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11. 如图，某水域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它的北偏东$61°42'$方向上，观测到小岛B在它的南偏东$38°18'$方向上，则$∠ AOB$的补角的度数是
100°
。答案
11. 100°
解析
【分析】
解题时首先明确方位角的基本特征：观测点O处正北与正南方向共线，形成的平角为180°。要计算∠AOB的补角，首先需要先求出∠AOB的度数：用平角180°减去两个已知方位角的度数和，再根据补角的定义（两个角的和为180°则互为补角），即可求出∠AOB的补角，也可直接推导得出所求补角等于两个已知方位角的和，简化计算步骤。
【解析】
根据方位角的性质，正北方向与正南方向的夹角为平角，即180°。
1. 先计算两个已知方位角的和：
$61°42' + 38°18' = (61°+38°)+(42'+18') = 99°+60' = 100°$
2. 计算∠AOB的度数：
$∠AOB = 180° - 100° = 80°$
3. 根据补角的定义，计算∠AOB的补角：
$180° - 80° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
方位角的识别、度分秒的换算、补角的定义
【点评】
本题结合生活中的方位场景考查角度计算，解题的关键是掌握方位角的角度关系、度分秒的换算规则以及补角的定义，属于基础类题型，侧重对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方位角的基本特征：观测点O处正北与正南方向共线，形成的平角为180°。要计算∠AOB的补角，首先需要先求出∠AOB的度数：用平角180°减去两个已知方位角的度数和，再根据补角的定义（两个角的和为180°则互为补角），即可求出∠AOB的补角，也可直接推导得出所求补角等于两个已知方位角的和，简化计算步骤。
【解析】
根据方位角的性质，正北方向与正南方向的夹角为平角，即180°。
1. 先计算两个已知方位角的和：
$61°42' + 38°18' = (61°+38°)+(42'+18') = 99°+60' = 100°$
2. 计算∠AOB的度数：
$∠AOB = 180° - 100° = 80°$
3. 根据补角的定义，计算∠AOB的补角：
$180° - 80° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
方位角的识别、度分秒的换算、补角的定义
【点评】
本题结合生活中的方位场景考查角度计算，解题的关键是掌握方位角的角度关系、度分秒的换算规则以及补角的定义，属于基础类题型，侧重对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.8
12. 如图，O是直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE = 90°，给出以下结论：①∠AOD与∠BOE互为余角；②∠AOD = $\frac{1}{2}$∠COE；③∠BOE = 2∠COD；④若∠BOE = 58°，则∠COE = 61°。其中，正确的结论是
①③④
。（只填序号）答案
12. ①③④
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发：1. O在直线AB上，可得∠AOB是180°平角；2. OC平分∠AOE，可得∠AOC=∠COE=½∠AOE；3. ∠DOE=90°。接下来逐个验证4个结论：先通过平角和∠DOE的度数判断①；再看是否有条件能推出∠AOD和∠COE的固定倍数关系判断②；通过角的和差关系、角平分线性质推导∠BOE和∠COD的关系判断③；代入∠BOE的度数结合角平分线计算∠COE判断④，最终筛选出正确结论。
【解析】
解：已知O是直线AB上一点，因此∠AOB=180°。
①
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD + ∠BOE = 180° - ∠DOE = 90°，即∠AOD与∠BOE互为余角，故①正确；
②
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠COE=½∠AOE，但题目没有给出OD平分∠AOC的条件，因此∠AOD不一定等于½∠COE，故②错误；
③ ∠COD = ∠DOE - ∠COE = 90° - ∠COE，
又
∵∠COE=½∠AOE=½(180°-∠BOE)=90° - ½∠BOE，
代入得∠COD = 90° - (90° - ½∠BOE)=½∠BOE，即∠BOE=2∠COD，故③正确；
④ 若∠BOE=58°，则∠AOE=180°-58°=122°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠COE=½×122°=61°，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
