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3. 消元法解题 下图中每个图形代表一个数,图中已经给出了一横行与两竖行的图形代表的数的和,请计算出“?”所表示的数是(
60
)。答案
答案：60
提示:已知一个横行和两个竖行上的图形代表的数的和分别为85,45,50,将这三个数相加得到总和,再除以3,就可以得到所求“?”的值。
提示:已知一个横行和两个竖行上的图形代表的数的和分别为85,45,50,将这三个数相加得到总和,再除以3,就可以得到所求“?”的值。
4. 【动点问题】如图, 在等腰梯形 $ABCD$ 中, $∠ DAB=45°, AB=10$ 厘米, $CD=4$ 厘米。等腰直角三角形 $PMN$ 的斜边 $MN$ 长 10 厘米。点 $A$ 与点 $N$ 重合, $MN$ 和 $AB$ 在同一条直线上。如果等腰梯形 $ABCD$ 不动, 等腰直角三角形 $PMN$ 沿 $AB$ 所在直线以 1 厘米/秒的速度向右平移, 直到点 $N$ 与点 $B$ 重合为止。
(1)等腰直角三角形 $PMN$ 在整个移动过程中与等腰梯形 $ABCD$ 重叠部分的形状由(
(2)当等腰直角三角形 $PMN$ 运动(
(1)等腰直角三角形 $PMN$ 在整个移动过程中与等腰梯形 $ABCD$ 重叠部分的形状由(
三角
)形变为(梯
)形。(2)当等腰直角三角形 $PMN$ 运动(
10
)秒时,它与等腰梯形 $ABCD$ 重叠部分的面积最大,此时重叠部分的面积是(21
)平方厘米。答案
(1)答案：三角 梯
提示:如图①②,等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由三角形变为梯形。
(2)答案：10 21
提示:当点N与点B重合时,重叠部分的面积最大,此时点N向右移动了10厘米,所用时间为10÷1=10(秒)。重叠部分即是梯形ABCD,上底是4厘米,下底是10厘米,先求出梯形的高,过点D作高交AB于点F,∠DAB=45°,则三角形AFD为等腰直角三角形,AF=DF=(10-4)÷2=3(厘米),则梯形ABCD的面积=(4+10)×3÷2=21(平方厘米)。
5. 推导证明问题 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,即三角形的三边长分别为$a,b,c$,记$p=(a+b+c)÷2$,则其面积$S$的平方可以用公式$S^2 = p×(p - a)×(p - b)×(p - c)$来计算,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式。若一个三角形的$a,b,c,p$为四个连续偶数,则此三角形的面积是多少?
答案
设b=a+2,c=a+4,p=a+6,所以a+6=(a+a+2+a+4)÷2=1.5a+3,解得a=6,b=8,c=10,p=12,所以S²=12×(12-6)×(12-8)×(12-10)=(12×2)×(6×4)=24²,S=24。
提示:若一个三角形的a,b,c,p为四个连续偶数,设b=a+2,则c=a+4,p=a+6,由p=(a+b+c)÷2可得a=6,所以b=8,c=10,p=12,因此三角形的面积的平方为S²=12×(12-6)×(12-8)×(12-10)=(12×2)×(6×4)=24²,解得S=24。
提示:若一个三角形的a,b,c,p为四个连续偶数,设b=a+2,则c=a+4,p=a+6,由p=(a+b+c)÷2可得a=6,所以b=8,c=10,p=12,因此三角形的面积的平方为S²=12×(12-6)×(12-8)×(12-10)=(12×2)×(6×4)=24²,解得S=24。
6. 材料阅读 密码学是研究编制和破译密码的技术科学,它与数学有密切关系。有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解,其中 Q,W,E,…,M 这 26 个字母依次对应 1~26 的自然数(见下表)。
以下是密文与明文之间的关系:当明文字母所对应的数为奇数时,密文字母所对应的数为比明文字母对应数大1的数的一半;当明文字母对应的数为偶数时,密文字母所对应的数比明文字母对应数的一半大 13。例如,将明文字母 Y 转化为密文:Y→6→6÷2+13=16→H。
【初步应用】
(1)明文字母“P”对应的密文字母是(
【解决问题】
(2)一串密码的明文字母是“NCUJCDNCD”,将它转化为密文字母。
【实际运用】
(3)把密文字母“QUXIAOXINGDONG”转化为明文字母。
