【变式2】下列说法中，正确的是（）。
①等腰三角形是等边三角形
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形
③等腰三角形至少有两条边相等

A.①②③
B.②③
C.①③
D.③

D

【分析】
这是一道三角形相关的概念辨析题，解题思路是先明确两个核心知识点：一是等腰三角形、等边三角形的定义及二者的从属关系，二是三角形按边分类的标准，再逐一验证三个说法是否符合概念要求，最终筛选出正确的选项。
【解析】
我们逐个分析三个说法的正误：
1. 分析说法①：等腰三角形的定义是至少有两条边相等的三角形，等边三角形是三条边都相等的特殊等腰三角形，即等边三角形属于等腰三角形的子集，不能反过来认为等腰三角形就是等边三角形，因此①错误。
2. 分析说法②：三角形按边分类的正确逻辑为：先分为不等边三角形（三条边都不相等）和等腰三角形，等腰三角形再进一步分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形。该说法将等边三角形与等腰三角形、不等边三角形并列分类，存在逻辑重复的错误，因此②错误。
3. 分析说法③：根据等腰三角形的定义，等腰三角形就是至少有两条边相等的三角形，因此③正确。
综上，只有③说法正确，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的分类；等腰三角形的定义；等边三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是混淆等腰三角形和等边三角形的从属关系，忽略三角形按边分类的层级逻辑，解题时要注意分类不能出现包含、重复的问题，牢记基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.7

1. 三角形是指().

A.由三条线段所组成的封闭图形
B.由不在同一条直线上的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
C.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
D.由三条线段首尾顺次相接所组成的图形

C

【分析】
本题考查三角形的定义，解题时首先要明确三角形定义的3个核心要素：①组成图形的是三条线段，不是直线；②三条线段不在同一条直线上；③三条线段需要首尾顺次相接。我们带着这三个判断标准逐一排查选项即可得出正确答案。
【解析】
三角形的标准定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
对各选项逐一分析：
A选项：缺少“不在同一条直线上”“首尾顺次相接”的限制条件，不符合定义，错误；
B选项：组成三角形的是三条线段而非三条直线，不符合定义，错误；
C选项：完全符合三角形的定义要求，正确；
D选项：缺少“不在同一条直线上”的前提，若三条线段共线，即使首尾顺次相接也无法构成三角形，不符合定义，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求大家准确记忆概念中的限制条件，切忌漏记、混淆概念的细节。
【难度系数】
0.9

2. 三角形按边分类可分为().

A.不等边三角形、等边三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D.不等边三角形、等腰三角形

D

【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形按边分类的逻辑规则：分类需做到不重复、不遗漏，层级清晰。首先回忆分类标准：三角形按边的相等关系划分，首先分为两大类，一类是三边都不相等的不等边三角形，另一类是至少有两边相等的等腰三角形；而等边三角形是三边都相等的特殊等腰三角形，属于等腰三角形的子类，不能作为独立的大类和前两者并列。接下来对照选项逐一排查错误选项，就能选出正确答案。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
1. 不等边三角形：三边均不相等的三角形；
2. 等腰三角形：至少有两边相等的三角形，其中包含“只有两边相等的等腰三角形”和“三边都相等的等边三角形”两类，等边三角形是特殊的等腰三角形。
对选项逐一判断：
A选项：缺少只有两边相等的等腰三角形，分类遗漏，错误；
B选项：将等边三角形与等腰三角形并列，忽略了等边三角形属于等腰三角形的范畴，分类逻辑错误，错误；
C选项：将不等边三角形、等腰三角形、等边三角形并列，出现分类重复的问题，错误；
D选项：符合三角形按边分类的标准，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类、等腰三角形与等边三角形的关系
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查分类的逻辑严谨性，易错点是容易误将等边三角形当作独立于等腰三角形的类别，记住等边三角形是特殊的等腰三角形即可避开误区。
【难度系数】
0.8

3. 如图, 以 CD 为公共边的三角形是, ∠EFB 是的内角; 在 $△ BCE$ 中, BE 所对的角是, ∠CBE 所对的边是; 以 ∠A 为公共角的三角形有.

