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11.已知关于$x$的分式方程$\frac{m}{x-1}+2=-\frac{3}{1-x}$的解为非负数，求正整数$m$的值.
答案
11.正整数$m$的值为1或2或4或5
解析
【分析】
解题时先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解，再结合两个约束条件列不等式：①分式方程的解为非负数，即x≥0；②分式分母不为0，即x≠1（否则原方程无意义），求出m的取值范围后，结合m是正整数的要求筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
首先整理原方程：
$\frac{m}{x-1}+2=\frac{3}{x-1}$
方程两边同乘最简公分母$(x-1)$（此时$x≠1$），去分母得：
$m + 2(x-1) = 3$
解这个整式方程：
$m + 2x - 2 = 3$
$2x = 5 - m$
$x = \frac{5 - m}{2}$
根据题意列不等式：
1. 方程的解为非负数：$\frac{5 - m}{2} ≥ 0$，解得$m ≤ 5$
2. 分母不为0，即解不能为增根：$\frac{5 - m}{2} ≠ 1$，解得$m ≠ 3$
又因为m是正整数，所以m的取值为1、2、4、5。
【答案】
正整数$m$的值为1或2或4或5
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于分式方程与不等式的综合基础题，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m≠3$的限制，解题时要注意全面考虑所有约束条件，避免出现增根相关的错误。
【难度系数】
0.7
解题时先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解，再结合两个约束条件列不等式：①分式方程的解为非负数，即x≥0；②分式分母不为0，即x≠1（否则原方程无意义），求出m的取值范围后，结合m是正整数的要求筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
首先整理原方程：
$\frac{m}{x-1}+2=\frac{3}{x-1}$
方程两边同乘最简公分母$(x-1)$（此时$x≠1$），去分母得：
$m + 2(x-1) = 3$
解这个整式方程：
$m + 2x - 2 = 3$
$2x = 5 - m$
$x = \frac{5 - m}{2}$
根据题意列不等式：
1. 方程的解为非负数：$\frac{5 - m}{2} ≥ 0$，解得$m ≤ 5$
2. 分母不为0，即解不能为增根：$\frac{5 - m}{2} ≠ 1$，解得$m ≠ 3$
又因为m是正整数，所以m的取值为1、2、4、5。
【答案】
正整数$m$的值为1或2或4或5
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于分式方程与不等式的综合基础题，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m≠3$的限制，解题时要注意全面考虑所有约束条件，避免出现增根相关的错误。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x$的分式方程$\frac{ax - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3x - 1}{2 - x}$的解为正数，且关于$y$的一元一次不等式组$\begin{cases}\frac{3y - 2}{2} ≤ y - 1, \\ y + 3 ＞ a\end{cases}$有解，则所有满足条件的整数$a$的值之和是多少？
答案
12.$-2$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解分式方程，结合“解为正数”和“分式分母不为0（排除增根）”两个条件，得到参数a的第一组取值限制；第二步求解一元一次不等式组，结合“不等式组有解”的条件，得到参数a的第二组取值限制；最后取两个限制范围的公共部分，找出其中所有整数a，求和即可。注意不要漏掉分式方程分母不能为0的限制，这是常见易错点。
【解析】
步骤1：解分式方程，求a的取值范围
原分式方程：$\frac{ax - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3x - 1}{2 - x}$
将右侧分母变形为$-(x-2)$，方程两边同时乘$(x-2)$（注意$x≠2$，否则分母为0）消去分母：
$ax - 3 + (x - 2) = -(3x - 1)$
整理得：
$(a+1)x - 5 = -3x +1$
移项合并同类项：
$(a+4)x = 6$
解得：$x=\frac{6}{a+4}$
根据题意，方程的解为正数：
① $\frac{6}{a+4}＞0$，因为分子6＞0，所以分母$a+4＞0$，得$a＞-4$
② 分母不为0，即$x≠2$，代入得$\frac{6}{a+4}≠2$，解得$a≠-1$
步骤2：解不等式组，求a的取值范围
解不等式组$\begin{cases}\frac{3y - 2}{2} ≤ y - 1 \\ y + 3 ＞ a\end{cases}$
解第一个不等式：
两边乘2得$3y -2 ≤ 2y -2$，移项得$y≤0$
解第二个不等式：
移项得$y＞ a-3$
因为不等式组有解，说明两个解集有公共部分，即$a-3 ＜ 0$，解得$a＜3$
步骤3：确定符合条件的整数a并求和
综合上述条件，a的取值范围为：$-4 ＜ a ＜3$且$a≠-1$
符合条件的整数a为：$-3、-2、0、1、2$
求和：$-3 + (-2) + 0 +1 +2 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式方程求解、一元一次不等式组的解法、参数取值范围确定
【点评】
本题属于分式方程与不等式组的综合题，易错点是容易忽略分式方程增根的情况，导致多算参数$a=-1$的情况，解题时需要全面考虑题目给出的所有限制条件。
【难度系数】
0.6
解题思路分为两步：第一步先求解分式方程，结合“解为正数”和“分式分母不为0（排除增根）”两个条件，得到参数a的第一组取值限制；第二步求解一元一次不等式组，结合“不等式组有解”的条件，得到参数a的第二组取值限制；最后取两个限制范围的公共部分，找出其中所有整数a，求和即可。注意不要漏掉分式方程分母不能为0的限制，这是常见易错点。
【解析】
步骤1：解分式方程，求a的取值范围
原分式方程：$\frac{ax - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3x - 1}{2 - x}$
将右侧分母变形为$-(x-2)$，方程两边同时乘$(x-2)$（注意$x≠2$，否则分母为0）消去分母：
$ax - 3 + (x - 2) = -(3x - 1)$
整理得：
$(a+1)x - 5 = -3x +1$
移项合并同类项：
$(a+4)x = 6$
解得：$x=\frac{6}{a+4}$
根据题意，方程的解为正数：
① $\frac{6}{a+4}＞0$，因为分子6＞0，所以分母$a+4＞0$，得$a＞-4$
② 分母不为0，即$x≠2$，代入得$\frac{6}{a+4}≠2$，解得$a≠-1$
步骤2：解不等式组，求a的取值范围
解不等式组$\begin{cases}\frac{3y - 2}{2} ≤ y - 1 \\ y + 3 ＞ a\end{cases}$
解第一个不等式：
两边乘2得$3y -2 ≤ 2y -2$，移项得$y≤0$
解第二个不等式：
移项得$y＞ a-3$
因为不等式组有解，说明两个解集有公共部分，即$a-3 ＜ 0$，解得$a＜3$
步骤3：确定符合条件的整数a并求和
综合上述条件，a的取值范围为：$-4 ＜ a ＜3$且$a≠-1$
符合条件的整数a为：$-3、-2、0、1、2$
求和：$-3 + (-2) + 0 +1 +2 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式方程求解、一元一次不等式组的解法、参数取值范围确定
【点评】
本题属于分式方程与不等式组的综合题，易错点是容易忽略分式方程增根的情况，导致多算参数$a=-1$的情况，解题时需要全面考虑题目给出的所有限制条件。
【难度系数】
0.6
13.已知关于$x$的分式方程$\frac{x-a}{x-2}-\frac{5}{x}=1$.
