费相差(
A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
B
).A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
答案
9. B 【点拨】本题考查一次函数的实际应用,理解函数图象的意义,根据函数图象列出方程是解题的关键.
【解析】设A种方式每分钟的电话费为$x$元,B种方式每分钟的电话费为$y$元,则$20 + 100x = 30$,解得$x = 0.1$,$100y = 30$,解得$y = 0.3$. 当打出150分钟时,A种方式的电话费为$20 + 150×0.1 = 35$(元),B种方式的电话费为$0.3×150 = 45$(元),
∴ 这两种方式的电话费相差$45 - 35 = 10$(元). 故选B.
【解析】设A种方式每分钟的电话费为$x$元,B种方式每分钟的电话费为$y$元,则$20 + 100x = 30$,解得$x = 0.1$,$100y = 30$,解得$y = 0.3$. 当打出150分钟时,A种方式的电话费为$20 + 150×0.1 = 35$(元),B种方式的电话费为$0.3×150 = 45$(元),
∴ 这两种方式的电话费相差$45 - 35 = 10$(元). 故选B.
解析
【分析】要解决该问题，需先根据两种收费方式的函数图象，求出各自的函数表达式。A种方式含月租，为带常数项的一次函数；B种方式无月租，为正比例函数。从图象提取已知时间对应的费用，代入表达式算出每分钟话费，再计算打出150分钟时的费用差即可。
【解析】设A种方式每分钟电话费为$x$元，B种方式每分钟电话费为$y$元。
由图象可知，当$t=100$分钟时，A种话费为30元，B种话费也为30元，据此列方程：
对于A种方式：$20 + 100x = 30$，解得$x = 0.1$；
对于B种方式：$100y = 30$，解得$y = 0.3$。
当打出150分钟时：
A种话费：$20 + 150×0.1 = 35$（元）；
B种话费：$0.3×150 = 45$（元）；
两种话费相差：$45 - 35 = 10$（元）。
故选B。
【答案】B
【知识点】一次函数的应用；函数图象的意义
【点评】本题结合电信收费场景考查一次函数的实际应用，核心是从函数图象提取关键信息求解析式，再进行计算，属于基础应用题型，需掌握一次函数解析式的求解方法。
【难度系数】0.5
【解析】设A种方式每分钟电话费为$x$元，B种方式每分钟电话费为$y$元。
由图象可知，当$t=100$分钟时，A种话费为30元，B种话费也为30元，据此列方程：
对于A种方式：$20 + 100x = 30$，解得$x = 0.1$；
对于B种方式：$100y = 30$，解得$y = 0.3$。
当打出150分钟时：
A种话费：$20 + 150×0.1 = 35$（元）；
B种话费：$0.3×150 = 45$（元）；
两种话费相差：$45 - 35 = 10$（元）。
故选B。
【答案】B
【知识点】一次函数的应用；函数图象的意义
【点评】本题结合电信收费场景考查一次函数的实际应用，核心是从函数图象提取关键信息求解析式，再进行计算，属于基础应用题型，需掌握一次函数解析式的求解方法。
【难度系数】0.5
10. 若直线$ l_{n}:y = nx + n - 1 $和直线$ l_{n+1}:y = (n + 1)x + n $（$ n $为正整数）与$ x $轴围成的三角形面积记为$ S_{n},S_{1}+S_{2}+··· +S_{n} ＜ m $，则$ m $的最小值为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
B
）.A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
10. B 【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式,一次函数的性质,求得交点坐标是解题的关键.
【解析】将$y = nx + n - 1$和$y = (n + 1)x + n$联立,得
$\begin{cases} y = nx + n - 1, \\ y = (n + 1)x + n, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = -1, \\ y = -1, \end{cases}$
∴ 直线$l_n$和直线$l_{n+1}$相交于定点$C(-1,-1)$.
∵ 直线$y = nx + n - 1$与$x$轴的交点为$A(\frac{1 - n}{n},0)$,直线$y = (n + 1)x + n$与$x$轴的交点为$B(-\frac{n}{n + 1},0)$,
∴ $S_n = S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·|y_c| = \frac{1}{2}\left|\frac{1 - n}{n}+\frac{n}{n + 1}\right|×1=\frac{1}{2n(n + 1)}$,
∴ $S_1 + S_2 + \dots + S_n = \frac{1}{2}×[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{n(n + 1)}]=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{n + 1})=\frac{1}{2}·\frac{n}{n + 1}$.
