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1.三角形的中线
(1)如图,连接$△ ABC$的顶点$A$和它所对的边$BC$的$E$,所得叫作$△ ABC$的边$BC$上的中线.
(2)三角形的三条相交于一点,交点叫作三角形的重心.
2.三角形的角平分线
(1)如上图,画$△ ABC$的$∠ BAC$的$AD$,交$∠ BAC$所对的边$BC$于点$D$,所得叫作$△ ABC$的角平分线.
(2)三角形的三条角平分线相交于一点.
3.三角形的高
(1)如上图,从$△ ABC$的顶点$A$向它所对的边$BC$所在直线画,垂足为$F$,所得叫作$△ ABC$的边$BC$上的高线.
(2)锐角三角形的三条高都在三角形的;直角三角形有两条高恰好是它的两条;钝角三角形有两条高在三角形的,两个垂足落在边的延长线上.
(1)如图,连接$△ ABC$的顶点$A$和它所对的边$BC$的$E$,所得叫作$△ ABC$的边$BC$上的中线.
(2)三角形的三条相交于一点,交点叫作三角形的重心.
2.三角形的角平分线
(1)如上图,画$△ ABC$的$∠ BAC$的$AD$,交$∠ BAC$所对的边$BC$于点$D$,所得叫作$△ ABC$的角平分线.
(2)三角形的三条角平分线相交于一点.
3.三角形的高
(1)如上图,从$△ ABC$的顶点$A$向它所对的边$BC$所在直线画,垂足为$F$,所得叫作$△ ABC$的边$BC$上的高线.
(2)锐角三角形的三条高都在三角形的;直角三角形有两条高恰好是它的两条;钝角三角形有两条高在三角形的,两个垂足落在边的延长线上.
答案
解：
1. 三角形的中线
(1) 中点；线段AE
(2) 中线
2. 三角形的角平分线
(1) 平分线；线段AD
3. 三角形的高
(1) 垂线；线段AF
(2) 内部；直角边；外部
1. 三角形的中线
(1) 中点；线段AE
(2) 中线
2. 三角形的角平分线
(1) 平分线；线段AD
3. 三角形的高
(1) 垂线；线段AF
(2) 内部；直角边；外部
解析
【分析】
本题考查三角形中线、角平分线、高的基本定义与相关性质，解题时只需回忆对应概念，逐一匹配填空即可。①对于三角形中线：明确中线是连接三角形顶点与对边中点的线段，三条中线的交点为重心；②对于三角形角平分线：明确是三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点到交点之间的线段；③对于三角形的高：明确是从顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足之间的线段，同时牢记不同类型三角形高的位置特点即可完成作答。
【解析】
1. 三角形的中线
(1) 根据三角形中线的定义，连接三角形顶点和对边中点的线段是该边上的中线，因此连接△ABC的顶点A和边BC的中点E，所得线段AE就是BC边上的中线。
(2) 三角形的三条中线相交于一点，这个交点就是三角形的重心。
2. 三角形的角平分线
(1) 根据三角形角平分线的定义，作三角形一个内角的平分线，与该角所对的边相交，顶点到交点的线段就是三角形的角平分线，因此画∠BAC的平分线AD，交BC于D，所得线段AD就是△ABC的角平分线。
3. 三角形的高
(1) 根据三角形高的定义，从三角形顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足的线段就是该边上的高，因此从A向BC所在直线画垂线，垂足为F，所得线段AF就是BC边上的高线。
(2) 结合不同三角形高的位置特征：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边本身就是两条高；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，对应垂足在边的延长线上。
【答案】
1.(1) 中点；线段AE (2) 中线
2.(1) 平分线；线段AD
3.(1) 垂线；线段AF (2) 内部；直角边；外部
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对三角形三类特殊线段的定义和相关性质的掌握，是学习三角形后续相关知识的基础，需要熟练记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形中线、角平分线、高的基本定义与相关性质，解题时只需回忆对应概念，逐一匹配填空即可。①对于三角形中线：明确中线是连接三角形顶点与对边中点的线段，三条中线的交点为重心；②对于三角形角平分线：明确是三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点到交点之间的线段；③对于三角形的高：明确是从顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足之间的线段，同时牢记不同类型三角形高的位置特点即可完成作答。
【解析】
1. 三角形的中线
(1) 根据三角形中线的定义，连接三角形顶点和对边中点的线段是该边上的中线，因此连接△ABC的顶点A和边BC的中点E，所得线段AE就是BC边上的中线。
(2) 三角形的三条中线相交于一点，这个交点就是三角形的重心。
2. 三角形的角平分线
(1) 根据三角形角平分线的定义，作三角形一个内角的平分线，与该角所对的边相交，顶点到交点的线段就是三角形的角平分线，因此画∠BAC的平分线AD，交BC于D，所得线段AD就是△ABC的角平分线。
3. 三角形的高
(1) 根据三角形高的定义，从三角形顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足的线段就是该边上的高，因此从A向BC所在直线画垂线，垂足为F，所得线段AF就是BC边上的高线。
(2) 结合不同三角形高的位置特征：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边本身就是两条高；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，对应垂足在边的延长线上。
【答案】
1.(1) 中点；线段AE (2) 中线
2.(1) 平分线；线段AD
3.(1) 垂线；线段AF (2) 内部；直角边；外部
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对三角形三类特殊线段的定义和相关性质的掌握，是学习三角形后续相关知识的基础，需要熟练记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，AD是△ABC的中线.
