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7.定义一种新运算:对于任意的非零实数$a,b,a\otimes b=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$.若$(x+1)\otimes x=\dfrac{2x+1}{x}$,则$x$的值为________.
答案
7.$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先需准确理解新定义运算的规则，将$(x+1)\otimes x$按照给定的新运算公式转化为普通分式相加的形式，再结合题意列出分式方程；随后按照解分式方程的步骤求解，最后注意检验所得的根是否使原分式的分母不为0，排除增根。
【解析】
1. 根据新运算规则$a\otimes b=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$，可得：$(x+1)\otimes x=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x}$，其中隐含条件$x≠0$且$x+1≠0$，即$x≠0$且$x≠-1$。
2. 结合题意列方程：$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x+1}{x}$。
3. 移项化简：$\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x+1}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x}{x}=2$。
4. 去分母：两边同乘$x+1$得$1=2(x+1)$，展开得$2x+2=1$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$。
5. 检验：将$x=-\dfrac{1}{2}$代入原方程分母，$x=-\dfrac{1}{2}≠0$，$x+1=\dfrac{1}{2}≠0$，代入原方程左右两边相等，故$x=-\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算；解分式方程；分式有意义的条件
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的求解，属于基础题型，解题关键是正确转化新运算为常规分式运算，求解后注意检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
解题时首先需准确理解新定义运算的规则，将$(x+1)\otimes x$按照给定的新运算公式转化为普通分式相加的形式，再结合题意列出分式方程；随后按照解分式方程的步骤求解，最后注意检验所得的根是否使原分式的分母不为0，排除增根。
【解析】
1. 根据新运算规则$a\otimes b=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$，可得：$(x+1)\otimes x=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x}$，其中隐含条件$x≠0$且$x+1≠0$，即$x≠0$且$x≠-1$。
2. 结合题意列方程：$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x+1}{x}$。
3. 移项化简：$\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x+1}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x}{x}=2$。
4. 去分母：两边同乘$x+1$得$1=2(x+1)$，展开得$2x+2=1$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$。
5. 检验：将$x=-\dfrac{1}{2}$代入原方程分母，$x=-\dfrac{1}{2}≠0$，$x+1=\dfrac{1}{2}≠0$，代入原方程左右两边相等，故$x=-\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算；解分式方程；分式有意义的条件
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的求解，属于基础题型，解题关键是正确转化新运算为常规分式运算，求解后注意检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
8.若点$Q(x,y)$满足$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$，则称点$Q$为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标：
$(2,-1)$(答案不唯一)
。答案
8.$(2,-1)$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先要明确“美好点”的定义：点的横纵坐标满足给定的分式方程，首先需注意分式有意义的前提是分母不为0，即$x≠0$且$y≠0$；接下来通过去分母将分式方程转化为整式方程，得到x和y的数量关系，再任取一个符合条件的x值，求出对应的y值即可得到“美好点”坐标。
【解析】
要使分式$\frac{1}{x}、\frac{1}{y}、\frac{1}{xy}$有意义，则$x≠0$，$y≠0$。
对等式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$两边同时乘以$xy$（$xy≠0$，等式性质不变），得：
$y + x = 1$
即满足$x+y=1$（$x≠0,y≠0$）的点均为“美好点”。
取$x=2$，代入$x+y=1$，得$2+y=1$，解得$y=-1$，因此$(2,-1)$是一个“美好点”，答案不唯一。
【答案】
$(2,-1)$（答案不唯一）
【知识点】
分式有意义的条件；分式方程化简；点的坐标
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是将新定义对应的分式方程转化为熟悉的整式方程，解题时注意不要遗漏分式有意义的限制条件，取值时避开x、y为0的情况即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确“美好点”的定义：点的横纵坐标满足给定的分式方程，首先需注意分式有意义的前提是分母不为0，即$x≠0$且$y≠0$；接下来通过去分母将分式方程转化为整式方程，得到x和y的数量关系，再任取一个符合条件的x值，求出对应的y值即可得到“美好点”坐标。
【解析】
要使分式$\frac{1}{x}、\frac{1}{y}、\frac{1}{xy}$有意义，则$x≠0$，$y≠0$。
对等式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$两边同时乘以$xy$（$xy≠0$，等式性质不变），得：