余角的定义，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题重点考查角的运算与相关性质的应用，解题时要紧扣已知条件推导角的数量关系，注意不能自行添加题目未给出的条件来判断结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件出发：1. O在直线AB上，可得∠AOB是180°平角；2. OC平分∠AOE，可得∠AOC=∠COE=½∠AOE；3. ∠DOE=90°。接下来逐个验证4个结论：先通过平角和∠DOE的度数判断①；再看是否有条件能推出∠AOD和∠COE的固定倍数关系判断②；通过角的和差关系、角平分线性质推导∠BOE和∠COD的关系判断③；代入∠BOE的度数结合角平分线计算∠COE判断④，最终筛选出正确结论。
【解析】
解：已知O是直线AB上一点，因此∠AOB=180°。
①
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD + ∠BOE = 180° - ∠DOE = 90°，即∠AOD与∠BOE互为余角，故①正确；
②
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠COE=½∠AOE，但题目没有给出OD平分∠AOC的条件，因此∠AOD不一定等于½∠COE，故②错误；
③ ∠COD = ∠DOE - ∠COE = 90° - ∠COE，
又
∵∠COE=½∠AOE=½(180°-∠BOE)=90° - ½∠BOE，
代入得∠COD = 90° - (90° - ½∠BOE)=½∠BOE，即∠BOE=2∠COD，故③正确；
④ 若∠BOE=58°，则∠AOE=180°-58°=122°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠COE=½×122°=61°，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
余角的定义，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题重点考查角的运算与相关性质的应用，解题时要紧扣已知条件推导角的数量关系，注意不能自行添加题目未给出的条件来判断结论。
【难度系数】
0.7
13. (启东期末)已知O是直线AB上一点，$∠ BOC＜180°$，OD在$∠ BOC$内，OE平分$∠ BOC$.
(1) 如图①，当$∠ AOC = 40°$，$∠ COD = 60°$时，$∠ DOE$的度数是
(2) OF平分$∠ BOD$.
① 如图②，试说明$∠ COD = 2∠ EOF$；
② 若$∠ COF$与$∠ DOE$互为补角，求$∠ COD$的度数.
(1) 如图①，当$∠ AOC = 40°$，$∠ COD = 60°$时，$∠ DOE$的度数是
10°
.(2) OF平分$∠ BOD$.
① 如图②，试说明$∠ COD = 2∠ EOF$；
② 若$∠ COF$与$∠ DOE$互为补角，求$∠ COD$的度数.
答案
13. (1) 10° (2) ① 因为OE平分∠BOC,所以∠COE = ∠BOE. 因为OF平分∠BOD,所以∠DOF = ∠BOF. 因为∠COD = ∠COE + ∠DOE,所以∠COD = ∠BOE + ∠DOE = ∠DOE + ∠DOF + ∠BOF + ∠DOE = ∠DOE + ∠DOF + ∠DOF + ∠DOE = 2∠DOE + 2∠DOF = 2(∠DOE + ∠DOF) = 2∠EOF ② 因为∠COF与∠DOE互为补角,所以∠COF + ∠DOE = 180°. 所以∠COD + ∠DOF + ∠DOE = 180°. 所以2∠EOF + ∠EOF = 180°. 所以∠EOF = 60°. 所以∠COD = 2∠EOF = 120°
解析
【分析】
(1) 首先利用平角的性质求出∠BOC的度数，再结合角平分线的定义算出∠COE的度数，最后通过角的和差关系计算∠DOE即可。
(2) ① 要推导∠COD和∠EOF的数量关系，先根据角平分线定义得到两组相等的角，再把∠COD拆分为多个小角的和，通过等量代换整理即可得出结论；② 结合补角的定义得到两个角的和为180°，再代入①得到的结论进行替换计算，即可求出∠COD的度数。
【解析】
(1)
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
已知∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
又
∵∠COD=60°，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=70°-60°=10°。
(2) ① 证明：
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF=∠BOF，
∵∠COD=∠COE+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
又
∵∠BOE=∠BOF+∠DOF+∠DOE=2∠DOF+∠DOE，
∴∠COD=2∠DOF+∠DOE+∠DOE=2∠DOF+2∠DOE=2(∠DOE+∠DOF)=2∠EOF，即∠COD=2∠EOF。
② 解：
∵∠COF与∠DOE互为补角，
∴∠COF+∠DOE=180°，