以下是密文与明文之间的关系:当明文字母所对应的数为奇数时,密文字母所对应的数为比明文字母对应数大1的数的一半;当明文字母对应的数为偶数时,密文字母所对应的数比明文字母对应数的一半大 13。例如,将明文字母 Y 转化为密文:Y→6→6÷2+13=16→H。
【初步应用】
(1)明文字母“P”对应的密文字母是(
K
);密文字母“P”对应的明文字母是(L
)。【解决问题】
(2)一串密码的明文字母是“NCUJCDNCD”,将它转化为密文字母。
【实际运用】
(3)把密文字母“QUXIAOXINGDONG”转化为明文字母。
答案
(1)答案：K L
提示:根据明文转密文的规定,明文P对应的数是10,是偶数,则对应的密文是P→10→10÷2+13=18→K。密文P是10,则对应的明文是P→10→10×2-1=19→L。
(2)答案：N→25→13→D
C→22→24→B
U→7→4→R
J→17→9→O
D→13→7→U
所以是DBROBUDBU。
提示:根据明文转密文的规定,明文N对应的数是25,是奇数,则对应的密文是N→25→(25+1)÷2=13→D。明文C对应的数是22,是偶数,则对应的密文是C→22→22÷2+13=24→B。明文U对应的数是7,是奇数,则对应的密文是U→7→(7+1)÷2=4→R。明文J对应的数是17,是奇数,则对应的密文是J→17→(17+1)÷2=9→O。明文D对应的数是13,是奇数,则对应的密文是D→13→(13+1)÷2=7→U。所以对应的密文是DBROBUDBU。
(3)答案：Q→1→1→Q
U→7→13→D
X→21→16→H
I→8→15→G
A→11→21→X
O→9→17→J
N→25→24→B
G→15→4→R
D→13→25→N
所以是QDHGXJHG RNJBR。
提示:根据明文与密文的转化规定可知,密文Q对应的数是1,则对应的明文是Q→1→1×2-1=1→Q。密文U对应的数是7,则对应的明文是U→7→7×2-1=13→D。密文X对应的数是21,则对应的明文是X→21→(21-13)×2=16→H。密文I对应的数是8,则对应的明文是I→8→8×2-1=15→G。密文A对应的数是11,则对应的明文是A→11→11×2-1=21→X。密文O对应的数是9,则对应的明文是O→9→9×2-1=17→J。密文N对应的数是25,则对应的明文是N→25→(25-13)×2=24→B。密文G对应的数是15,则对应的明文是G→15→(15-13)×2=4→R。密文D对应的数是13,则对应的明文是D→13→13×2-1=25→N。所以对应的密文是QDHGXJHG RNJBR。
提示:根据明文转密文的规定,明文P对应的数是10,是偶数,则对应的密文是P→10→10÷2+13=18→K。密文P是10,则对应的明文是P→10→10×2-1=19→L。
(2)答案：N→25→13→D
C→22→24→B
U→7→4→R
J→17→9→O
D→13→7→U
所以是DBROBUDBU。
提示:根据明文转密文的规定,明文N对应的数是25,是奇数,则对应的密文是N→25→(25+1)÷2=13→D。明文C对应的数是22,是偶数,则对应的密文是C→22→22÷2+13=24→B。明文U对应的数是7,是奇数,则对应的密文是U→7→(7+1)÷2=4→R。明文J对应的数是17,是奇数,则对应的密文是J→17→(17+1)÷2=9→O。明文D对应的数是13,是奇数,则对应的密文是D→13→(13+1)÷2=7→U。所以对应的密文是DBROBUDBU。
(3)答案：Q→1→1→Q
U→7→13→D
X→21→16→H
I→8→15→G
A→11→21→X
O→9→17→J
N→25→24→B
G→15→4→R
D→13→25→N
所以是QDHGXJHG RNJBR。
提示:根据明文与密文的转化规定可知,密文Q对应的数是1,则对应的明文是Q→1→1×2-1=1→Q。密文U对应的数是7,则对应的明文是U→7→7×2-1=13→D。密文X对应的数是21,则对应的明文是X→21→(21-13)×2=16→H。密文I对应的数是8,则对应的明文是I→8→8×2-1=15→G。密文A对应的数是11,则对应的明文是A→11→11×2-1=21→X。密文O对应的数是9,则对应的明文是O→9→9×2-1=17→J。密文N对应的数是25,则对应的明文是N→25→(25-13)×2=24→B。密文G对应的数是15,则对应的明文是G→15→(15-13)×2=4→R。密文D对应的数是13,则对应的明文是D→13→13×2-1=25→N。所以对应的密文是QDHGXJHG RNJBR。