∵ $S_1 + S_2 + \dots + S_n ＜ m$,
∴ $m$的最小值为$\frac{1}{2}$. 故选B.
【解析】将$y = nx + n - 1$和$y = (n + 1)x + n$联立,得
$\begin{cases} y = nx + n - 1, \\ y = (n + 1)x + n, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = -1, \\ y = -1, \end{cases}$
∴ 直线$l_n$和直线$l_{n+1}$相交于定点$C(-1,-1)$.
∵ 直线$y = nx + n - 1$与$x$轴的交点为$A(\frac{1 - n}{n},0)$,直线$y = (n + 1)x + n$与$x$轴的交点为$B(-\frac{n}{n + 1},0)$,
∴ $S_n = S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·|y_c| = \frac{1}{2}\left|\frac{1 - n}{n}+\frac{n}{n + 1}\right|×1=\frac{1}{2n(n + 1)}$,
∴ $S_1 + S_2 + \dots + S_n = \frac{1}{2}×[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{n(n + 1)}]=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{n + 1})=\frac{1}{2}·\frac{n}{n + 1}$.
∵ $S_1 + S_2 + \dots + S_n ＜ m$,
∴ $m$的最小值为$\frac{1}{2}$. 故选B.
解析
【分析】
本题需按以下思路解题：首先联立两条直线方程求交点，确定三角形的一个顶点；再分别求出两条直线与x轴的交点，得到三角形在x轴上的底边长；接着利用三角形面积公式计算$S_n$；然后用裂项相消法对$S_n$求和；最后根据求和结果的范围，确定满足$S_1+S_2+\dots+S_n＜m$的$m$的最小值。
【解析】
1. 联立直线$l_n$和$l_{n+1}$的方程：
$\begin{cases}y = nx + n - 1 \\y = (n + 1)x + n\end{cases}$
解得$\begin{cases} x = -1 \\ y = -1 \end{cases}$，即两直线交于定点$C(-1,-1)$。
2. 求直线与x轴的交点：
对$l_n:y = nx + n -1$，令$y=0$，得$0=nx +n -1$，解得$x=\frac{1-n}{n}$，即交点$A(\frac{1-n}{n},0)$；
对$l_{n+1}:y=(n+1)x +n$，令$y=0$，得$0=(n+1)x +n$，解得$x=-\frac{n}{n+1}$，即交点$B(-\frac{n}{n+1},0)$。
3. 计算三角形面积$S_n$：
$AB=\left|\frac{1-n}{n}-(-\frac{n}{n+1})\right|=\frac{1}{n(n+1)}$，三角形的高为$|y_C|=1$，故：
$S_n=\frac{1}{2}×AB×|y_C|=\frac{1}{2}×\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2n(n+1)}$。
4. 求和并化简：
$\begin{aligned}S_1+S_2+\dots+S_n&=\frac{1}{2}(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)})\\&=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]\\&=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n+1})=\frac{n}{2(n+1)}\end{aligned}$
5. 确定$m$的最小值：
因为$\frac{n}{2(n+1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n+1})＜\frac{1}{2}$，且当$n$增大时，该值趋近于$\frac{1}{2}$，故满足$S_1+S_2+\dots+S_n＜m$的$m$最小值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点、三角形面积、裂项相消求和
【点评】
本题结合一次函数性质与数列求和，核心是求直线交点及三角形面积，再用裂项相消法化简求和，属于常规综合题，需掌握基础方法即可解答。
【难度系数】
0.6
本题需按以下思路解题：首先联立两条直线方程求交点，确定三角形的一个顶点；再分别求出两条直线与x轴的交点，得到三角形在x轴上的底边长；接着利用三角形面积公式计算$S_n$；然后用裂项相消法对$S_n$求和；最后根据求和结果的范围，确定满足$S_1+S_2+\dots+S_n＜m$的$m$的最小值。
【解析】
1. 联立直线$l_n$和$l_{n+1}$的方程：
