等腰三角形的判定
等腰三角形的定义:如果一个三角形的两条边,那么就可判定这个三角形是等腰三角形.
等腰三角形的判定定理:有两个角的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).

相等 相等

【分析】
本题考查等腰三角形的基础概念识记，解题时只需回忆等腰三角形的定义和判定定理的核心内容即可。首先明确等腰三角形的定义是从边的特征出发给出的，判定定理是从角的特征出发推导得出的，对应填入相关描述即可。
【解析】
根据等腰三角形的定义：如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形，因此第一空填“相等”；
根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”），因此第二空填“相等”。
【答案】
相等 相等
【知识点】
等腰三角形的定义；等腰三角形的判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，重点要求掌握等腰三角形相关的核心基础概念，识记准确即可得分。
【难度系数】
0.9

【例】如图所示，$∠ 1 = ∠ 2$，$BD = CD$. 求证：$△ ABC$是等腰三角形.

证明:因为 BD=CD,所以∠DBC=∠DCB.
又因为∠1=∠2,所以∠1+∠DBC=∠2+∠DCB,
即∠ABC=∠ACB,
所以△ABC是等腰三角形.

【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，核心目标是证明∠ABC=∠ACB。首先结合已知条件BD=CD，可知△DBC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可推出∠DBC=∠DCB；再结合已知∠1=∠2，利用等量加等量和相等的性质，将两组相等的角分别相加，即可得到∠ABC=∠ACB，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵ BD=CD，
∴ ∠DBC=∠DCB（等边对等角）。
又
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠DBC=∠2+∠DCB（等式的性质），
即∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。
【答案】
证明:因为 BD=CD,所以∠DBC=∠DCB.
又因为∠1=∠2,所以∠1+∠DBC=∠2+∠DCB,
即∠ABC=∠ACB,
所以△ABC是等腰三角形.
【知识点】
等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础题型，解题关键是理清角之间的等量转换关系，通过等腰三角形的性质得到中间角相等，再结合角的和差推导得到待证的等角关系，侧重对基础知识点的应用考查，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8

【变式】△ABC的三边分别是a,b,c,下列各组条件中不能判定△ABC是等腰三角形的是（）

A.∠A:∠B:∠C=2:2:3
B.a:b:c=2:2:3
C.∠B=50°,∠C=80°
D.2∠A=∠B+∠C

D

【分析】
要判断△ABC是否为等腰三角形，只需验证三角形是否存在两条边相等，或两个内角相等即可（依据“等角对等边”的判定定理）。解题时结合三角形内角和为180°的性质，逐个分析每个选项是否能推出等角或等边，最终选出无法判定的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：设∠A=2x，∠B=2x，∠C=3x，根据三角形内角和为180°，可得$2x+2x+3x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，因此∠A=∠B，有两个角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意。
2. 选项B：边长比a:b:c=2:2:3，说明边a与边b长度相等，直接可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意。
3. 选项C：已知∠B=50°，∠C=80°，则∠A=$180°-50°-80°=50°$，因此∠A=∠B，有两个角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意。
4. 选项D：由$2∠A=∠B+∠C$，结合∠A+∠B+∠C=180°，代入可得$∠A+2∠A=180°$，解得∠A=60°，仅能推出∠B+∠C=120°，无法证明∠B和∠C相等，也不能推出有两条边相等，因此不能判定△ABC是等腰三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，解题核心是掌握“等角对等边”的判定规则，结合内角和定理计算角度即可，注意审题时明确题目要求选“不能判定”的选项，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8

1. 下列能判定三角形是等腰三角形的是（）

A.有两个角为 30°,60°
B.有两个角为 40°,80°
C.有两个角为 50°,80°
D.有两个角为 100°,120°

1. C

【分析】
要判定一个三角形是否为等腰三角形，可依据“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一判定定理，结合三角形内角和为180°的性质来验证：首先判断选项中给出的两个角之和是否超过180°，若超过则无法构成三角形，直接排除；若未超过，计算出第三个角的度数，查看三个角中是否存在两个相等的角，存在即为等腰三角形。
【解析】
根据三角形内角和为180°，等腰三角形需满足有两个内角相等，逐个分析选项：
A选项：第三个内角为$180° - 30° - 60° = 90°$，三个角分别为$30°、60°、90°$，无相等的角，不是等腰三角形；
B选项：第三个内角为$180° - 40° - 80° = 60°$，三个角分别为$40°、60°、80°$，无相等的角，不是等腰三角形；
C选项：第三个内角为$180° - 50° - 80° = 50°$，三个角中有两个$50°$的角，满足等腰三角形的判定条件；
D选项：$100° + 120° = 220° ＞ 180°$，不符合三角形内角和性质，无法构成三角形。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形的判定方法和三角形内角和的应用，解题时可先排除不符合内角和要求的选项，再计算剩余选项的第三个角度数验证即可，注意计算角度时不要出错。
【难度系数】
0.85

2. 如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,若AD,AE三等分∠BAC,则图中的等腰三角形有（）