∵∠COF=∠COD+∠DOF，
∴∠COD+∠DOF+∠DOE=180°，
由①可知∠COD=2∠EOF，且∠EOF=∠DOE+∠DOF，
代入得2∠EOF+∠EOF=180°，即3∠EOF=180°，解得∠EOF=60°，
∴∠COD=2∠EOF=2×60°=120°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10°}$；(2) ① 成立，证明见解析；② $\boldsymbol{120°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，补角的性质
【点评】
本题是角的计算类典型题型，解题的关键是结合图形理清各角之间的和差关系，灵活运用角平分线、补角的性质进行等量代换，第二小问直接复用前一问的结论可简化计算。
【难度系数】
0.65
(1) 首先利用平角的性质求出∠BOC的度数，再结合角平分线的定义算出∠COE的度数，最后通过角的和差关系计算∠DOE即可。
(2) ① 要推导∠COD和∠EOF的数量关系，先根据角平分线定义得到两组相等的角，再把∠COD拆分为多个小角的和，通过等量代换整理即可得出结论；② 结合补角的定义得到两个角的和为180°，再代入①得到的结论进行替换计算，即可求出∠COD的度数。
【解析】
(1)
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
已知∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
又
∵∠COD=60°，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=70°-60°=10°。
(2) ① 证明：
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF=∠BOF，
∵∠COD=∠COE+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
又
∵∠BOE=∠BOF+∠DOF+∠DOE=2∠DOF+∠DOE，
∴∠COD=2∠DOF+∠DOE+∠DOE=2∠DOF+2∠DOE=2(∠DOE+∠DOF)=2∠EOF，即∠COD=2∠EOF。
② 解：
∵∠COF与∠DOE互为补角，
∴∠COF+∠DOE=180°，
∵∠COF=∠COD+∠DOF，
∴∠COD+∠DOF+∠DOE=180°，
由①可知∠COD=2∠EOF，且∠EOF=∠DOE+∠DOF，
代入得2∠EOF+∠EOF=180°，即3∠EOF=180°，解得∠EOF=60°，
∴∠COD=2∠EOF=2×60°=120°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10°}$；(2) ① 成立，证明见解析；② $\boldsymbol{120°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，补角的性质
【点评】
本题是角的计算类典型题型，解题的关键是结合图形理清各角之间的和差关系，灵活运用角平分线、补角的性质进行等量代换，第二小问直接复用前一问的结论可简化计算。
【难度系数】
0.65
14. 如图，$∠ AOB = ∠ DOC = 90°$, $OE$平分$∠ AOD$,作$OE$的反向延长线$OF$.
(1) $∠ AOD$和$∠ BOC$是否互补？请说明理由.
(2) 射线$OF$是$∠ BOC$的平分线吗？请说明理由.
(3) 反向延长射线$OA$至点$G$,射线$OG$将$∠ COF$分成了$4:3$的两个角,求$∠ AOD$的度数.(直接写出答案即可)
(1) $∠ AOD$和$∠ BOC$是否互补？请说明理由.
(2) 射线$OF$是$∠ BOC$的平分线吗？请说明理由.
(3) 反向延长射线$OA$至点$G$,射线$OG$将$∠ COF$分成了$4:3$的两个角,求$∠ AOD$的度数.(直接写出答案即可)
答案
(1) 互补. 理由略 (2) 是. 理由略 (3) 54°或$(\frac{720}{11})°$
解析
【分析】
(1) 要判断两个角是否互补，只需验证两角之和为180°即可。结合周角为360°，用周角减去已知的两个直角的度数，就能得到∠AOD与∠BOC的和，进而判断是否互补。
(2) 要判断OF是否为∠BOC的平分线，只需证明∠COF=∠BOF。先根据角平分线定义得∠AOE=∠DOE，再结合平角为180°和已知的两个直角，分别用∠AOE、∠DOE表示∠COF和∠BOF，即可证明两角相等。
(3) 设∠AOD的度数为x，先根据前两问结论用x表示出∠COF和∠GOF的度数，再根据OG把∠COF分为4:3的两个角，分两种比例情况列方程求解即可。
【解析】
(1) ∠AOD和∠BOC互补，理由如下：
∵ 周角为$360°$，且$∠ AOB=∠ DOC=90°$
∴ $∠ AOD + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB - ∠ DOC = 360° - 90° - 90° = 180°$
∴ ∠AOD和∠BOC互补。
(2) 射线OF是∠BOC的平分线，理由如下：
∵ OE平分∠AOD