$\begin{cases}y = nx + n - 1 \\y = (n + 1)x + n\end{cases}$
解得$\begin{cases} x = -1 \\ y = -1 \end{cases}$，即两直线交于定点$C(-1,-1)$。
2. 求直线与x轴的交点：
对$l_n:y = nx + n -1$，令$y=0$，得$0=nx +n -1$，解得$x=\frac{1-n}{n}$，即交点$A(\frac{1-n}{n},0)$；
对$l_{n+1}:y=(n+1)x +n$，令$y=0$，得$0=(n+1)x +n$，解得$x=-\frac{n}{n+1}$，即交点$B(-\frac{n}{n+1},0)$。
3. 计算三角形面积$S_n$：
$AB=\left|\frac{1-n}{n}-(-\frac{n}{n+1})\right|=\frac{1}{n(n+1)}$，三角形的高为$|y_C|=1$，故：
$S_n=\frac{1}{2}×AB×|y_C|=\frac{1}{2}×\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2n(n+1)}$。
4. 求和并化简：
$\begin{aligned}S_1+S_2+\dots+S_n&=\frac{1}{2}(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)})\\&=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]\\&=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n+1})=\frac{n}{2(n+1)}\end{aligned}$
5. 确定$m$的最小值：
因为$\frac{n}{2(n+1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n+1})＜\frac{1}{2}$，且当$n$增大时，该值趋近于$\frac{1}{2}$，故满足$S_1+S_2+\dots+S_n＜m$的$m$最小值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点、三角形面积、裂项相消求和
【点评】
本题结合一次函数性质与数列求和，核心是求直线交点及三角形面积，再用裂项相消法化简求和，属于常规综合题，需掌握基础方法即可解答。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
答案
解：
11. 要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，需满足被开方数非负，即$x-2≥0$，
解得$x≥2$。
答案：$\boldsymbol{x≥2}$
12. 将$x=1$代入$y=2x-3$，得$y=2×1 - 3=-1$。
答案：$\boldsymbol{-1}$
13. 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。
由$S_甲^2=0.90＜S_乙^2=1.22$，可知甲的成绩更稳定。
答案：$\boldsymbol{甲}$
14. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC=5$，
∴ $∠ DAE=∠ BEA$，
∵ AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAE=∠ DAE$，
∴ $∠ BAE=∠ BEA$，
∴ $AB=BE=3$，
∴ $EC=BC-BE=5-3=2$。
答案：$\boldsymbol{2}$
15. ∵ 当$x＜2$时$y＞0$，且函数过点$(2,0)$，
∴ $y$随$x$增大而减小，即$k＜0$，
将$(2,0)$代入解析式得$0=2k+b$，即$b=-2k＞0$，
∴ 函数图象经过第一、二、四象限。
答案：$\boldsymbol{第一、二、四象限}$
16. 由折叠性质得$EB'=EB$，
∵ E是AB中点，$AB=4$，
∴ $AE=EB'=2$，即点$B'$在以E为圆心、2为半径的圆上运动，
当D、$B'$、E三点共线时，$B'D$取得最小值。
在$Rt△ ADE$中，$∠ A=90°$，$AD=6$，$AE=2$，
由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
∴ $B'D_{\mathrm{min}}=DE-EB'=2\sqrt{10}-2$。
答案：$\boldsymbol{2\sqrt{10}-2}$
11. 要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，需满足被开方数非负，即$x-2≥0$，
解得$x≥2$。
答案：$\boldsymbol{x≥2}$
12. 将$x=1$代入$y=2x-3$，得$y=2×1 - 3=-1$。
答案：$\boldsymbol{-1}$
13. 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。
由$S_甲^2=0.90＜S_乙^2=1.22$，可知甲的成绩更稳定。
答案：$\boldsymbol{甲}$
14. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC=5$，
∴ $∠ DAE=∠ BEA$，
∵ AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAE=∠ DAE$，
∴ $∠ BAE=∠ BEA$，
∴ $AB=BE=3$，
∴ $EC=BC-BE=5-3=2$。
答案：$\boldsymbol{2}$
15. ∵ 当$x＜2$时$y＞0$，且函数过点$(2,0)$，
∴ $y$随$x$增大而减小，即$k＜0$，
将$(2,0)$代入解析式得$0=2k+b$，即$b=-2k＞0$，
∴ 函数图象经过第一、二、四象限。
答案：$\boldsymbol{第一、二、四象限}$
16. 由折叠性质得$EB'=EB$，
∵ E是AB中点，$AB=4$，
∴ $AE=EB'=2$，即点$B'$在以E为圆心、2为半径的圆上运动，
当D、$B'$、E三点共线时，$B'D$取得最小值。
在$Rt△ ADE$中，$∠ A=90°$，$AD=6$，$AE=2$，
由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
∴ $B'D_{\mathrm{min}}=DE-EB'=2\sqrt{10}-2$。
答案：$\boldsymbol{2\sqrt{10}-2}$
解析
【分析】
这组填空题涵盖初中数学代数、几何的核心基础知识点，解题思路如下：
1. 第11题：依据二次根式有意义的条件（被开方数非负）列不等式求解；
2. 第12题：将自变量值代入一次函数解析式，直接计算函数值；
3. 第13题：利用方差的意义（方差越小，数据波动越小、越稳定）比较判断；
4. 第14题：结合平行四边形性质、角平分线定义推出等腰三角形，进而计算线段长度；
5. 第15题：根据一次函数的增减性和过的特殊点，判断图象经过的象限；
6. 第16题：利用折叠性质、圆上点到定点的最短距离（三点共线时），结合勾股定理计算最小值。
【解析】
11. 要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，需满足被开方数非负，即$x-2≥0$，解得$x≥2$；
12. 将$x=1$代入$y=2x-3$，得$y=2×1 - 3=-1$；
13. 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。已知$S_甲^2=0.90＜S_乙^2=1.22$，故甲的成绩更稳定；
14.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC=5$，
∴ $∠ DAE=∠ BEA$；又AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAE=∠ DAE$，故$∠ BAE=∠ BEA$，得$AB=BE=3$，因此$EC=BC-BE=5-3=2$；
15. 由题意，当$x＜2$时$y＞0$，且函数过点$(2,0)$，可知$y$随$x$增大而减小，即$k＜0$；将$(2,0)$代入解析式得$0=2k+b$，即$b=-2k＞0$，故函数图象经过第一、二、四象限；
16. 由折叠性质得$EB'=EB$，E是AB中点且$AB=4$，故$AE=EB'=2$，即点$B'$在以E为圆心、2为半径的圆上；当D、$B'$、E三点共线时，$B'D$取得最小值。在$Rt△ ADE$中，$∠ A=90°$，$AD=6$，$AE=2$，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，因此$B'D_{\mathrm{min}}=DE-EB'=2\sqrt{10}-2$；
【答案】
11. $x≥2$；12. $-1$；13. 甲；14. $2$；15. 第一、二、四象限；16. $2\sqrt{10}-2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、平行四边形的性质、一次函数的图像性质
【点评】
本题为初中数学基础填空题，覆盖代数、几何核心考点，注重对基本概念、性质的理解与简单应用，难度适中，能有效考察学生的基础知识掌握程度和基础计算、推理能力。
【难度系数】
0.8
这组填空题涵盖初中数学代数、几何的核心基础知识点，解题思路如下：
1. 第11题：依据二次根式有意义的条件（被开方数非负）列不等式求解；
2. 第12题：将自变量值代入一次函数解析式，直接计算函数值；
3. 第13题：利用方差的意义（方差越小，数据波动越小、越稳定）比较判断；
4. 第14题：结合平行四边形性质、角平分线定义推出等腰三角形，进而计算线段长度；
5. 第15题：根据一次函数的增减性和过的特殊点，判断图象经过的象限；
6. 第16题：利用折叠性质、圆上点到定点的最短距离（三点共线时），结合勾股定理计算最小值。
【解析】
11. 要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，需满足被开方数非负，即$x-2≥0$，解得$x≥2$；
12. 将$x=1$代入$y=2x-3$，得$y=2×1 - 3=-1$；
