登录
1.通过配方,可以将二次函数$y=ax^2+bx+c$化成$y=a(x+\_\_\_\_\_\_)^2+\_\_\_\_\_\_$。
因此,抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是________,顶点是________。
因此,抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是________,顶点是________。
答案
$\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $x=-\frac{b}{2a}$ $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
解析
【分析】
要将二次函数的一般式化为顶点式，首先提取二次项系数$a$，把含$x$的项整理到括号内，再通过“加一次项系数一半的平方，再减这个平方”的方法凑完全平方式，最后整理常数项即可得到顶点式；再结合顶点式的性质，就能直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标。
【解析】
对二次函数$y=ax^2+bx+c$进行配方：
1. 提取二次项系数$a$：$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$
2. 括号内凑完全平方，加上并减去$(\frac{b}{2a})^2$：
$y=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$
3. 合并完全平方式，整理常数项：
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，可得抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查一般式转顶点式的配方法，以及顶点式对应图象的基本性质，是后续解决二次函数各类问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要将二次函数的一般式化为顶点式，首先提取二次项系数$a$，把含$x$的项整理到括号内，再通过“加一次项系数一半的平方，再减这个平方”的方法凑完全平方式，最后整理常数项即可得到顶点式；再结合顶点式的性质，就能直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标。
【解析】
对二次函数$y=ax^2+bx+c$进行配方：
1. 提取二次项系数$a$：$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$
2. 括号内凑完全平方，加上并减去$(\frac{b}{2a})^2$：
$y=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$
3. 合并完全平方式，整理常数项：
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，可得抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查一般式转顶点式的配方法，以及顶点式对应图象的基本性质，是后续解决二次函数各类问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
•练习1 抛物线$y=x^2 - 4x + 5$的顶点坐标是(
A.$(-2,1)$
B.$(2,1)$
C.$(1,2)$
D.$(1,-2)$
B
).A.$(-2,1)$
B.$(2,1)$
C.$(1,2)$
D.$(1,-2)$
答案
练习1 B
解析
【分析】
本题要求二次函数抛物线的顶点坐标，可通过两种符合学段要求的思路求解：思路一：利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到顶点坐标为$(h,k)$；思路二：代入顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算，其中$a、b、c$分别是二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$的二次项系数、一次项系数和常数项，两种方法任选其一即可解题。
【解析】
方法一（配方法）：
对$y=x^2-4x+5$进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=x^2-4x+4-4+5\\&=(x-2)^2+1\end{aligned}$
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此该抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。
方法二（公式法）：
在$y=x^2-4x+5$中，$a=1$，$b=-4$，$c=5$，
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×5 - (-4)^2}{4×1}=\frac{20-16}{4}=1$，
因此顶点坐标为$(2,1)$。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标求法 2. 配方法
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察二次函数一般式求顶点坐标的方法，配方法和顶点坐标公式都是必须掌握的基础技能，熟练掌握后可快速求解，属于必拿分的基础题。
【难度系数】
0.9
本题要求二次函数抛物线的顶点坐标，可通过两种符合学段要求的思路求解：思路一：利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到顶点坐标为$(h,k)$；思路二：代入顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算，其中$a、b、c$分别是二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$的二次项系数、一次项系数和常数项，两种方法任选其一即可解题。
【解析】
方法一（配方法）：
对$y=x^2-4x+5$进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=x^2-4x+4-4+5\\&=(x-2)^2+1\end{aligned}$
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此该抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。