∴ $∠ AOE = ∠ DOE$
∵ $∠ COF = 180° - ∠ DOC - ∠ DOE = 180° - 90° - ∠ DOE = 90° - ∠ DOE$
$∠ BOF = 180° - ∠ AOB - ∠ AOE = 180° - 90° - ∠ AOE = 90° - ∠ AOE$
又
∵ $∠ AOE = ∠ DOE$
∴ $∠ COF = ∠ BOF$
∴ 射线OF是∠BOC的平分线。
(3) 设$∠ AOD=x$，
∵ OE平分∠AOD，
∴ $∠ AOE = ∠ DOE = \frac{x}{2}$
由(1)得$∠ BOC = 180° - x$，由(2)得$∠ COF = \frac{1}{2}∠ BOC = 90° - \frac{x}{2}$
∵ OG是OA的反向延长线，∠GOF与∠AOE是对顶角
∴ $∠ GOF = ∠ AOE = \frac{x}{2}$
OG将∠COF分成4:3的两个角，分两种情况：
① 当$∠ COG:∠ GOF=4:3$时，$∠ COF:∠ GOF=7:3$，即$(90° - \frac{x}{2}):\frac{x}{2}=7:3$，解得$x=54°$；
② 当$∠ COG:∠ GOF=3:4$时，$∠ COF:∠ GOF=7:4$，即$(90° - \frac{x}{2}):\frac{x}{2}=7:4$，解得$x=(\frac{720}{11})°$。
【答案】
(1) 互补，理由见解析；
(2) 是，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{54°}$或$\boldsymbol{(\frac{720}{11})°}$
【知识点】
补角的定义；角平分线的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题综合考查角的和差计算、互补的判定、角平分线的证明，第三问设置了分类讨论的考查点，要求学生梳理清楚各个角的数量关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断两个角是否互补，只需验证两角之和为180°即可。结合周角为360°，用周角减去已知的两个直角的度数，就能得到∠AOD与∠BOC的和，进而判断是否互补。
(2) 要判断OF是否为∠BOC的平分线，只需证明∠COF=∠BOF。先根据角平分线定义得∠AOE=∠DOE，再结合平角为180°和已知的两个直角，分别用∠AOE、∠DOE表示∠COF和∠BOF，即可证明两角相等。
(3) 设∠AOD的度数为x，先根据前两问结论用x表示出∠COF和∠GOF的度数，再根据OG把∠COF分为4:3的两个角，分两种比例情况列方程求解即可。
【解析】
(1) ∠AOD和∠BOC互补，理由如下：
∵ 周角为$360°$，且$∠ AOB=∠ DOC=90°$
∴ $∠ AOD + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB - ∠ DOC = 360° - 90° - 90° = 180°$
∴ ∠AOD和∠BOC互补。
(2) 射线OF是∠BOC的平分线，理由如下：
∵ OE平分∠AOD
∴ $∠ AOE = ∠ DOE$
∵ $∠ COF = 180° - ∠ DOC - ∠ DOE = 180° - 90° - ∠ DOE = 90° - ∠ DOE$
$∠ BOF = 180° - ∠ AOB - ∠ AOE = 180° - 90° - ∠ AOE = 90° - ∠ AOE$
又
∵ $∠ AOE = ∠ DOE$
∴ $∠ COF = ∠ BOF$
∴ 射线OF是∠BOC的平分线。
(3) 设$∠ AOD=x$，
∵ OE平分∠AOD，
∴ $∠ AOE = ∠ DOE = \frac{x}{2}$
由(1)得$∠ BOC = 180° - x$，由(2)得$∠ COF = \frac{1}{2}∠ BOC = 90° - \frac{x}{2}$
∵ OG是OA的反向延长线，∠GOF与∠AOE是对顶角
∴ $∠ GOF = ∠ AOE = \frac{x}{2}$
OG将∠COF分成4:3的两个角，分两种情况：
① 当$∠ COG:∠ GOF=4:3$时，$∠ COF:∠ GOF=7:3$，即$(90° - \frac{x}{2}):\frac{x}{2}=7:3$，解得$x=54°$；
② 当$∠ COG:∠ GOF=3:4$时，$∠ COF:∠ GOF=7:4$，即$(90° - \frac{x}{2}):\frac{x}{2}=7:4$，解得$x=(\frac{720}{11})°$。
【答案】
(1) 互补，理由见解析；
(2) 是，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{54°}$或$\boldsymbol{(\frac{720}{11})°}$
【知识点】
补角的定义；角平分线的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题综合考查角的和差计算、互补的判定、角平分线的证明，第三问设置了分类讨论的考查点，要求学生梳理清楚各个角的数量关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
