23.(8分)(2024·舟山定海)如图1,已知$AB// CD$,连结AD和BC交于点E。
(1)试说明:$∠ BAD+∠ BCD=∠ AEC$。(2分)
(2)如图2,$∠ AEC=60°$,点F,G分别在线段BE,ED上,$∠ EAF=2∠ BAF=2x$,$∠ DCG=2∠ ECG=2y$。
①请直接写出$∠ AFE$和$∠ EGC$的度数。(用含$x,y$的代数式表示)(3分)
②请判断$∠ AFE+2∠ EGC$是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。(3分)

23.(1)解:因为$AB// CD$,所以$∠ABC=∠BCD$。因为$∠BAD+∠ABC=180°-∠AEB=180°-(180°-∠AEC)=∠AEC$,所以$∠BAD+∠BCD=∠AEC$。(2)①$∠AFE=x+3y$,$∠EGC=3x+2y$。②解:$∠AFE+2∠EGC$是定值。$∠AFE+2∠EGC=x+3y+2(3x+2y)=x+3y+6x+4y=7x+7y=7(x+y)$。又因为$∠AEC=∠BAD+∠BCD=3x+3y=60°$,所以$x+y=20°$,故$7(x+y)=140°$,即$∠AFE+2∠EGC=140°$。

24.(10分)(2025·杭州拱墅)一个台球桌的桌面如图所示,一个球从桌面上的点O滚向桌边AB,碰到AB上的点P后反弹而滚向桌边CD,碰到CD上的点Q后反弹而滚向点R。如果$AB// CD$,OP,PQ,QR都是直线,且$∠OPQ$的平分线PM垂直于AB,$∠PQR$的平分线QN垂直于CD。
(1)判断并直接写出PM和QN的位置关系。(2分)
(2)猜想QR是否平行于OP,说明理由。(4分)
(3)若$∠RQD=α$,求$∠OPQ$的度数(用含α的代数式表示)。(4分)

24.(1)$PM// QN$。(2)解:$QR// OP$。理由如下:因为PM平分$∠OPQ$,所以$∠OPM=∠MPQ$。同理,$∠PQN=∠NQR$。由(1)得,$PM// QN$,所以$∠MPQ=∠PQN$,所以$∠OPQ=2∠MPQ=2∠PQN=∠PQR$,所以$QR// OP$。(3)解:因为$QN⊥CD$,所以$∠NQR=90°-∠RQD=90°-α$,所以$∠OPQ=∠PQR=2∠NQR=2(90°-α)=180°-2α$。