解：
以 $CD$ 为公共边的三角形是 $△ CDF$ 和 $△ CDB$，$∠ EFB$ 是 $△ EFB$ 的内角；
在 $△ BCE$ 中，$BE$ 所对的角是 $∠ BCE$，$∠ CBE$ 所对的边是 $CE$；
以 $∠ A$ 为公共角的三角形有 $△ ABC$、$△ ABD$、$△ ACE$。

【分析】
解题时紧扣三角形相关基础概念逐一分析即可：
1. 找公共边对应的三角形：先固定公共边的两个端点，找出所有以这两个点为顶点，搭配第三个不同顶点组成的三角形；
2. 找角所属的三角形：看角的顶点和两条边共同所在的三角形，即为该内角所属的三角形；
3. 三角形边与角的对应：边所对的角是不与这条边有公共端点的角，角所对的边是不与这个角有公共顶点的边；
4. 找公共角对应的三角形：找出所有以这个角为内角的三角形即可。
【解析】
1. 找以CD为公共边的三角形：固定端点C、D，可搭配的第三个顶点为F、B，因此对应三角形是$△ CDF$和$△ CDB$；
2. 找$∠ EFB$所属的三角形：$∠ EFB$的顶点为F，两条边为FE、FB，三个顶点E、F、B组成$△ EFB$，因此$∠ EFB$是$△ EFB$的内角；
3. 在$△ BCE$中找BE所对的角：BE的端点为B、E，$△ BCE$中不与BE共端点的顶点为C，因此BE所对的角是$∠ BCE$；
4. 在$△ BCE$中找$∠ CBE$所对的边：$∠ CBE$的顶点为B，$△ BCE$中不与B共顶点的边为CE，因此$∠ CBE$所对的边是CE；
5. 找以$∠ A$为公共角的三角形：所有以A为顶点且包含$∠ A$的三角形有$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ACE$。
【答案】
以 $CD$ 为公共边的三角形是 $△ CDF$ 和 $△ CDB$，$∠ EFB$ 是 $△ EFB$ 的内角；在 $△ BCE$ 中，$BE$ 所对的角是 $∠ BCE$，$∠ CBE$ 所对的边是 $CE$；以 $∠ A$ 为公共角的三角形有 $△ ABC$、$△ ABD$、$△ ACE$。
【知识点】
三角形基本概念，三角形对边与对角，公共边与公共角
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对三角形入门定义的理解与应用，熟练掌握三角形的构成、边与角的对应关系等基础知识即可快速作答，是巩固三角形基础的典型习题。
【难度系数】
0.9

4. 图中以AB为边的三角形共有个.

$\boldsymbol{3}$

【分析】解题时先明确核心要求：寻找所有以AB为边的三角形。我们可以采用固定公共边的方法来计数：先锁定AB这条边，再根据三角形的定义，即三角形是由不在同一直线上的三个点首尾顺次连接构成的封闭图形，逐一寻找能与A、B两点构成三角形的第三个顶点，按顺序查找可有效避免漏数或多数。
【解析】根据三角形的定义，以AB为边的三角形需同时包含顶点A、B，且第三个顶点与A、B不在同一直线上。固定AB后逐一排查图中的顶点，可得到符合条件的三角形分别为△ABC、△ABD、△ABE，合计3个。
【答案】$\boldsymbol{3}$
【知识点】三角形的定义；三角形的边的识别
【点评】本题是基础概念应用题，按照“固定公共边→逐一匹配第三个顶点”的思路计数即可，解题时注意有序排查，避免漏数、重复计数。
【难度系数】0.8

5.若一个三角形的周长是60 cm,且三条边长的比为3:4:5,求这个三角形的三边长.

解：设这个三角形的三边长分别为$3x\ \mathrm{cm}$，$4x\ \mathrm{cm}$，$5x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形周长为$60\ \mathrm{cm}$，列方程得：
$3x + 4x + 5x = 60$
合并同类项得：$12x=60$
解得：$x=5$
则$3x=15$，$4x=20$，$5x=25$。
由三角形三边关系验证：$15+20＞25$，$15+25＞20$，$20+25＞15$，满足三边构成条件。
答：这个三角形的三边长分别为$15\ \mathrm{cm}$，$20\ \mathrm{cm}$，$25\ \mathrm{cm}$。

