15. (2024 陕西咸阳)小明帮妈妈做饭时想测食用酱油的密度,于是他用材料制作了一个简易的密度秤。密度秤由容积为$2×10^{-4}m^{3}$的盛液筒和高度为 25 cm、底面积为$4×10^{-3}m^{2}$的圆柱体浮筒组成。如图所示,盛液筒内没有液体时,将密度秤放入水中,密度秤静止时浮筒浸入水中的深度为 10 cm。将盛液筒倒满酱油,待密度秤静止时,浮筒浸入水中的深度为 15.5 cm。已知$ρ_{水}=1.0×10^{3}kg/m^{3}$,g 取 10 N/kg。求:
(1)当盛液筒内没有液体时,浮筒下表面受到水的压强;
(2)该密度秤的重力;
(3)酱油的密度。

【解析】：
### （1）求浮筒下表面受到水的压强
根据液体压强公式$p = \rho_{水}gh$，已知$\rho_{水}=1.0\times10^{3}kg/m^{3}$，$g = 10N/kg$，$h = 0.1m$（$10cm = 0.1m$）。
则$p=\rho_{水}gh = 1.0\times10^{3}kg/m^{3}\times10N/kg\times0.1m = 1000Pa$。
### （2）求密度秤的重力
当盛液筒内没有液体时，密度秤漂浮在水中，根据阿基米德原理$F_{浮}=G$，且$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，$V_{排}=S{h}=4\times10^{- 3}m^{2}\times0.1m = 4\times10^{-4}m^{3}$。
所以$G = F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1.0\times10^{3}kg/m^{3}\times10N/kg\times4\times10^{-4}m^{3}=4N$。
### （3）求酱油的密度
当盛液筒倒满酱油时，排开水的体积$V_{排}'=S{h}'=4\times10^{-3}m^{2}\times0.155m = 6.2\times10^{-4}m^{3}$。
此时密度秤和酱油整体漂浮，$F_{浮}'=G + G_{酱油}$，$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'$，则$G_{酱油}=F_{浮}'-G=\rho_{水}gV_{排}'-G$。
代入数据可得$G_{酱油}=1.0\times10^{3}kg/m^{3}\times10N/kg\times6.2\times10^{-4}m^{3}-4N = 2.2N$。
由$G = mg$可得酱油质量$m_{酱油}=\frac{G_{酱油}}{g}=\frac{2.2N}{10N/kg}=0.22kg$。
已知酱油体积$V_{酱油}=2\times10^{-4}m^{3}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得$\rho_{酱油}=\frac{m_{酱油}}{V_{酱油}}=\frac{0.22kg}{2\times10^{-4}m^{3}} = 1.1\times10^{3}kg/m^{3}$。
【答案】：
(1) $1000Pa$
(2) $4N$
(3) $1.1\times10^{3}kg/m^{3}$