方法二（公式法）：
在$y=x^2-4x+5$中，$a=1$，$b=-4$，$c=5$，
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×5 - (-4)^2}{4×1}=\frac{20-16}{4}=1$，
因此顶点坐标为$(2,1)$。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标求法 2. 配方法
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察二次函数一般式求顶点坐标的方法，配方法和顶点坐标公式都是必须掌握的基础技能，熟练掌握后可快速求解，属于必拿分的基础题。
【难度系数】
0.9
2.对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，当$a＞0$时，开口向上；当$a＜0$时，开口向下.增减性：当$a＞0$时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而
增大
，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小
；当$a＜0$时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小
，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大
.答案
2. 增大 减小 减小 增大
解析
【分析】
解决本题需要先回忆二次函数的开口方向与增减性的对应规律：首先由a的正负确定抛物线的开口方向，再结合对称轴的位置，分别判断对称轴左右两侧y随x的变化规律。a＞0时抛物线开口向上，整体呈“U”型，左降右升；a＜0时抛物线开口向下，整体呈“倒U”型，左升右降，据此即可得出对应结论。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，呈“U”型：
对称轴右侧，x的取值越大，对应的y值越大，即y随x的增大而增大；
对称轴左侧，x的取值越大，对应的y值越小，即y随x的增大而减小。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，呈“倒U”型：
对称轴右侧，x的取值越大，对应的y值越小，即y随x的增大而减小；
对称轴左侧，x的取值越大，对应的y值越大，即y随x的增大而增大。
因此四个空依次对应填写即可。
【答案】
增大 减小 减小 增大
【知识点】
1. 二次函数开口性质
2. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，难度较低，只要准确记忆不同开口方向下对称轴两侧的增减性规律即可快速作答，该性质是解决二次函数各类题型的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解决本题需要先回忆二次函数的开口方向与增减性的对应规律：首先由a的正负确定抛物线的开口方向，再结合对称轴的位置，分别判断对称轴左右两侧y随x的变化规律。a＞0时抛物线开口向上，整体呈“U”型，左降右升；a＜0时抛物线开口向下，整体呈“倒U”型，左升右降，据此即可得出对应结论。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，呈“U”型：
对称轴右侧，x的取值越大，对应的y值越大，即y随x的增大而增大；
对称轴左侧，x的取值越大，对应的y值越小，即y随x的增大而减小。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，呈“倒U”型：
对称轴右侧，x的取值越大，对应的y值越小，即y随x的增大而减小；
对称轴左侧，x的取值越大，对应的y值越大，即y随x的增大而增大。
因此四个空依次对应填写即可。
【答案】
增大 减小 减小 增大
【知识点】
1. 二次函数开口性质
2. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，难度较低，只要准确记忆不同开口方向下对称轴两侧的增减性规律即可快速作答，该性质是解决二次函数各类题型的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
·练习2 如图，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为 $ x=1 $，点B的坐标为$(-1,0)$，则下面的几个结论：
① $ abc ＜ 0 $；② $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；③ $ 2c + 3b = 0 $；
④ $ a + b ≥ m(am + b) $（m为实数），其中正确的有（
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
方法总结 根据二次函数的图象判断a，b，c关系的常用方法：
（1）观察图象，获取信息（a看开口方向；c看与y轴交点；a，b的符号关系看对称轴的位置，可简记为“左同右异”）.
（2）判断相关代数式的符号时，一般地，当式子中缺少a或b时，常利用对称轴公式 $ x = -\frac{b}{2a} $ 进行消元替换，再判断符号；判断 $ a + b + c $ 或 $ a - b + c $ 的符号时，结合图象，观察 $ x = \pm1 $ 时对应的函数值y的符号；判断 $ 4a + 2b + c $ 的符号是观察 $ x=2 $ 时对应的函数值y的符号.
① $ abc ＜ 0 $；② $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；③ $ 2c + 3b = 0 $；
④ $ a + b ≥ m(am + b) $（m为实数），其中正确的有（
C
）.A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
方法总结 根据二次函数的图象判断a，b，c关系的常用方法：
（1）观察图象，获取信息（a看开口方向；c看与y轴交点；a，b的符号关系看对称轴的位置，可简记为“左同右异”）.
（2）判断相关代数式的符号时，一般地，当式子中缺少a或b时，常利用对称轴公式 $ x = -\frac{b}{2a} $ 进行消元替换，再判断符号；判断 $ a + b + c $ 或 $ a - b + c $ 的符号时，结合图象，观察 $ x = \pm1 $ 时对应的函数值y的符号；判断 $ 4a + 2b + c $ 的符号是观察 $ x=2 $ 时对应的函数值y的符号.