13. 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。已知$S_甲^2=0.90＜S_乙^2=1.22$，故甲的成绩更稳定；
14.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC=5$，
∴ $∠ DAE=∠ BEA$；又AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAE=∠ DAE$，故$∠ BAE=∠ BEA$，得$AB=BE=3$，因此$EC=BC-BE=5-3=2$；
15. 由题意，当$x＜2$时$y＞0$，且函数过点$(2,0)$，可知$y$随$x$增大而减小，即$k＜0$；将$(2,0)$代入解析式得$0=2k+b$，即$b=-2k＞0$，故函数图象经过第一、二、四象限；
16. 由折叠性质得$EB'=EB$，E是AB中点且$AB=4$，故$AE=EB'=2$，即点$B'$在以E为圆心、2为半径的圆上；当D、$B'$、E三点共线时，$B'D$取得最小值。在$Rt△ ADE$中，$∠ A=90°$，$AD=6$，$AE=2$，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，因此$B'D_{\mathrm{min}}=DE-EB'=2\sqrt{10}-2$；
【答案】
11. $x≥2$；12. $-1$；13. 甲；14. $2$；15. 第一、二、四象限；16. $2\sqrt{10}-2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、平行四边形的性质、一次函数的图像性质
【点评】
本题为初中数学基础填空题，覆盖代数、几何核心考点，注重对基本概念、性质的理解与简单应用，难度适中，能有效考察学生的基础知识掌握程度和基础计算、推理能力。
【难度系数】
0.8
11. 直接写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式：
$y=x$(答案不唯一)
.答案
11. $y=x$(答案不唯一) 【点拨】本题考查正比例函数的定义和性质,掌握正比例函数的定义和性质是解题的关键.
【解析】一般地,形如$y = kx$($k$是常数,且$k≠0$)的函数,叫正比例函数. 当$k＞0$时,正比例函数图象经过第一、三象限,当$k＜0$时,正比例函数图象经过第二、四象限,
∴ 满足题意的解析式为$y=x$(答案不唯一). 故答案为$y=x$(答案不唯一).
【解析】一般地,形如$y = kx$($k$是常数,且$k≠0$)的函数,叫正比例函数. 当$k＞0$时,正比例函数图象经过第一、三象限,当$k＜0$时,正比例函数图象经过第二、四象限,
∴ 满足题意的解析式为$y=x$(答案不唯一). 故答案为$y=x$(答案不唯一).
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确正比例函数的定义和图象性质：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），其图象所在象限由系数$k$的符号决定，当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。因此只需选取一个正数作为$k$的值，即可得到符合条件的解析式，且答案不唯一。
【解析】
根据正比例函数的定义，形如$y=kx$（$k$是常数，且$k≠0$）的函数为正比例函数；结合其图象性质：当$k＞0$时，正比例函数的图象经过第一、三象限。因此取$k=1$，可得符合条件的解析式$y=x$，满足条件的解析式不唯一，只要$k＞0$即可。
【答案】
$y=x$（答案不唯一）
【知识点】
正比例函数的定义、正比例函数的性质
【点评】
本题考查正比例函数的基础性质，属于基础题，只需掌握正比例函数的形式及图象与$k$的关系即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需先明确正比例函数的定义和图象性质：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），其图象所在象限由系数$k$的符号决定，当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。因此只需选取一个正数作为$k$的值，即可得到符合条件的解析式，且答案不唯一。
【解析】
根据正比例函数的定义，形如$y=kx$（$k$是常数，且$k≠0$）的函数为正比例函数；结合其图象性质：当$k＞0$时，正比例函数的图象经过第一、三象限。因此取$k=1$，可得符合条件的解析式$y=x$，满足条件的解析式不唯一，只要$k＞0$即可。
【答案】
$y=x$（答案不唯一）
【知识点】
正比例函数的定义、正比例函数的性质
【点评】
本题考查正比例函数的基础性质，属于基础题，只需掌握正比例函数的形式及图象与$k$的关系即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
12. 将$n$个有序数据分成两组，共有$\underline{\hspace{5em}}$种不同的分组方法（间隔）。
答案
12. $(n-1)$ 【点拨】本题考查数据分组的方法.
