15. (1) 已知 $2x-1$ 的平方根是 $\pm 6,2x+y-$ 1 的算术平方根是 5 , 求 $2x-3y-6$ 的立方根.
(2) 已知 $x$ 是 1 的平方根,求代数式 $(x^{2025}-$
$1)(x^{2026}-712)(x^{2027}+1)(x^{2028}+712)+$
$1\ 000x$ 的立方根.

15. 解：（1）根据题意，得$\begin{cases}2x-1=36,\\2x+y-1=25,\end{cases}$解得 $2x=37,y=-11.$ 所以 $2x-3y-6=64,$所以 $2x-3y-6$ 的立方根为 4.
(2) 因为 $x$ 是 1 的平方根,所以 $x=\pm1.$ 当 $x=1$ 时,原式 $=1\ 000,(x^{2\ 025}-1)(x^{2\ 026}-712)(x^{2\ 027}+1)(x^{2\ 028}+712)+1\ 000x$ 的立方根为 10; 当 $x=-1$ 时,原式 $=-1\ 000,(x^{2\ 025}-1)(x^{2\ 026}-712)(x^{2\ 027}+1)(x^{2\ 028}+712)+1\ 000x$ 的立方根为 $-10.$ 综上,原式的立方根为 10 或 $-10.$

16. 数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求 59 319 的立方根,华罗庚脱口而出“39”,邻座的乘客十分惊奇,忙问其中的奥妙.你知道怎样迅速地计算结果吗?请你按下面的方法试一试.
第一步: 因为$\sqrt[3]{1\ 000}=10,\sqrt[3]{1\ 000\ 000}=$$100,1\ 000＜59\ 319＜1\ 000\ 000$,所以$10＜$$\sqrt[3]{59\ 319}＜100$,它的立方根是一个两位数.
第二步: 因为 59 319 的个位数是 $9,9^{3}=$$729$,所以能确定$\sqrt{59\ 319}$的个位数是 9.
第三步: 如果划去 59 319 后面的三位数,得到数 59 ,而$\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{59}＜\sqrt[3]{64}$,则$3＜$$\sqrt[3]{59}＜4$,可得$30＜\sqrt[3]{59\ 319}＜40$.由此确定 59 319 的立方根的十位数是 3,所以它的立方根是 39.
根据上述材料解答下列问题:
(1) 求 110 592 的立方根,写出步骤.
(2) 填空:$\sqrt[3]{85\ 184}=$.
思维大爆炸

16. （1）解:第一步:因为 $\sqrt[3]{1\ 000}=10,$$\sqrt[3]{1\ 000\ 000}=100,1\ 000＜110\ 592＜1\ 000\ 000,$所以 $10＜\sqrt[3]{110\ 592}＜100,$所以能确定 110 592 的立方根是个两位数.第二步:因为 110 592 的个位数是 2,$8^3=512,$所以能确定 110 592 的立方根的个位数是 8.第三步:如果划去 110 592 后面的三位 592 得到数 110,而 $\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{110}＜\sqrt[3]{125},$则 $4＜\sqrt[3]{110}＜5,$可得 $40＜\sqrt[3]{110\ 592}＜50,$由此能确定 110 592 的立方根的十位数是 4,因此 110 592 的立方根是 48.
(2) 44 提示:同理能确定 85 184 的立方根是个两位数.因为 85 184 的个位数是 4,$4^3=64,$所以能确定 85 184 的立方根的个位数是 4.而 $\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{85}＜\sqrt[3]{125},$则 $4＜\sqrt[3]{85}＜5,$可得 $40＜\sqrt[3]{85\ 184}＜50,$由此能确定 85 184 的立方根的十位数是 4,因此 85 184 的立方根是 44.