A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

2. C

【分析】
要判断图中的等腰三角形，需结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理求解：首先根据已知等腰△ABC的顶角求出底角度数，再由角三等分的性质得到三个小角的度数，接着利用三角形内角和、外角性质计算每个三角形的内角度数，逐一判断是否存在两个相等的内角即可，注意按顺序排查避免漏算。
【解析】
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-108°)÷2=36°，△ABC是等腰三角形。
∵AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=108°÷3=36°。
①判断△ABD：∠B=∠BAD=36°，
∴AD=BD，△ABD是等腰三角形；
②判断△AEC：∠C=∠EAC=36°，
∴AE=EC，△AEC是等腰三角形；
③判断△ADE：∠ADE是△ABD的外角，∠ADE=∠B+∠BAD=36°+36°=72°，同理∠AED=∠C+∠EAC=72°，
∴∠ADE=∠AED，AD=AE，△ADE是等腰三角形；
④判断△ABE：∠BAE=∠BAD+∠DAE=36°+36°=72°，∠AEB=72°，
∴∠BAE=∠AEB，AB=BE，△ABE是等腰三角形；
⑤判断△ADC：∠DAC=∠DAE+∠EAC=36°+36°=72°，∠ADC=72°，
∴∠DAC=∠ADC，AC=DC，△ADC是等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC、△ABD、△ADE、△AEC、△ABE、△ADC，共6个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角等分的定义
【点评】
本题核心是利用等角对等边判断等腰三角形，解题的关键是准确计算出图中各个角的度数，按顺序逐一排查可避免漏数、错数等腰三角形。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=15°$,点D是AC边上一点,连接BD,$∠ DBC=60°$,$BD=4$,则AD的长是 ()

A.4
B.5
C.6
D.8

3. A

【分析】
解题时先从已知角度的直角$△ BCD$入手，利用三角形内角和求出$∠ BDC$的度数；再根据三角形外角的性质，结合已知$∠ A$的度数，推导得到$∠ ABD$与$∠ A$相等；最后依据等腰三角形“等角对等边”的判定，建立$AD$和已知线段$BD$的等量关系，即可求出$AD$的长度。
【解析】
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$，$∠ DBC=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BDC=180°-∠ C-∠ DBC=180°-90°-60°=30°$。
∵$∠ BDC$是$△ ABD$的外角，
∴$∠ BDC=∠ A+∠ ABD$。
已知$∠ A=15°$，代入得：
$∠ ABD=∠ BDC-∠ A=30°-15°=15°$，
∴$∠ ABD=∠ A$。
根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得$AD=BD$。
又
∵$BD=4$，
∴$AD=4$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题解题的关键是通过角度计算得到相等的角，进而利用等腰三角形的判定得到边的等量关系，整体解题思路清晰，计算量小，侧重对基础性质和判定的应用。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$∠ A=36°$，$∠ DBC=36°$，$∠ C=72°$，请写出图中的所有等腰三角形： 。

4. △ABD,△BDC,△ABC

【分析】
要判断图中的等腰三角形，需依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，核心是计算出各个三角形的内角度数，查看是否存在两个相等的内角。解题步骤可按以下顺序：①先利用三角形内角和计算△ABC中∠ABC的度数，判断△ABC是否为等腰三角形；②利用角的差计算∠ABD的度数，判断△ABD是否为等腰三角形；③再计算△BDC中∠BDC的度数，判断△BDC是否为等腰三角形。
【解析】
1. 判断△ABC是否为等腰三角形：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 36° - 72° = 72°$，
可得$∠ ABC = ∠ C$，根据等角对等边，$AB=AC$，因此△ABC是等腰三角形。
2. 判断△ABD是否为等腰三角形：
已知$∠ DBC=36°$，则$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC = 72° - 36° = 36°$，
可得$∠ ABD = ∠ A = 36°$，根据等角对等边，$AD=BD$，因此△ABD是等腰三角形。
3. 判断△BDC是否为等腰三角形：
在△BDC中，根据三角形内角和为180°，
$∠ BDC = 180° - ∠ DBC - ∠ C = 180° - 36° - 72° = 72°$，
可得$∠ BDC = ∠ C$，根据等角对等边，$BD=BC$，因此△BDC是等腰三角形。
【答案】
$△ ABD$，$△ BDC$，$△ ABC$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角度和差计算
【点评】
本题属于基础常考题，考查等腰三角形的判定方法，解题关键是熟练运用三角形内角和定理准确计算各角度数，再结合“等角对等边”逐一判断即可，掌握角度计算方法和等腰三角形判定规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

5.如图,一条船从海岛A处出发,向正北方向航行8海里到达海岛B处.从灯塔C望海岛A,A在C的南偏东$42°$方向上;从海岛B望灯塔C,C在B的北偏西$84°$方向上,则海岛B到灯塔C的距离是海里.

5. 8

【分析】
解题时先梳理已知条件：船从A向正北航行8海里到B，故AB=8海里，所有南北方向的直线互相平行。首先结合方向角的定义和平行线的性质求出∠BAC的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ACB的度数，发现∠BAC与∠ACB相等，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到BC与AB的等量关系，求出BC的长度。
【解析】
解：由题意可知AB=8海里，且过点C的南北方向虚线与AB所在的南北直线互相平行。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BAC=42°。
∵从B望灯塔C，C在B的北偏西84°方向上，即△ABC中，顶点B处的外角（正北方向与BC的夹角）为84°，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$84°=∠ BAC+∠ ACB$
将$∠ BAC=42°$代入得：$∠ ACB=84°-42°=42°$
∴$∠ BAC=∠ ACB$
根据“等角对等边”，可得$BC=AB=8$海里。
【答案】
8
【知识点】
方向角的识别；等腰三角形的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题结合实际航行的方向角问题考查了几何基础性质的应用，解题核心是准确通过方向角推导三角形的内角度数，再利用等腰三角形的判定得到边的关系，是几何知识结合实际场景的典型基础题。
【难度系数】
0.7