答案
练习2 C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先从二次函数图象提取基础信息：开口方向判断a的符号，与y轴交点判断c的符号，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$推导b的符号及a、b的数量关系；第二步将已知点B$(-1,0)$代入解析式，得到a、b、c的等式关系；第三步逐个验证4个结论：①根据a、b、c的符号判断乘积的符号；②$4a+2b+c$对应x=2时的函数值，结合图象对称性判断正负；③将a、b的关系代入点B的函数式，推导c和b的关系后对比结论；④结合抛物线顶点是最值点的性质，比较x=1和x=m时的函数值，化简后验证结论。
【解析】
解：根据图象和已知条件推导：
1. 抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
2. 对称轴为$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$，结合$a＜0$得$b＞0$；
3. 点$B(-1,0)$在抛物线上，代入解析式得$a· (-1)^2 + b· (-1) + c=0$，即$a-b+c=0$。
逐个判断结论：
①$abc＜0$：$\because a＜0,b＞0,c＞0$，三个数相乘为负，$\therefore abc＜0$，①正确；
②$4a+2b+c＞0$：$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，由对称轴$x=1$可知，$x=2$和$x=0$关于对称轴对称，$x=0$时$y=c＞0$，故$x=2$时$y=4a+2b+c＞0$，②正确；
③$2c+3b=0$：将$a=-\frac{b}{2}$代入$a-b+c=0$，得$-\frac{b}{2}-b+c=0$，化简得$c=\frac{3b}{2}$，即$2c-3b=0$，和结论不符，③错误；
④$a+b≥ m(am+b)$：抛物线开口向下，$x=1$时函数取最大值，对任意实数m，都有$a· 1^2 +b· 1 +c≥ a m^2 +b m +c$，两边消去c得$a+b≥ am^2+bm=m(am+b)$，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型题型，需要熟练掌握图象特征和系数的对应关系，结合特殊点函数值、对称性、最值性质进行推导，易错点是对③的变形计算和④最值结论的理解。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先从二次函数图象提取基础信息：开口方向判断a的符号，与y轴交点判断c的符号，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$推导b的符号及a、b的数量关系；第二步将已知点B$(-1,0)$代入解析式，得到a、b、c的等式关系；第三步逐个验证4个结论：①根据a、b、c的符号判断乘积的符号；②$4a+2b+c$对应x=2时的函数值，结合图象对称性判断正负；③将a、b的关系代入点B的函数式，推导c和b的关系后对比结论；④结合抛物线顶点是最值点的性质，比较x=1和x=m时的函数值，化简后验证结论。
【解析】
解：根据图象和已知条件推导：
1. 抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
2. 对称轴为$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$，结合$a＜0$得$b＞0$；
3. 点$B(-1,0)$在抛物线上，代入解析式得$a· (-1)^2 + b· (-1) + c=0$，即$a-b+c=0$。
逐个判断结论：
①$abc＜0$：$\because a＜0,b＞0,c＞0$，三个数相乘为负，$\therefore abc＜0$，①正确；
②$4a+2b+c＞0$：$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，由对称轴$x=1$可知，$x=2$和$x=0$关于对称轴对称，$x=0$时$y=c＞0$，故$x=2$时$y=4a+2b+c＞0$，②正确；
③$2c+3b=0$：将$a=-\frac{b}{2}$代入$a-b+c=0$，得$-\frac{b}{2}-b+c=0$，化简得$c=\frac{3b}{2}$，即$2c-3b=0$，和结论不符，③错误；
④$a+b≥ m(am+b)$：抛物线开口向下，$x=1$时函数取最大值，对任意实数m，都有$a· 1^2 +b· 1 +c≥ a m^2 +b m +c$，两边消去c得$a+b≥ am^2+bm=m(am+b)$，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型题型，需要熟练掌握图象特征和系数的对应关系，结合特殊点函数值、对称性、最值性质进行推导，易错点是对③的变形计算和④最值结论的理解。
【难度系数】
0.65
1.将二次函数$y=x^2 -2x -2$化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式为(
A.$y=(x-2)^2 -2$
B.$y=(x-1)^2 -3$
C.$y=(x-1)^2 -2$
D.$y=(x-2)^2 -3$
B
).A.$y=(x-2)^2 -2$
B.$y=(x-1)^2 -3$
C.$y=(x-1)^2 -2$
D.$y=(x-2)^2 -3$
答案
1. B
解析
【分析】
本题要求将二次函数的一般式化为顶点式，核心方法是配方法。解题思路如下：首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需额外提取；接着对含x的二次项和一次项进行配方，凑完全平方时需加上一次项系数一半的平方，同时为了保证解析式的值不变，要减去相同的数；最后合并常数项即可得到顶点式，再匹配选项得出答案。
【解析】
对二次函数$y=x^2-2x-2$用配方法变形：
第一步，将含x的项组合：
$y=(x^2-2x)-2$
第二步，在括号内加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-2$，一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，为保持等式成立，括号外需减去1：
$y=(x^2-2x+1)-1-2$
第三步，将括号内的式子写成完全平方形式，合并常数项：
$y=(x-1)^2-3$
对比选项，对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式变形的基础题型，主要考查配方法的规范应用，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，该知识点是后续学习二次函数图像性质、最值求解等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题要求将二次函数的一般式化为顶点式，核心方法是配方法。解题思路如下：首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需额外提取；接着对含x的二次项和一次项进行配方，凑完全平方时需加上一次项系数一半的平方，同时为了保证解析式的值不变，要减去相同的数；最后合并常数项即可得到顶点式，再匹配选项得出答案。
【解析】
对二次函数$y=x^2-2x-2$用配方法变形：
第一步，将含x的项组合：
$y=(x^2-2x)-2$
