9. 「2025河北石家庄二十七中期中」已知AB//CD，将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°，有下列结论：①GE//MP；②∠EFN=135°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN。其中正确的结论为()


A.②③
B.①②
C.①③④
D.①②③④

9.C　由题意得∠EGF=∠MPN=90°,
∴∠MPG=90°=∠EGF,
∴GE//MP,故①正确;
由题意得∠EFG=30°,
∴∠EFN=180°−∠EFG=150°,故②错误;
如图，过点F作FK//AB,

由题意得∠1=45°,∠3=30°,
∵AB//CD,FK//AB,
∴FK//AB//CD,
∴∠2=∠1=45°,
∴∠5=180°−∠2−∠3=105°,
∵FK//AB,
∴∠4+∠5=180°,
∴∠4=180°−105°=75°,即∠BEF=75°,故③正确;
∵∠AEG+∠GEF+∠4=180°,∠GEF=60°,
∴∠AEG=180°−60°−75°=45°,
∵∠PMN=45°,
∴∠AEG=∠PMN,故④正确
综上所述，正确的结论为①③④.故选C.

10. 「2025北京延庆期末」如图1，点A，B分别是直线MN，EF上的点，连接AB，过点B作CB⊥BA，∠NAB与∠1互余。
（1）求证：MN//EF。
（2）如图2，AD平分∠NAB交BC于点D，BH平分∠ABC交AD于点H。
①补全图形。
②设∠1=α，求∠AHB的度数（用含α的式子表示）。

10.解析　(1)证明:
∵CB⊥BA,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠1=90°,
∵∠NAB与∠1互余,
∴∠NAB+∠1=90°,
∴∠ABE=∠NAB,
∴MN//EF.
(2)①补全图形如图.

②如图,过点H作GH//MN,
∵MN//EF,
∴GH//MN//EF.
∴∠4=∠3,∠5=∠FBH.
∵∠1+∠ABC+∠2=180°,∠ABC=90°,∠1=α,
∴∠2=90°−α,
∴∠BAN=90°−α.
∵AD平分∠NAB,
∴∠4=∠3=$\frac{1}{2}$∠BAN=45°−$\frac{1}{2}$α,
∵BH平分∠ABC,∠ABC=90°,
∴∠ABH=∠CBH=45°.
∴∠FBH=∠CBH+∠1=45°+α.
∴∠5=∠FBH=45°+α.
∴∠AHB=∠4+∠5=45°−$\frac{1}{2}$α+45°+α=90°+$\frac{1}{2}$α.

11. 「2025北京门头沟期末」可以取一个a的值说明命题“如果ax＞b(a≠0)，那么x＞$\dfrac{b}{a}$”是假命题，a可以取。

11.答案　−1(答案不唯一，只要a是负数就行)
解析　当a=−1时,x＜$\frac{b}{a}$.(答案不唯一，只要a是负数就行)

12. 「2025河南信阳月考」如图，△ABC中，点D，F在边AB上，点G，E分别在边AC，BC上，连接DG，DC，EF，①EF⊥AB，CD⊥AB；②∠DGA=∠BCA；③DG平分∠ADC；④∠B=∠BEF。请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明。你选择的条件：，结论：(填序号)。

12.解析　选择的条件:①②③,结论:④.(答案不唯一)
证明:
∵∠DGA=∠BCA,
∴DG//BC,
∴∠ADG=∠B,∠GDC=∠BCD.
∵DG平分∠ADC,
∴∠ADG=∠GDC,
∴∠B=∠DCB,
∵EF⊥AB,CD⊥AB,
∴EF//CD,
∴∠BCD=∠BEF,
∴∠B=∠BEF;

13. 「2025重庆渝北期末」如图，将周长为7的三角形ABC沿射线BC方向平移1个单位得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长是。

13.答案　9
解析　由题意得AD=CF=1,AC=DF,
∵△ABC的周长为7，
∴AB+BC+AC=7,
∴AB+BC+DF=7,
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+DF+AD+CF=7+1+1=9.

14. 「2025安徽合肥期末」如图，在4×4的方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作图。
（1）在图1中，将△ABC向右平移3格，得到△A₁B₁C₁，请作出△A₁B₁C₁。
（2）在图2中，线段AB与CD相交于点O，且∠AOC=α，请作一个∠DCE，使得∠DCE+α=180°。

14.解析　(1)△ABC，如图1所示.

(2)如图2,∠DCE即为所求.