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2. 如图15-3-10，$△ ABC$内有一点$D$，且$DA=DB=DC$，若$∠ DAB=20°$，$∠ DAC=30°$，则$∠ BDC$的度数是(
A.$100°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$50°$
图15-3-10
图15-3-11
A
)A.$100°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$50°$
图15-3-10
图15-3-11
答案
2.A 点拨:延长AD交BC于点E.
∵DA=DB=DC,
∴∠DAB=∠DBA=20°,
∠DAC=∠DCA=30°,
∴∠BDC=∠BDE+∠EDC=2(∠DAB+∠DAC)=100°.
∵DA=DB=DC,
∴∠DAB=∠DBA=20°,
∠DAC=∠DCA=30°,
∴∠BDC=∠BDE+∠EDC=2(∠DAB+∠DAC)=100°.
3.借助如图15-3-11①所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图15-3-11②,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O处相连并可绕O转动,点C固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是
80°
.答案
3.80°
4.如图15-3-12，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，O是△ABC的角平分线BD及高CE的交点，则∠DOC的度数为
55°
。 答案
4.55°
5.如图 15-3-13, 在 $△ ABC$ 中, $∠ DCE=40°, AE=AC, BC=BD$, 则 $∠ ACB$ 的度数为
100°
.答案
5.100° 点拨:
∵AC=AE,BC=BD,
∴设∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°,
∴∠A=180°−2x°,∠B=180°−2y°.
∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,
∴∠ACB+(180°−2x°)+(180°−2y°)=180°,180°−(x°+y°)=∠DCE,
∴∠ACB+360°−2(x°+y°)=180°,
∴ ∠ACB + 2 ∠DCE = 180°.
∵∠DCE=40°,
∴∠ACB=100°.
∵AC=AE,BC=BD,
∴设∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°,
∴∠A=180°−2x°,∠B=180°−2y°.
∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,
∴∠ACB+(180°−2x°)+(180°−2y°)=180°,180°−(x°+y°)=∠DCE,
∴∠ACB+360°−2(x°+y°)=180°,
∴ ∠ACB + 2 ∠DCE = 180°.
∵∠DCE=40°,
∴∠ACB=100°.
6. 如图15-3-14，在△ABC中，∠BAC=90°,E为边BC上的任意一点，D为线段BE的中点，AB=AE,EF⊥AE,AF//BC.求证：
(1)∠DAE=∠C；
(2)AF=BC.
图15-3-14
(1)∠DAE=∠C；
(2)AF=BC.
图15-3-14
答案
6.证明:(1)
∵AB=AE,D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC,BD=ED，
∴∠C+∠DAC=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD.
∵AB=AE,BD=ED，
∴∠BAD=∠DAE,
∴∠DAE=∠C.
(2)
∵AF//BC,
∴∠FAE=∠AEB.
∵AB=AE,
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠FAE.
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=∠BAC=90°.
在△ABC和△EAF中，
$\begin{cases}∠B=∠FAE,\\AB=EA,\\∠BAC=∠AEF,\end{cases}$
∴△ABC≌△EAF(ASA),
∴AF=BC.
∵AB=AE,D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC,BD=ED，
∴∠C+∠DAC=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD.
∵AB=AE,BD=ED，
∴∠BAD=∠DAE,
∴∠DAE=∠C.
(2)
∵AF//BC,
∴∠FAE=∠AEB.
∵AB=AE,
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠FAE.
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=∠BAC=90°.
在△ABC和△EAF中，
$\begin{cases}∠B=∠FAE,\\AB=EA,\\∠BAC=∠AEF,\end{cases}$
∴△ABC≌△EAF(ASA),
∴AF=BC.