17. 一般地,如果 $x^{n}=a$($n$ 为正整数,且 $n＞$1),那么 $x$ 叫作 $a$ 的 $n$ 次方根. 例如:因为$2^{4}=16,(-2)^{4}=16$,所以 16 的四次方根是$\pm2$. 给出下列结论:①3 是 81 的四次方根;②若 $S=(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+$$1)· \ ··· \ · (3^{k}+1)$,则 $S$ 的三次方根是$\sqrt[3]{\dfrac{3^{2k}-1}{2}}$；③ 当 $\sqrt{(2\ 023+a)^{2}}+$$\sqrt{(a-2\ 025)^{2}}=4\ 048$ 时,整数 $a$ 的二次方根有 4 050 个. 其中正确的个数是（）

A.0
B.1
C.2
D.3

17. C 提示:因为 $3^4=81,$所以 3 是 81 的四次方根,故①正确;因为 $S=(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)·\ ·\ ·\ ·\ (3^k+1)=\dfrac{1}{2}(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)·\ ·\ ·\ ·\ (3^k+1)=\dfrac{1}{2}(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)·\ ·\ ·\ ·\ (3^k+1)=\dfrac{1}{2}(3^{2k}-1),$则 $S$ 的三次方根是 $\sqrt[3]{\dfrac{3^{2k}-1}{2}},$故②正确;由题意,得 $|2\ 023+a|+|a-2\ 025|=4\ 048,$即数轴上数 $a$ 到数 $-2\ 023$ 和数 2 025 的距离和为 4 048,又因为 $2\ 025-(-2\ 023)=4\ 048,$所以整数 $a$ 可取 $-2\ 023,-2\ 022,···,-1,0,1,···,2\ 025,$所以整数 $a$ 的二次方根有 $0,1,-1,\sqrt{2},-\sqrt{2},···,\sqrt{2\ 025},-\sqrt{2\ 025},$共 4 051 个,故③错误.

18. 已知数 $a,b,c,d$ 满足 $2\ 022a^3=2\ 023b^3=$
$2\ 024c^3=2\ 025d^3,$
$\sqrt[3]{2\ 022a^2+2\ 023b^2+2\ 024c^2+2\ 025d^2}=$
$\sqrt[3]{2\ 022}+\sqrt[3]{2\ 023}+\sqrt[3]{2\ 024}+\sqrt[3]{2\ 025},求$
$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}$ 的值.

18. 解:由题意知,$a,b,c,d$ 均不为 0. 设 $2\ 022a^3=2\ 023b^3=2\ 024c^3=2\ 025d^3=k(k≠0),$则 $2\ 022a^2=\dfrac{k}{a},2\ 023b^2=\dfrac{k}{b},2\ 024c^2=\dfrac{k}{c},2\ 025d^2=\dfrac{k}{d},\dfrac{k}{a^3}=2\ 022,\dfrac{k}{b^3}=2\ 023,\dfrac{k}{c^3}=2\ 024,\dfrac{k}{d^3}=2\ 025.$ 所以 $\sqrt[3]{\dfrac{k}{a}+\dfrac{k}{b}+\dfrac{k}{c}+\dfrac{k}{d}}=\sqrt[3]{\dfrac{k}{a^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{b^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{c^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{d^3}}.$ 因为 $(\sqrt[3]{\dfrac{k}{a^3}})^3=\dfrac{k}{a^3}=(\dfrac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt[3]{a^3}})^3,$所以 $\sqrt[3]{\dfrac{k}{a^3}}=\dfrac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt[3]{a^3}}.$ 同理 $\sqrt[3]{\dfrac{k}{b^3}}=\dfrac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt[3]{b^3}},$$\sqrt[3]{\dfrac{k}{c^3}}=\dfrac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt[3]{c^3}},$$\sqrt[3]{\dfrac{k}{d^3}}=\dfrac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt[3]{d^3}},$所以 $\sqrt[3]{k(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1})}=\sqrt[3]{k}\ (a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}).$ 因为 $(\sqrt[3]{k(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1})})^3=k(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1})=(\sqrt[3]{k}\sqrt[3]{a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}})^3,$所以 $\sqrt[3]{k}\sqrt[3]{a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}}=\sqrt[3]{k}\ (a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}),$所以 $\sqrt[3]{a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}}=a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1},$又因为 $2\ 022a^3=2\ 023b^3=2\ 024c^3=2\ 025d^3,$所以 $a,b,c,d$ 为同号,所以 $a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}=\pm1.$