2.(真题·台州仙居)将一个长10cm、宽6cm、高5cm的长方体钢坯锻造成一个底面积为$75\mathrm{cm}^2$的长方体，这个长方体的高是多少厘米？(5分)

2.$10×6×5÷75=4(\mathrm{cm})$

【分析】锻造前后钢坯的体积不变，因此先根据原长方体的长、宽、高计算出钢坯的体积，再用体积除以新长方体的底面积，即可求出新长方体的高。
【解析】原长方体钢坯的体积为：$10×6×5=300(\mathrm{cm}^3)$，由于锻造后体积不变，新长方体的高 = 体积÷底面积，即$300÷75=4(\mathrm{cm})$。
【答案】4cm
【知识点】长方体体积计算、体积等积变形
【点评】本题考查长方体体积公式的实际应用，核心是理解锻造前后体积不变，属于基础题型，侧重考察公式的灵活运用。
【难度系数】0.8

3.(真题·温州平阳)如图,有一个长 5dm、宽 3dm、高 3dm 的长方体玻璃缸(无盖),水高 2.8dm。
(1)制作这个玻璃缸至少需要多少平方分米的玻璃?(5 分)

(2)将一块石头放入长方体玻璃缸中,完全浸没后,缸里的水溢出了$0.2dm^3$。这块石头的体积是多少立方分米?(5 分)

3.(1)$5×3+5×3×2+3×3×2=63(\mathrm{dm}^2)$
(2)$5×3×(3-2.8)+0.2=3.2(\mathrm{dm}^3)$

【分析】
第(1)问：制作无盖长方体玻璃缸所需玻璃面积，是求长方体5个面的面积和（缺少顶面），需计算底面积加上前后、左右四个侧面的面积，对应无盖长方体表面积公式：长×宽 + 2×长×高 + 2×宽×高，此处高为玻璃缸的高度3dm。第(2)问：石头完全浸没时，其体积等于玻璃缸内空余部分的体积加上溢出的水的体积，空余体积=长×宽×(缸高 - 原有水高)，再加上溢出体积即可得到石头体积。
【解析】
(1) 因为玻璃缸无盖，所以所需玻璃面积为：
$\begin{aligned}&5×3 + 5×3×2 + 3×3×2\\=&15 + 30 + 18\\=&63(\mathrm{dm}^2)\end{aligned}$
(2) 玻璃缸内空余部分的体积为：
$5×3×(3 - 2.8)=5×3×0.2=3(\mathrm{dm}^3)$
石头体积 = 空余体积 + 溢出体积，即：
$3 + 0.2=3.2(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
(1) 63平方分米；(2) 3.2立方分米
【知识点】
长方体表面积、长方体体积、不规则物体体积
【点评】
本题结合实际场景考查长方体表面积和体积的应用，无盖容器表面积计算需注意少算一个顶面，不规则物体体积利用排水法（空余体积加溢出水体积）求解，是常规基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6

一块长方体木料刚好锯成两个完全相同的正方体，这两个正方体表面积的和比原长方体增加了$64\mathrm{cm}^2$，原长方体木料的表面积是（$\quad\quad\quad\quad$）。（10分）

$320\mathrm{cm}^2$ 解析:增加的是2个正方形,所以一个正方形的面积是 $64÷2=32(\mathrm{cm}^2)$,原长方体木料表面积由$12-2=10$(个)正方形组成,$32×10=320(\mathrm{cm}^2)$。

【分析】首先，长方体锯成两个完全相同的正方体时，会增加2个完全相同的正方形面，这是解题的核心突破口。我们先通过增加的表面积算出1个正方形面的面积；再分析原长方体的表面积对应多少个这样的正方形面（两个正方体总共有12个正方形面，锯开后新增2个，因此原长方体表面积对应10个正方形面）；最后用单个正方形面积乘对应面数，即可求出原长方体的表面积。
【解析】步骤1：计算单个正方形面的面积。锯成两个正方体后，表面积增加了2个正方形面，因此1个正方形面的面积为：$64÷2=32(\mathrm{cm}^2)$。步骤2：确定原长方体表面积对应的正方形面数量。两个正方体的总面数为$6×2=12$个，原长方体的表面积等于两个正方体总表面积减去新增的2个正方形面，即对应$12-2=10$个正方形面。步骤3：计算原长方体的表面积：$32×10=320(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】$320\mathrm{cm}^2$
【知识点】长方体表面积，正方体表面积，立体图形切割
【点评】本题考查立体图形切割后的表面积变化，关键是理解切割后新增面的形状和数量，将长方体表面积转化为正方形面的计算，需要一定的空间想象能力，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】0.5