第二步，在括号内加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-2$，一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，为保持等式成立，括号外需减去1：
$y=(x^2-2x+1)-1-2$
第三步，将括号内的式子写成完全平方形式，合并常数项：
$y=(x-1)^2-3$
对比选项，对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式变形的基础题型，主要考查配方法的规范应用，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，该知识点是后续学习二次函数图像性质、最值求解等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
2.已知抛物线$y=-x^2+4x+3$，下列说法正确的是(
A.开口向上
B.对称轴是$x=-2$
C.顶点坐标为$(2,7)$
D.当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小
C
).A.开口向上
B.对称轴是$x=-2$
C.顶点坐标为$(2,7)$
D.当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可先根据二次项系数判断开口方向，再利用对称轴公式求出对称轴，代入对称轴数值计算得到顶点纵坐标，最后结合开口方向和对称轴判断增减性，逐个验证选项即可得出正确答案。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+4x+3$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，A选项错误；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=4$，得$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，因此对称轴为$x=2$，B选项错误；
3. 求顶点坐标：将$x=2$代入抛物线解析式，得$y=-2^2+4×2+3=-4+8+3=7$，因此顶点坐标为$(2,7)$，C选项正确；
4. 判断增减性：由于抛物线开口向下，对称轴为$x=2$，因此当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。$x＜-2$属于$x＜2$的范围，此时$y$随$x$的增大而增大，D选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数开口方向判断；2. 二次函数对称轴与顶点坐标计算；3. 二次函数增减性判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数基本性质的应用，熟练掌握相关性质的推导和判断方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可先根据二次项系数判断开口方向，再利用对称轴公式求出对称轴，代入对称轴数值计算得到顶点纵坐标，最后结合开口方向和对称轴判断增减性，逐个验证选项即可得出正确答案。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+4x+3$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，A选项错误；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=4$，得$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，因此对称轴为$x=2$，B选项错误；
3. 求顶点坐标：将$x=2$代入抛物线解析式，得$y=-2^2+4×2+3=-4+8+3=7$，因此顶点坐标为$(2,7)$，C选项正确；
4. 判断增减性：由于抛物线开口向下，对称轴为$x=2$，因此当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。$x＜-2$属于$x＜2$的范围，此时$y$随$x$的增大而增大，D选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数开口方向判断；2. 二次函数对称轴与顶点坐标计算；3. 二次函数增减性判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数基本性质的应用，熟练掌握相关性质的推导和判断方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.把抛物线$y=x^2+2x+1$先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为(
A.$y=(x-1)^2 -3$
B.$y=(x+3)^2 -3$
C.$y=(x+3)^2 +3$
D.$y=(x+1)^2 -3$
A
).A.$y=(x-1)^2 -3$
B.$y=(x+3)^2 -3$
C.$y=(x+3)^2 +3$
D.$y=(x+1)^2 -3$
答案
3. A
解析
【分析】
解决二次函数图象平移问题，核心要遵循“左加右减，上加下减”的平移规律。首先需要将给定的一般式二次函数化为顶点式，方便后续对顶点位置进行平移计算；再分别按照左右平移、上下平移的规则对解析式变形，最终将得到的解析式和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
首先将原抛物线的一般式化为顶点式：
由完全平方公式可得，$y=x^2+2x+1=(x+1)^2$。
1. 向右平移2个单位长度：根据“左加右减”（仅针对自变量$x$进行加减）的规律，将解析式中的$x$替换为$x-2$，可得：
$y=(x-2+1)^2=(x-1)^2$
2. 再向下平移3个单位长度：根据“上加下减”（针对函数整体进行加减）的规律，在解析式末尾减去3，可得：
$y=(x-1)^2-3$
对比选项，符合A选项的解析式。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础常规题，核心考查对平移规则的应用，需要注意左右平移是对自变量$x$本身做变换，不要和常数项的加减混淆，熟练掌握规则后可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决二次函数图象平移问题，核心要遵循“左加右减，上加下减”的平移规律。首先需要将给定的一般式二次函数化为顶点式，方便后续对顶点位置进行平移计算；再分别按照左右平移、上下平移的规则对解析式变形，最终将得到的解析式和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
首先将原抛物线的一般式化为顶点式：
由完全平方公式可得，$y=x^2+2x+1=(x+1)^2$。
1. 向右平移2个单位长度：根据“左加右减”（仅针对自变量$x$进行加减）的规律，将解析式中的$x$替换为$x-2$，可得：
$y=(x-2+1)^2=(x-1)^2$
2. 再向下平移3个单位长度：根据“上加下减”（针对函数整体进行加减）的规律，在解析式末尾减去3，可得：
$y=(x-1)^2-3$
对比选项，符合A选项的解析式。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础常规题，核心考查对平移规则的应用，需要注意左右平移是对自变量$x$本身做变换，不要和常数项的加减混淆，熟练掌握规则后可快速解题。
【难度系数】
0.8