$y + x = 1$
即满足$x+y=1$（$x≠0,y≠0$）的点均为“美好点”。
取$x=2$，代入$x+y=1$，得$2+y=1$，解得$y=-1$，因此$(2,-1)$是一个“美好点”，答案不唯一。
【答案】
$(2,-1)$（答案不唯一）
【知识点】
分式有意义的条件；分式方程化简；点的坐标
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是将新定义对应的分式方程转化为熟悉的整式方程，解题时注意不要遗漏分式有意义的限制条件，取值时避开x、y为0的情况即可。
【难度系数】
0.8
9.观察规律：
$(1-\frac{1}{2^2})=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4},$
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3},$
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}=\frac{5}{8},…$
若$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})…(1-\frac{1}{n^2})=\frac{1013}{2025}$（$n$为正整数），则$n$的值为（
A.$2023$
B.$2024$
C.$2025$
D.$2026$
$(1-\frac{1}{2^2})=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4},$
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3},$
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}=\frac{5}{8},…$
若$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})…(1-\frac{1}{n^2})=\frac{1013}{2025}$（$n$为正整数），则$n$的值为（
C
）A.$2023$
B.$2024$
C.$2025$
D.$2026$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先观察给出的运算示例，发现每个因式$1-\frac{1}{k^2}$可利用平方差公式拆分为两个分式的乘积，拆分后相邻分式可相互约分，先推导得出原式化简后的通用表达式，再令其等于题设给出的结果，解分式方程即可求出$n$的值。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，对每个因式变形：
$1-\frac{1}{k^2}=(1-\frac{1}{k})(1+\frac{1}{k})=\frac{k-1}{k}×\frac{k+1}{k}$
将原式全部拆分可得：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})\dots(1-\frac{1}{n^2})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}\\\end{aligned}$
中间相邻分数约分后仅剩首项的$\frac{1}{2}$和末项的$\frac{n+1}{n}$，因此化简结果为：
$\frac{1}{2}×\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}$
结合题意列方程：$\frac{n+1}{2n}=\frac{1013}{2025}$
交叉相乘得：$2025(n+1)=2026n$
展开移项计算得：$n=2025$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，分式约分，解分式方程
【点评】
本题属于规律探究类的分式运算题，将公式运用、规律观察和分式方程求解结合，只要能准确拆分因式、发现约分规律就能顺利求解，注重对学生观察能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的运算示例，发现每个因式$1-\frac{1}{k^2}$可利用平方差公式拆分为两个分式的乘积，拆分后相邻分式可相互约分，先推导得出原式化简后的通用表达式，再令其等于题设给出的结果，解分式方程即可求出$n$的值。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，对每个因式变形：
$1-\frac{1}{k^2}=(1-\frac{1}{k})(1+\frac{1}{k})=\frac{k-1}{k}×\frac{k+1}{k}$
将原式全部拆分可得：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})\dots(1-\frac{1}{n^2})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}\\\end{aligned}$
中间相邻分数约分后仅剩首项的$\frac{1}{2}$和末项的$\frac{n+1}{n}$，因此化简结果为：
$\frac{1}{2}×\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}$
结合题意列方程：$\frac{n+1}{2n}=\frac{1013}{2025}$
交叉相乘得：$2025(n+1)=2026n$
展开移项计算得：$n=2025$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，分式约分，解分式方程
【点评】
本题属于规律探究类的分式运算题，将公式运用、规律观察和分式方程求解结合，只要能准确拆分因式、发现约分规律就能顺利求解，注重对学生观察能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
10.解方程：
(1)$\frac{5}{x-2}+1=\frac{x-1}{2-x}$；
(2)$\frac{3}{x-3}-\frac{4}{x^2-9}=0$；
(3)$\frac{3-2x}{x-2}=\frac{x}{2-x}-2$；
(4)$\frac{7}{x^2+x}-\frac{6}{$
$}=\frac{3}{x-x^2}$。
(1)$\frac{5}{x-2}+1=\frac{x-1}{2-x}$；
(2)$\frac{3}{x-3}-\frac{4}{x^2-9}=0$；
(3)$\frac{3-2x}{x-2}=\frac{x}{2-x}-2$；
(4)$\frac{7}{x^2+x}-\frac{6}{$
$}=\frac{3}{x-x^2}$。答案
10.(1)$x=-1$ (2)$x=-\frac{5}{3}$ (3)$x=1$ (4)无解
