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1.圆是
轴对称
图形，任何一条直径
所在直线都是圆的对称轴。答案
1. 轴对称 直径
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称图形的定义，再结合圆的性质推导：若一个图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分可完全重合，该图形就是轴对称图形。将圆沿过圆心的直线对折时，两侧的半圆总能完全重合，因此圆属于轴对称图形；而过圆心的直线就是直径所在的直线，所以第二个空对应直径，注意对称轴是直线，因此不能直接说直径是对称轴，而是直径所在直线是对称轴。
【解析】
根据轴对称图形的定义：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。
对圆进行折叠操作可知：将圆沿任意一条直径所在的直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，且任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
因此两个空依次填入：轴对称、直径。
【答案】
轴对称；直径
【知识点】
轴对称图形判定；圆的对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对圆的轴对称性质的掌握，答题时要注意对称轴的属性是直线，避免出现“直径是圆的对称轴”这类概念混淆的错误，熟记相关基础概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆轴对称图形的定义，再结合圆的性质推导：若一个图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分可完全重合，该图形就是轴对称图形。将圆沿过圆心的直线对折时，两侧的半圆总能完全重合，因此圆属于轴对称图形；而过圆心的直线就是直径所在的直线，所以第二个空对应直径，注意对称轴是直线，因此不能直接说直径是对称轴，而是直径所在直线是对称轴。
【解析】
根据轴对称图形的定义：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。
对圆进行折叠操作可知：将圆沿任意一条直径所在的直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，且任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
因此两个空依次填入：轴对称、直径。
【答案】
轴对称；直径
【知识点】
轴对称图形判定；圆的对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对圆的轴对称性质的掌握，答题时要注意对称轴的属性是直线，避免出现“直径是圆的对称轴”这类概念混淆的错误，熟记相关基础概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
·练习1 下列说法正确的是(
A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆相交的直线是圆的对称轴
D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
B
).A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆相交的直线是圆的对称轴
D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
答案
练习1 B
解析
【分析】
解题前首先明确两个核心概念：1. 对称轴的定义是沿之对折后图形两部分能完全重合的直线，不是线段或射线；2. 圆是轴对称图形，所有经过圆心的直线都是它的对称轴。解题时带着这两个概念逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
首先明确：圆是轴对称图形，对称轴是直线，且所有经过圆心的直线都是圆的对称轴。
对各选项逐一分析：
A. 直径是线段，不符合对称轴“必须是直线”的要求，该选项错误；
B. 经过圆心的直线，沿该直线对折后圆的两部分能完全重合，是圆的对称轴，该选项正确；
C. 与圆相交的直线不一定经过圆心，对折后圆的两部分无法保证完全重合，不是对称轴，该选项错误；
D. 与半径垂直的直线不一定经过圆心，比如过半径上非圆心的点作半径的垂线，就不是圆的对称轴，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
圆的轴对称性；对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见易错点是忽略对称轴是直线，误将直径（线段）当作圆的对称轴，只要准确掌握圆的对称轴的本质特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确两个核心概念：1. 对称轴的定义是沿之对折后图形两部分能完全重合的直线，不是线段或射线；2. 圆是轴对称图形，所有经过圆心的直线都是它的对称轴。解题时带着这两个概念逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
首先明确：圆是轴对称图形，对称轴是直线，且所有经过圆心的直线都是圆的对称轴。
对各选项逐一分析：
A. 直径是线段，不符合对称轴“必须是直线”的要求，该选项错误；
B. 经过圆心的直线，沿该直线对折后圆的两部分能完全重合，是圆的对称轴，该选项正确；
C. 与圆相交的直线不一定经过圆心，对折后圆的两部分无法保证完全重合，不是对称轴，该选项错误；
D. 与半径垂直的直线不一定经过圆心，比如过半径上非圆心的点作半径的垂线，就不是圆的对称轴，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
圆的轴对称性；对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见易错点是忽略对称轴是直线，误将直径（线段）当作圆的对称轴，只要准确掌握圆的对称轴的本质特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.垂直于弦的