(1)若AB=7，AC=5，求△ABD与△ACD的
周长之差；
(2)画出图中△ABC的另外两条中线，观察三条中线的位置有什么特点？
重点必记
三角形的三条中线相交于三角形内部一点，这个交点是三角形的重心.由三角形的一条中线可得两条相等的线段和两个面积相等的三角形.
(1)若AB=7，AC=5，求△ABD与△ACD的
周长之差；
(2)画出图中△ABC的另外两条中线，观察三条中线的位置有什么特点？
三角形的三条中线相交于三角形内部一点，这个交点是三角形的重心.由三角形的一条中线可得两条相等的线段和两个面积相等的三角形.
答案
解：
(1) ∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
△ABD的周长为AB + BD + AD，△ACD的周长为AC + CD + AD，
∴ △ABD与△ACD的周长之差为：
(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC。
∵ AB=7，AC=5，
∴ 周长之差为7 - 5 = 2。
(2) 分别取AC的中点、AB的中点，连接对应顶点，得到另外两条中线。
观察可得：△ABC的三条中线相交于三角形内部的同一点。
(1) ∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
△ABD的周长为AB + BD + AD，△ACD的周长为AC + CD + AD，
∴ △ABD与△ACD的周长之差为：
(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC。
∵ AB=7，AC=5，
∴ 周长之差为7 - 5 = 2。
(2) 分别取AC的中点、AB的中点，连接对应顶点，得到另外两条中线。
观察可得：△ABC的三条中线相交于三角形内部的同一点。
解析
【分析】
(1) 求解两个三角形的周长差，首先先明确两个三角形的周长组成：△ABD周长为AB+BD+AD，△ACD周长为AC+CD+AD。根据AD是△ABC的中线，可得BD=CD，两个周长作差时，相等的BD和CD抵消，公共边AD也抵消，最终周长差就等于AB与AC的差，代入数值计算即可。
(2) 三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，要画另外两条中线，只需分别找到AB、AC边的中点，再分别和对应的顶点C、B连接即可；观察画出的三条中线，即可总结出位置特点。
【解析】
(1)
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
△ABD的周长为AB + BD + AD，△ACD的周长为AC + CD + AD，
∴ △ABD与△ACD的周长之差为：
(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC。
∵ AB=7，AC=5，
∴ 周长之差为7 - 5 = 2。
(2) 分别取AB的中点、AC的中点，将中点分别和对应的顶点C、B连接，得到的线段就是△ABC的另外两条中线。
观察可得：△ABC的三条中线相交于三角形内部的同一点。
【答案】
(1) 2；
(2) 三角形的三条中线相交于三角形内部的同一点。
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算，三角形重心概念
【点评】
本题围绕三角形中线的性质设置问题，侧重基础概念的应用，第一问通过作差抵消相等线段的方法简化计算，避免了不必要的边长求解，第二问侧重对三角形中线位置特点的直观认知，熟练掌握中线的定义和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
(1) 求解两个三角形的周长差，首先先明确两个三角形的周长组成：△ABD周长为AB+BD+AD，△ACD周长为AC+CD+AD。根据AD是△ABC的中线，可得BD=CD，两个周长作差时，相等的BD和CD抵消，公共边AD也抵消，最终周长差就等于AB与AC的差，代入数值计算即可。
(2) 三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，要画另外两条中线，只需分别找到AB、AC边的中点，再分别和对应的顶点C、B连接即可；观察画出的三条中线，即可总结出位置特点。
【解析】
(1)
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
△ABD的周长为AB + BD + AD，△ACD的周长为AC + CD + AD，
∴ △ABD与△ACD的周长之差为：
(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC。
∵ AB=7，AC=5，
∴ 周长之差为7 - 5 = 2。
(2) 分别取AB的中点、AC的中点，将中点分别和对应的顶点C、B连接，得到的线段就是△ABC的另外两条中线。
观察可得：△ABC的三条中线相交于三角形内部的同一点。
【答案】
(1) 2；
(2) 三角形的三条中线相交于三角形内部的同一点。
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算，三角形重心概念
【点评】
本题围绕三角形中线的性质设置问题，侧重基础概念的应用，第一问通过作差抵消相等线段的方法简化计算，避免了不必要的边长求解，第二问侧重对三角形中线位置特点的直观认知，熟练掌握中线的定义和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
【变式1】如图所示的网格图由边长相同的小正方形组成，点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的格点上，则$△ ABC$的重心是().