【解析】
∵ 将$n$个有序数据分成两组,数据的排序是确定的,
∴ 分组方法(间隔)数比数据的个数少1,即有$(n-1)$种分组方法. 故答案为$(n-1)$.
【解析】
∵ 将$n$个有序数据分成两组,数据的排序是确定的,
∴ 分组方法(间隔)数比数据的个数少1,即有$(n-1)$种分组方法. 故答案为$(n-1)$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确n个有序数据的排列特点：n个有序数据按顺序排列后，相邻两个数据之间会形成间隔，间隔的数量比数据总个数少1。而将有序数据分成两组时，只需选取一个间隔作为分组的分界，即可将数据分为两组，因此分组方法数等于间隔的数量，由此推导结果。
【解析】
因为n个有序数据是按确定顺序排列的，相邻数据间的间隔数为$n-1$个；将有序数据分成两组时，仅需选取1个间隔作为分组的分界，就能将数据分为两组，因此不同的分组方法数等于间隔的数量，即有$(n-1)$种。
【答案】
$(n-1)$
【知识点】
数据分组方法、间隔计数
【点评】
本题考查有序数据分组的基础概念，核心是理解间隔数与数据个数的关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确n个有序数据的排列特点：n个有序数据按顺序排列后，相邻两个数据之间会形成间隔，间隔的数量比数据总个数少1。而将有序数据分成两组时，只需选取一个间隔作为分组的分界，即可将数据分为两组，因此分组方法数等于间隔的数量，由此推导结果。
【解析】
因为n个有序数据是按确定顺序排列的，相邻数据间的间隔数为$n-1$个；将有序数据分成两组时，仅需选取1个间隔作为分组的分界，就能将数据分为两组，因此不同的分组方法数等于间隔的数量，即有$(n-1)$种。
【答案】
$(n-1)$
【知识点】
数据分组方法、间隔计数
【点评】
本题考查有序数据分组的基础概念，核心是理解间隔数与数据个数的关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.5
13. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y = kx + b$交$x$轴于点$A(1,0)$,则不等式$kx + b ≤ 0$的解集是________.
·80·
·80·
答案
13. $x≥1$ 【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系,数形结合是解题的关键.
【解析】由直线$y = kx + b$交$x$轴于点$A(1,0)$,结合函数图象可得,不等式$kx + b ≤ 0$的解集是$x≥1$. 故答案为$x≥1$.
【解析】由直线$y = kx + b$交$x$轴于点$A(1,0)$,结合函数图象可得,不等式$kx + b ≤ 0$的解集是$x≥1$. 故答案为$x≥1$.
解析
【分析】要确定不等式$kx + b ≤ 0$的解集，需利用一次函数图象与一元一次不等式的关系：不等式$kx + b ≤ 0$的解集对应一次函数$y = kx + b$的图象在$x$轴及下方部分的$x$取值范围。已知直线与$x$轴交于$A(1,0)$，结合图象走向即可推导结果。
【解析】已知直线$y = kx + b$交$x$轴于$A(1,0)$，观察图象可知，直线从左上向右下倾斜，即$k ＜ 0$。不等式$kx + b ≤ 0$表示函数值$y ≤ 0$，对应图象中$x$轴及下方的部分，该部分对应的$x$取值范围是$x ≥ 1$，因此不等式的解集为$x ≥ 1$。
【答案】$x≥1$
【知识点】一次函数与一元一次不等式、数形结合
【点评】本题通过一次函数图象求解一元一次不等式，核心是利用数形结合思想，将不等式转化为函数图象的直观区域，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】已知直线$y = kx + b$交$x$轴于$A(1,0)$，观察图象可知，直线从左上向右下倾斜，即$k ＜ 0$。不等式$kx + b ≤ 0$表示函数值$y ≤ 0$，对应图象中$x$轴及下方的部分，该部分对应的$x$取值范围是$x ≥ 1$，因此不等式的解集为$x ≥ 1$。
【答案】$x≥1$
【知识点】一次函数与一元一次不等式、数形结合
【点评】本题通过一次函数图象求解一元一次不等式，核心是利用数形结合思想，将不等式转化为函数图象的直观区域，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