3.平分弦(不是直径)的直径
直径
平分弦，并且平分弦所对的两条弧
。3.平分弦(不是直径)的直径
垂直于
弦，并且平分
弦所对的两条弧
。答案
2. 直径 两条弧
3. 垂直于 平分 两条弧
3. 垂直于 平分 两条弧
解析
【分析】
这两道题考查垂径定理及其推论的核心内容，解题时先回忆对应的定理表述：①垂径定理是描述垂直于弦的直径的性质，②垂径定理的推论是描述平分非直径弦的直径的性质，注意推论中“弦不是直径”的限定条件，避免概念误解，对应填入相关表述即可。
【解析】
2. 根据垂径定理的定义：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，因此两个空依次对应“直径”“两条弧”。
3. 根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。这里限定弦不是直径，是因为若弦为直径，任意两条直径都互相平分但不一定垂直，因此三个空依次对应“垂直于”“平分”“两条弧”。
【答案】
2. 直径 两条弧
3. 垂直于 平分 两条弧
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对垂径定理及推论内容的识记与理解，解题的关键是准确掌握定理的完整表述，尤其要注意推论中“弦不是直径”的特殊限定，避免概念疏漏。
【难度系数】
0.9
这两道题考查垂径定理及其推论的核心内容，解题时先回忆对应的定理表述：①垂径定理是描述垂直于弦的直径的性质，②垂径定理的推论是描述平分非直径弦的直径的性质，注意推论中“弦不是直径”的限定条件，避免概念误解，对应填入相关表述即可。
【解析】
2. 根据垂径定理的定义：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，因此两个空依次对应“直径”“两条弧”。
3. 根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。这里限定弦不是直径，是因为若弦为直径，任意两条直径都互相平分但不一定垂直，因此三个空依次对应“垂直于”“平分”“两条弧”。
【答案】
2. 直径 两条弧
3. 垂直于 平分 两条弧
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对垂径定理及推论内容的识记与理解，解题的关键是准确掌握定理的完整表述，尤其要注意推论中“弦不是直径”的特殊限定，避免概念疏漏。
【难度系数】
0.9
练习2 如图，A，B，C三点在$\odot O$上，D为弦AB的中点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，则$OD=(\ )$.
A.$\frac{4}{3}\ \mathrm{cm}$
B.$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$
C.$\frac{8}{3}\ \mathrm{cm}$
D.$\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$
归纳总结 在圆中求半径、弦等线段的长度时，常常构造直角三角形，借助垂径定理并运用勾股定理来解决。
A.$\frac{4}{3}\ \mathrm{cm}$
B.$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$
C.$\frac{8}{3}\ \mathrm{cm}$
D.$\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$
归纳总结 在圆中求半径、弦等线段的长度时，常常构造直角三角形，借助垂径定理并运用勾股定理来解决。
答案
练习2 B
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件，D是弦AB的中点，且CD经过圆心O，根据垂径定理的推论可得出CD⊥AB，同时得到AD的长度。要求OD的长度，我们可以设OD为x cm，结合CD的长度可表示出圆的半径OA，再在Rt△OAD中利用勾股定理列方程，求解即可得到OD的长度。
【解析】
连接OA，
∵ D是弦AB的中点，CD过圆心O，
∴ 由垂径定理得：CD⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
设$OD=x\ \mathrm{cm}$，则圆的半径$OA=OC=CD-OD=(6-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$(6-x)^2=4^2+x^2$，
展开得：$36-12x+x^2=16+x^2$，
化简得：$12x=20$，
解得：$x=\frac{5}{3}$，
即$OD=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常见题型，核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，能有效考查对垂径定理的理解和勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件，D是弦AB的中点，且CD经过圆心O，根据垂径定理的推论可得出CD⊥AB，同时得到AD的长度。要求OD的长度，我们可以设OD为x cm，结合CD的长度可表示出圆的半径OA，再在Rt△OAD中利用勾股定理列方程，求解即可得到OD的长度。
【解析】
连接OA，
∵ D是弦AB的中点，CD过圆心O，
∴ 由垂径定理得：CD⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
设$OD=x\ \mathrm{cm}$，则圆的半径$OA=OC=CD-OD=(6-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$(6-x)^2=4^2+x^2$，
展开得：$36-12x+x^2=16+x^2$，
化简得：$12x=20$，
解得：$x=\frac{5}{3}$，