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①先对各分母因式分解，若有互为相反数的分母先统一符号，再确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去掉分母，注意不要漏乘常数项，同时明确分母不为0的限制条件；③解得到的整式方程；④验根：把求得的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则该根是增根，原方程无解，若最简公分母不为0，则该根是原方程的解。
【解析】
(1) 解方程$\frac{5}{x-2}+1=\frac{x-1}{2-x}$
先变形右侧分母，$2-x=-(x-2)$，最简公分母为$x-2$（$x\ne2$），方程两边同乘$x-2$得：
$5+(x-2)=-(x-1)$
去括号：$5+x-2=-x+1$
移项合并同类项：$2x=-2$
解得$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$x-2=-3\ne0$，故$x=-1$是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{3}{x-3}-\frac{4}{x^2-9}=0$
因式分解分母得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$（$x\ne\pm3$），方程两边同乘最简公分母得：
$3(x+3)-4=0$
去括号：$3x+9-4=0$
移项合并同类项：$3x=-5$
解得$x=-\frac{5}{3}$
检验：当$x=-\frac{5}{3}$时，$(x+3)(x-3)=-\frac{56}{9}\ne0$，故$x=-\frac{5}{3}$是原方程的解。
(3) 解方程$\frac{3-2x}{x-2}=\frac{x}{2-x}-2$
变形右侧分母，$2-x=-(x-2)$，最简公分母为$x-2$（$x\ne2$），方程两边同乘$x-2$得：
$3-2x=-x-2(x-2)$
去括号：$3-2x=-x-2x+4$
移项合并同类项：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-2=-1\ne0$，故$x=1$是原方程的解。
(4) 解方程$\frac{7}{x^2+x}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{3}{x-x^2}$
因式分解各分母：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x-x^2=-x(x-1)$，最简公分母为$x(x+1)(x-1)$（$x\ne0$且$x\ne\pm1$），方程两边同乘最简公分母得：
$7(x-1)-6x=-3(x+1)$
去括号：$7x-7-6x=-3x-3$
移项合并同类项：$4x=4$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x+1)(x-1)=0$，故$x=1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=-\frac{5}{3}$；(3)$x=1$；(4)无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，因式分解
【点评】
本题是分式方程的基础题型，重点考查分式方程的常规求解步骤，解题时要注意先统一互为相反数的分母符号，去分母时不要漏乘不含分母的项，最后必须验根，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①先对各分母因式分解，若有互为相反数的分母先统一符号，再确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去掉分母，注意不要漏乘常数项，同时明确分母不为0的限制条件；③解得到的整式方程；④验根：把求得的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则该根是增根，原方程无解，若最简公分母不为0，则该根是原方程的解。
【解析】
(1) 解方程$\frac{5}{x-2}+1=\frac{x-1}{2-x}$
先变形右侧分母，$2-x=-(x-2)$，最简公分母为$x-2$（$x\ne2$），方程两边同乘$x-2$得：
$5+(x-2)=-(x-1)$
去括号：$5+x-2=-x+1$
移项合并同类项：$2x=-2$
解得$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$x-2=-3\ne0$，故$x=-1$是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{3}{x-3}-\frac{4}{x^2-9}=0$
因式分解分母得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$（$x\ne\pm3$），方程两边同乘最简公分母得：
$3(x+3)-4=0$
去括号：$3x+9-4=0$
移项合并同类项：$3x=-5$
解得$x=-\frac{5}{3}$
检验：当$x=-\frac{5}{3}$时，$(x+3)(x-3)=-\frac{56}{9}\ne0$，故$x=-\frac{5}{3}$是原方程的解。
(3) 解方程$\frac{3-2x}{x-2}=\frac{x}{2-x}-2$
变形右侧分母，$2-x=-(x-2)$，最简公分母为$x-2$（$x\ne2$），方程两边同乘$x-2$得：
$3-2x=-x-2(x-2)$
去括号：$3-2x=-x-2x+4$
移项合并同类项：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-2=-1\ne0$，故$x=1$是原方程的解。
(4) 解方程$\frac{7}{x^2+x}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{3}{x-x^2}$
因式分解各分母：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x-x^2=-x(x-1)$，最简公分母为$x(x+1)(x-1)$（$x\ne0$且$x\ne\pm1$），方程两边同乘最简公分母得：
$7(x-1)-6x=-3(x+1)$
去括号：$7x-7-6x=-3x-3$
移项合并同类项：$4x=4$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x+1)(x-1)=0$，故$x=1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=-\frac{5}{3}$；(3)$x=1$；(4)无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，因式分解
【点评】
本题是分式方程的基础题型，重点考查分式方程的常规求解步骤，解题时要注意先统一互为相反数的分母符号，去分母时不要漏乘不含分母的项，最后必须验根，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
