19.（本小题满分10分）
在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC＞BC$，$D$为$AB$的中点，$E$为直线$AC$上一动点，连接$DE$，过点$D$作$DF⊥ DE$，交直线$BC$于点$F$，连接$EF$.
(1)如图①，当$E$为线段$AC$的中点、$F$为线段$BC$的中点时，设$AE=a$，$BF=b$，求$EF$的长.（用含$a$，$b$的代数式表示）
(2)当点$E$在线段$CA$的延长线上时，请先依题意补全图②，再用等式表示线段$AE$，$EF$，$BF$之间的数量关系，并给出证明.

19. 解：(1)$\because E$为线段$AC$的中点，$F$为线段$BC$的中点，
$\therefore CE=AE=a$，$CF=BF=b$.
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{a^2+b^2}$.
(2)$AE^2+BF^2=EF^2$.
证明：如图，补全图形并过点$B$作$BM// AC$，与$ED$的延长线交于点$M$，连接$MF$，则有$∠ AED=∠ BMD$，$∠ CBM=∠ ACB=90°$.

$\because D$为$AB$的中点，
$\therefore AD=BD$.
在$△ ADE$和$△ BDM$中，
$\because \begin{cases} ∠ AED=∠ BMD,\\ ∠ ADE=∠ BDM,\\ AD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BDM(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AE=BM$，$DE=DM$.
$\because DF⊥ DE$，
$\therefore EF=MF$.
$\because BM^2+BF^2=MF^2$，
$\therefore AE^2+BF^2=EF^2$.

【分析】
(1) 本小问先根据中点的性质得到Rt△ECF的两条直角边CE、CF的长度，再结合∠C=90°，直接利用勾股定理计算EF的长度即可。
(2) 本小问要探究AE、EF、BF的数量关系，已知D是AB中点，可通过作辅助线构造全等三角形转化线段：过点B作BM//AC，交ED延长线于点M，先证△ADE≌△BDM，将AE转化为BM，再结合DF⊥DE且D是EM中点，可得DF垂直平分EM，即EF=MF，最后在Rt△MBF中用勾股定理即可得到三条线段的等量关系；补全图形时注意E在CA的延长线上，作DF⊥DE交直线BC于点F即可。
【解析】
(1)
∵E为线段AC的中点，F为线段BC的中点，
∴$CE=AE=a$，$CF=BF=b$，
又
∵$∠C=90°$，
∴在Rt△CEF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{a^2+b^2}$。
(2) 补全图形如下：

线段AE，EF，BF之间的数量关系为$AE^2+BF^2=EF^2$，证明如下：
过点B作$BM// AC$，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则$∠AED=∠BMD$，$∠CBM=∠ACB=90°$，
∵D为AB的中点，
∴$AD=BD$，
在$△ ADE$和$△ BDM$中：
$\begin{cases} ∠AED=∠BMD \\ ∠ADE=∠BDM \\ AD=BD \end{cases}$
∴$△ ADE≌△ BDM(\mathrm{AAS})$，
∴$AE=BM$，$DE=DM$，
∵$DF⊥DE$，即DF是线段EM的垂直平分线，
∴$EF=MF$，
在Rt$△ MBF$中，由勾股定理得：$BM^2+BF^2=MF^2$，
将$BM=AE$、$MF=EF$代入得：$AE^2+BF^2=EF^2$。
【答案】
(1) $EF=\sqrt{a^2+b^2}$
(2) 补全图形见，数量关系为$AE^2+BF^2=EF^2$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 全等三角形的判定与性质
3. 垂直平分线的性质
【点评】
本题第一问较为基础，直接利用中点性质和勾股定理即可求解；第二问需要结合中点特征构造全等三角形，实现线段的转化，将待探究的三条线段转移到同一个直角三角形中，侧重考查几何辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6