即$OD=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常见题型，核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，能有效考查对垂径定理的理解和勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
1.下列说法正确的是(
A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧,但不一定过圆心
C.过弦的中点的直径垂直于弦
D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦
D
).A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧,但不一定过圆心
C.过弦的中点的直径垂直于弦
D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的辨析，解题时需先明确垂径定理及各推论的成立条件，尤其要注意“平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧”这一推论中，弦不能是直径的前提，再逐一验证每个选项是否满足对应定理的完整条件即可。
【解析】
结合垂径定理及其推论逐一分析选项：
选项A：若被平分的弦本身是直径，任意过该弦中点的直径不一定与该弦垂直，也就无法平分弦所对的两条弧，该选项未说明弦不是直径，表述错误。
选项B：由于圆心到弦两端点的距离均为半径，因此圆心一定在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线必过圆心，该选项表述错误。
选项C：若弦本身是直径，过该弦中点的直径与该弦互相平分，但不一定垂直，该选项未说明弦不是直径，表述错误。
选项D：根据垂径定理的推论，平分弦所对的两条弧的直径，必然垂直平分这条弦，无论该弦是否为直径结论都成立，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题是对圆的基础性质的考查，错误选项多是忽略了垂径定理推论中“被平分的弦不能为直径”的前提设置的陷阱，解题时要注意验证定理的适用条件是否完整。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其推论的辨析，解题时需先明确垂径定理及各推论的成立条件，尤其要注意“平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧”这一推论中，弦不能是直径的前提，再逐一验证每个选项是否满足对应定理的完整条件即可。
【解析】
结合垂径定理及其推论逐一分析选项：
选项A：若被平分的弦本身是直径，任意过该弦中点的直径不一定与该弦垂直，也就无法平分弦所对的两条弧，该选项未说明弦不是直径，表述错误。
选项B：由于圆心到弦两端点的距离均为半径，因此圆心一定在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线必过圆心，该选项表述错误。
选项C：若弦本身是直径，过该弦中点的直径与该弦互相平分，但不一定垂直，该选项未说明弦不是直径，表述错误。
选项D：根据垂径定理的推论，平分弦所对的两条弧的直径，必然垂直平分这条弦，无论该弦是否为直径结论都成立，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题是对圆的基础性质的考查，错误选项多是忽略了垂径定理推论中“被平分的弦不能为直径”的前提设置的陷阱，解题时要注意验证定理的适用条件是否完整。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD为弦，$CD⊥ AB$，垂足为E，则下列结论中不一定成立的是（
A.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$
B.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
C.$OE=BE$
D.$CE=DE$
C
）.A.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$
B.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
C.$OE=BE$
D.$CE=DE$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查垂径定理的应用，解题时先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。再逐一分析每个选项：首先根据定理判断和垂径定理直接相关的结论是否成立，再判断没有定理支撑的结论是否一定成立即可。
【解析】
已知AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为E，根据垂径定理可得：
1. 直径AB平分弦CD，即$CE=DE$，故D选项结论一定成立；
2. 直径AB平分弦CD所对的两条弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，故A、B选项结论一定成立；
3. 对于C选项，题目未给出E是OB中点的相关条件，E的位置可以是OB上任意一点（只要满足CD⊥AB），因此$OE=BE$不一定成立。
综上，不一定成立的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查垂径定理的内容，解题时需注意题干要求选“不一定成立”的选项，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理的应用，解题时先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。再逐一分析每个选项：首先根据定理判断和垂径定理直接相关的结论是否成立，再判断没有定理支撑的结论是否一定成立即可。
【解析】
已知AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为E，根据垂径定理可得：
1. 直径AB平分弦CD，即$CE=DE$，故D选项结论一定成立；