A.点G
B.点D
C.点E
D.点F
A.点G
B.点D
C.点E
D.点F
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。因此我们只需找到△ABC任意两条中线的交点，即可确定重心。解题时先根据网格特点找到三角形两条边的中点，画出对应中线，观察中线的交点对应的格点即可。
【解析】
根据三角形重心的定义，重心是三角形三条中线的交点：
1. 先找到AB边的中点，连接点C与该中点，得到AB边上的中线，观察可知这条中线经过点D；
2. 再找到BC边的中点，连接点A与该中点，得到BC边上的中线，观察可知这条中线也经过点D；
两条中线的交点为D，因此△ABC的重心是点D。
【答案】
B
【知识点】
三角形重心的定义；三角形的中线
【点评】
本题围绕三角形重心的概念设置，解题核心是掌握重心是三角形三条中线的交点，结合网格特征能快速找到中线的交点，解题难度不大。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。因此我们只需找到△ABC任意两条中线的交点，即可确定重心。解题时先根据网格特点找到三角形两条边的中点，画出对应中线，观察中线的交点对应的格点即可。
【解析】
根据三角形重心的定义，重心是三角形三条中线的交点：
1. 先找到AB边的中点，连接点C与该中点，得到AB边上的中线，观察可知这条中线经过点D；
2. 再找到BC边的中点，连接点A与该中点，得到BC边上的中线，观察可知这条中线也经过点D；
两条中线的交点为D，因此△ABC的重心是点D。
【答案】
B
【知识点】
三角形重心的定义；三角形的中线
【点评】
本题围绕三角形重心的概念设置，解题核心是掌握重心是三角形三条中线的交点，结合网格特征能快速找到中线的交点，解题难度不大。
【难度系数】
0.8
【例2】如图，若$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ 3 = ∠ 4$，则下列结论中错误的是（）.
A.$BD$是$△ ABC$的角平分线
B.$CE$是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3 = \frac{1}{2}∠ ACB$
D.$CE$是$△ ABC$的角平分线
重点必记
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点. 由三角形的一条角平分线可得两个相等的角,这是研究角的相等或倍分关系的依据之一.
A.$BD$是$△ ABC$的角平分线
B.$CE$是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3 = \frac{1}{2}∠ ACB$
D.$CE$是$△ ABC$的角平分线
重点必记
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点. 由三角形的一条角平分线可得两个相等的角,这是研究角的相等或倍分关系的依据之一.
答案
D
解析
【分析】
首先明确三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足两个条件：①平分三角形的一个内角；②线段的两个端点一个是三角形的顶点，另一个在该顶点的对边上。接下来结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且BD的端点B是△ABC的顶点，另一端点D在∠ABC的对边AC上，因此BD是△ABC的角平分线，结论正确，不符合题意。
B选项：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且CE的端点C是△BCD的顶点，另一端点E在∠BCD的对边BD上，因此CE是△BCD的角平分线，结论正确，不符合题意。
C选项：已知∠3=∠4，且∠ACB=∠3+∠4，因此∠ACB=2∠3，即$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$，结论正确，不符合题意。
D选项：若要成为△ABC的角平分线，从C出发的线段另一端点需在∠ACB的对边AB上，但CE的端点E在BD上，不在AB上，因此CE不是△ABC的角平分线，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题重点考查对三角形角平分线概念的掌握，要注意三角形的角平分线是线段，除了要平分对应内角外，另一个端点必须在该角的对边上，不要忽略这个特征导致判断错误。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足两个条件：①平分三角形的一个内角；②线段的两个端点一个是三角形的顶点，另一个在该顶点的对边上。接下来结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且BD的端点B是△ABC的顶点，另一端点D在∠ABC的对边AC上，因此BD是△ABC的角平分线，结论正确，不符合题意。
B选项：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且CE的端点C是△BCD的顶点，另一端点E在∠BCD的对边BD上，因此CE是△BCD的角平分线，结论正确，不符合题意。
C选项：已知∠3=∠4，且∠ACB=∠3+∠4，因此∠ACB=2∠3，即$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$，结论正确，不符合题意。
D选项：若要成为△ABC的角平分线，从C出发的线段另一端点需在∠ACB的对边AB上，但CE的端点E在BD上，不在AB上，因此CE不是△ABC的角平分线，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题重点考查对三角形角平分线概念的掌握，要注意三角形的角平分线是线段，除了要平分对应内角外，另一个端点必须在该角的对边上，不要忽略这个特征导致判断错误。
【难度系数】
0.7