【分析】
已知三角形三边的比例关系和周长，解题时首先根据比例设每份长度为x，将三边长用含x的代数式表示，再依据“三角形周长等于三边长之和”的等量关系列出一元一次方程，求解得到x的取值后即可算出各边长度，最后需要用三角形三边关系验证结果是否合理，确保三条边可以构成三角形。
【解析】
设这个三角形的三边长分别为$3x\ \mathrm{cm}$，$4x\ \mathrm{cm}$，$5x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形周长为$60\ \mathrm{cm}$，列方程得：
$3x + 4x + 5x = 60$
合并同类项得：$12x=60$
解得：$x=5$
则$3x=15$，$4x=20$，$5x=25$。
由三角形三边关系验证：$15+20＞25$，$15+25＞20$，$20+25＞15$，满足三边构成条件。
答：这个三角形的三边长分别为$15\ \mathrm{cm}$，$20\ \mathrm{cm}$，$25\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$15\ \mathrm{cm}$，$20\ \mathrm{cm}$，$25\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 三角形周长计算
2. 一元一次方程应用
3. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是掌握利用比例设参数的方法，将未知边转化为含同一未知数的代数式，再结合周长公式列方程求解，解题时注意养成验证结果合理性的习惯，保证解题严谨性。
【难度系数】
0.8

1. 下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是().

D

【分析】
解题首先要明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的封闭图形。我们可以依据“三条线段、不在同一直线、首尾顺次连接、封闭”这几个核心判定要点，逐一排查四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，对各选项分析如下：
选项A：线段没有全部首尾顺次相接，存在线段超出交点的部分，不符合三角形定义；
选项B：图形为三条直线相交，不是线段首尾相接构成的封闭图形，不符合三角形定义；
选项C：右侧线段的端点未与底边的端点相接，未形成首尾顺次连接的封闭结构，不符合三角形定义；
选项D：三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接，围成了封闭图形，符合三角形的概念。
【答案】
D
【知识点】
三角形的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是对三角形定义的理解和应用，只要准确掌握三角形的判定特征，逐一核对选项即可轻松得出答案，主要考查学生对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.9

2. 如图.
(1) 图中共有 个三角形；
(2) $△ ABE$ 的顶点是 ，三个内角是 ；
(3) $∠ B$ 是哪些三角形的内角：；
(4) $AC$ 是哪些三角形的边：；

(5) $∠ B$ 是 $△ ABC$，$△ DBC$ 中 ，边的对角；
(6) 在$△ AOC$中，$∠ AOC$ 的对边是 .

解：
(1) $\boldsymbol{8}$
(2) 点$A$、点$B$、点$E$；$∠ BAE$、$∠ B$、$∠ AEB$
(3) $△ ABE$、$△ ABC$、$△ DBC$
(4) $△ ABC$、$△ ADC$、$△ AEC$、$△ AOC$
(5) $AC$；$DC$
(6) $AC$

【分析】
本题考查三角形的基础概念，解题思路如下：1. 数三角形个数时，按照从小到大或固定顶点的顺序逐一计数，避免重复、漏数；2. 其余问题均对应三角形的基本定义：三角形的顶点是构成三角形的三个端点，内角是三角形内部相邻两边形成的三个角，对角是三角形中某条边相对的角，对边是三角形中某个角相对的边，结合定义逐一排查对应图形即可。
【解析】
(1) 按顺序计数三角形：依次为△AOD、△AOC、△COE、△ABE、△AEC、△DBC、△ADC、△ABC，共8个。
(2) 根据三角形顶点的定义，△ABE的三个顶点为点A、点B、点E；根据三角形内角的定义，其三个内角为∠BAE、∠B、∠AEB。
(3) 查找以∠B为内角的三角形，即包含∠B的三角形，分别是△ABE、△ABC、△DBC。
(4) 查找以AC为边的三角形，即两个顶点为A、C的三角形，分别是△ABC、△ADC、△AEC、△AOC。
(5) 根据三角形对角的定义：在△ABC中，∠B所对的边是不经过点B的边AC；在△DBC中，∠B所对的边是不经过点B的边DC。
(6) 根据三角形对边的定义：在△AOC中，∠AOC的顶点是O，其对边是不经过点O的边AC。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$
(2) 点$A$、点$B$、点$E$；$∠ BAE$、$∠ B$、$∠ AEB$
(3) $△ ABE$、$△ ABC$、$△ DBC$
(4) $△ ABC$、$△ ADC$、$△ AEC$、$△ AOC$
(5) $AC$；$DC$
(6) $AC$
【知识点】
三角形的定义，三角形的顶点与内角，三角形的对边与对角
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对三角形相关基础定义的理解和应用，数三角形时注意有序计数即可避免出错，熟练掌握基础定义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8