2. 直径AB平分弦CD所对的两条弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，故A、B选项结论一定成立；
3. 对于C选项，题目未给出E是OB中点的相关条件，E的位置可以是OB上任意一点（只要满足CD⊥AB），因此$OE=BE$不一定成立。
综上，不一定成立的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查垂径定理的内容，解题时需注意题干要求选“不一定成立”的选项，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
3.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，OE=12，AB=10，那么⊙O的半径为(
A.5
B.10
C.12
D.13
D
).A.5
B.10
C.12
D.13
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：CD是圆的直径且垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得出AB被CD平分，得到半弦AE的长度；其次连接半径OA，构造出由半径OA、弦心距OE、半弦AE组成的直角三角形，最后利用勾股定理即可列方程求出圆的半径。
【解析】
连接OA，
∵ CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为E，
∴ 根据垂径定理，AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×10 = 5$。
设⊙O的半径为r，则OA = r，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：$OA^2 = OE^2 + AE^2$，
代入数值得：$r^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，
解得r = 13（半径为正数，舍去负根），故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型基础题，解题关键是掌握“垂直于弦的直径平分弦”这一垂径定理的核心结论，熟练构造“半径、半弦、弦心距”组成的直角三角形，结合勾股定理求解相关线段长度。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：CD是圆的直径且垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得出AB被CD平分，得到半弦AE的长度；其次连接半径OA，构造出由半径OA、弦心距OE、半弦AE组成的直角三角形，最后利用勾股定理即可列方程求出圆的半径。
【解析】
连接OA，
∵ CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为E，
∴ 根据垂径定理，AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×10 = 5$。
设⊙O的半径为r，则OA = r，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：$OA^2 = OE^2 + AE^2$，
代入数值得：$r^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，
解得r = 13（半径为正数，舍去负根），故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型基础题，解题关键是掌握“垂直于弦的直径平分弦”这一垂径定理的核心结论，熟练构造“半径、半弦、弦心距”组成的直角三角形，结合勾股定理求解相关线段长度。
【难度系数】
0.8
4.如图，$\odot O$的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，且$CE=2$，$OB=5$，则AB的长为(
A.8
B.4
C.6
D.2
A
).A.8
B.4
C.6
D.2
答案
4. A
解析
【分析】
本题可结合垂径定理与勾股定理求解：首先明确圆的半径相等，先求出OE的长度；再根据垂径定理可知AB=2BE，只需在直角三角形OEB中利用勾股定理求出BE的长度，即可得到AB的长。
【解析】
∵OB和OC均为⊙O的半径，OB=5
∴OC=OB=5
已知CE=2，因此OE=OC-CE=5-2=3
∵直径CD⊥AB，由垂径定理可得：AB=2BE，且∠OEB=90°
在Rt△OEB中，根据勾股定理：
$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
∴AB=2BE=2×4=8
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题是圆相关的基础题型，核心考查垂径定理的应用，解题关键是将求弦长的问题转化为求直角三角形边长的问题，掌握垂径定理和勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题可结合垂径定理与勾股定理求解：首先明确圆的半径相等，先求出OE的长度；再根据垂径定理可知AB=2BE，只需在直角三角形OEB中利用勾股定理求出BE的长度，即可得到AB的长。
【解析】
∵OB和OC均为⊙O的半径，OB=5
∴OC=OB=5
已知CE=2，因此OE=OC-CE=5-2=3
∵直径CD⊥AB，由垂径定理可得：AB=2BE，且∠OEB=90°
在Rt△OEB中，根据勾股定理：
$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
∴AB=2BE=2×4=8
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题是圆相关的基础题型，核心考查垂径定理的应用，解题关键是将求弦长的问题转化为求直角三角形边长的问题，掌握垂径定理和勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