(1)若分式方程的根是$x=5$,求$a$的值;
(2)若分式方程有增根,求$a$的值;
(3)若分式方程无解,求$a$的值.
(1)若分式方程的根是$x=5$,求$a$的值;
(2)若分式方程有增根,求$a$的值;
(3)若分式方程无解,求$a$的值.
答案
13.(1)$a=-1$ (2)$a=2$ (3)$a=-3$或$a=2$
解析
【分析】
(1) 已知分式方程的根，根据方程的根满足原方程的性质，将根代入去分母后的整式方程，即可解出a的值。
(2) 分式方程的增根是使原分式分母为0的未知数的值，先将分式方程去分母转化为整式方程，再将可能的增根代入整式方程，排除不可能的情况后即可求出对应的a值。
(3) 分式方程无解分两种情况：一是去分母后的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根，分别计算两类情况的a值后合并结果即可。
【解析】
先将原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x(x-2)$，得：
$x(x-a) - 5(x-2) = x(x-2)$
展开整理：
$x^2 - ax - 5x + 10 = x^2 - 2x$
消去$x^2$、合并同类项得整式方程：$\boldsymbol{(a+3)x = 10}$
(1) 把$x=5$代入整式方程$(a+3)x = 10$，得：
$5(a+3) = 10$
解得$a=-1$
(2) 分式方程有增根，则最简公分母$x(x-2)=0$，即增根可能为$x=0$或$x=2$：
① 将$x=0$代入$(a+3)x = 10$，得$0=10$，等式不成立，无对应a值；
② 将$x=2$代入$(a+3)x = 10$，得$2(a+3)=10$，解得$a=2$
综上，分式方程有增根时$a=2$
(3) 分式方程无解分两类情况：
① 整式方程$(a+3)x = 10$本身无解：当一次项系数为0，即$a+3=0$，$a=-3$时，方程变为$0· x=10$，无实数解；
② 整式方程的解是原分式方程的增根：由(2)可知此时$a=2$
综上，分式方程无解时$a=-3$或$a=2$
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$a=2$；(3)$a=-3$或$a=2$
【知识点】
分式方程的根，分式方程的增根，分式方程无解的判定
【点评】
本题是分式方程参数求解的典型题型，重点考查对增根、无解概念的理解和区分，求解时注意无解需覆盖整式方程本身无解、解为增根两类情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 已知分式方程的根，根据方程的根满足原方程的性质，将根代入去分母后的整式方程，即可解出a的值。
(2) 分式方程的增根是使原分式分母为0的未知数的值，先将分式方程去分母转化为整式方程，再将可能的增根代入整式方程，排除不可能的情况后即可求出对应的a值。
(3) 分式方程无解分两种情况：一是去分母后的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根，分别计算两类情况的a值后合并结果即可。
【解析】
先将原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x(x-2)$，得：
$x(x-a) - 5(x-2) = x(x-2)$
展开整理：
$x^2 - ax - 5x + 10 = x^2 - 2x$
消去$x^2$、合并同类项得整式方程：$\boldsymbol{(a+3)x = 10}$
(1) 把$x=5$代入整式方程$(a+3)x = 10$，得：
$5(a+3) = 10$
解得$a=-1$
(2) 分式方程有增根，则最简公分母$x(x-2)=0$，即增根可能为$x=0$或$x=2$：
① 将$x=0$代入$(a+3)x = 10$，得$0=10$，等式不成立，无对应a值；
② 将$x=2$代入$(a+3)x = 10$，得$2(a+3)=10$，解得$a=2$
综上，分式方程有增根时$a=2$
(3) 分式方程无解分两类情况：
① 整式方程$(a+3)x = 10$本身无解：当一次项系数为0，即$a+3=0$，$a=-3$时，方程变为$0· x=10$，无实数解；
② 整式方程的解是原分式方程的增根：由(2)可知此时$a=2$
综上，分式方程无解时$a=-3$或$a=2$
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$a=2$；(3)$a=-3$或$a=2$
【知识点】
分式方程的根，分式方程的增根，分式方程无解的判定
【点评】
本题是分式方程参数求解的典型题型，重点考查对增根、无解概念的理解和区分，求解时注意无解需覆盖整式方程本身无解、解为增根两类情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
