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22. (10分)数学中,运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要.例如,已知:$a^2+2a=1$,则代数式$2a^2+4a+4=2(a^2+2a)+4=2×1+4=6$.请你根据以上材料解答以下问题:
(1)若$x^2-4x=1$,则$2x^2-8x-1=$
(2)当$x^2+2x-2=0$,求$3-4x-2x^2$的值;
(3)当$x=1$时,代数式$ax^5+bx^3+cx-3=7$;当$x=-1$时,代数式$ax^5+bx^3+cx-3$的值是多少?
(1)若$x^2-4x=1$,则$2x^2-8x-1=$
$1$
;(2)当$x^2+2x-2=0$,求$3-4x-2x^2$的值;
(3)当$x=1$时,代数式$ax^5+bx^3+cx-3=7$;当$x=-1$时,代数式$ax^5+bx^3+cx-3$的值是多少?
答案
22. 解:(1) $\because 2x^2-8x-1= 2(x^2-4x)-1$,
$\therefore$ 原式$=2×1-1=2-1=1$.
(2) $\because 3-4x-2x^2=3-2(x^2+2x)$,$\therefore$ 当$x^2+2x-2=0$,即$x^2+2x=2$时,原式$=3-2×2=3-4=-1$.
(3) $\because$ 当$x=1$时,代数式$ax^5+bx^3+cx-3=7$,
$\therefore a+b+c=10$. 当$x=-1$时,代数式$ax^5+bx^3+cx-3=-a-b-c-3=-(a+b+c)-3$. $\because a+b+c=10$,$\therefore$ 原式$=-10-3=-13$.
$\therefore$ 原式$=2×1-1=2-1=1$.
(2) $\because 3-4x-2x^2=3-2(x^2+2x)$,$\therefore$ 当$x^2+2x-2=0$,即$x^2+2x=2$时,原式$=3-2×2=3-4=-1$.
(3) $\because$ 当$x=1$时,代数式$ax^5+bx^3+cx-3=7$,
$\therefore a+b+c=10$. 当$x=-1$时,代数式$ax^5+bx^3+cx-3=-a-b-c-3=-(a+b+c)-3$. $\because a+b+c=10$,$\therefore$ 原式$=-10-3=-13$.
解析
【分析】
本题考查整体代入思想在代数式求值中的应用，解题时无需计算未知数的具体值，只需将所求代数式变形为与已知条件相关的形式，再整体代入计算即可。
(1) 观察所求代数式$2x^2-8x-1$，可提取公因数2变形为$2(x^2-4x)-1$，已知$x^2-4x=1$，直接整体代入即可得到结果。
(2) 先将已知方程$x^2+2x-2=0$变形为$x^2+2x=2$，再将所求代数式$3-4x-2x^2$提取公因数-2，变形为$3-2(x^2+2x)$，代入$x^2+2x=2$即可计算。
(3) 先将$x=1$代入代数式，求出$a+b+c$的整体值，再将$x=-1$代入代数式，利用奇数次幂的符号性质，将代数式变形为含$a+b+c$的形式，整体代入$a+b+c$的值计算即可。
【解析】
(1) 对$2x^2-8x-1$变形可得：$2x^2-8x-1=2(x^2-4x)-1$，
将$x^2-4x=1$代入得：原式$=2×1 -1=2-1=1$。
(2) 由$x^2+2x-2=0$，移项可得$x^2+2x=2$，
对$3-4x-2x^2$变形可得：$3-4x-2x^2=3-2(x^2+2x)$，
将$x^2+2x=2$代入得：原式$=3-2×2=3-4=-1$。
(3) 当$x=1$时，代入$ax^5+bx^3+cx-3=7$得：
$a×1^5 + b×1^3 + c×1 -3=7$，即$a+b+c-3=7$，
移项得$a+b+c=10$。
当$x=-1$时，代入$ax^5+bx^3+cx-3$得：
$a×(-1)^5 + b×(-1)^3 + c×(-1) -3 = -a -b -c -3$，
将式子变形为：$-(a+b+c)-3$，
把$a+b+c=10$代入得：原式$=-10 -3=-13$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-1}$；(3) $\boxed{-13}$
【知识点】
整体代入求值，代数式变形，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整体思想的应用，解题关键是观察所求代数式与已知条件的关联，对代数式进行合理变形，避免求解未知数的繁琐运算，该思想是代数运算中非常常用的思想方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75
本题考查整体代入思想在代数式求值中的应用，解题时无需计算未知数的具体值，只需将所求代数式变形为与已知条件相关的形式，再整体代入计算即可。
(1) 观察所求代数式$2x^2-8x-1$，可提取公因数2变形为$2(x^2-4x)-1$，已知$x^2-4x=1$，直接整体代入即可得到结果。
(2) 先将已知方程$x^2+2x-2=0$变形为$x^2+2x=2$，再将所求代数式$3-4x-2x^2$提取公因数-2，变形为$3-2(x^2+2x)$，代入$x^2+2x=2$即可计算。
(3) 先将$x=1$代入代数式，求出$a+b+c$的整体值，再将$x=-1$代入代数式，利用奇数次幂的符号性质，将代数式变形为含$a+b+c$的形式，整体代入$a+b+c$的值计算即可。
【解析】
(1) 对$2x^2-8x-1$变形可得：$2x^2-8x-1=2(x^2-4x)-1$，
将$x^2-4x=1$代入得：原式$=2×1 -1=2-1=1$。
(2) 由$x^2+2x-2=0$，移项可得$x^2+2x=2$，
对$3-4x-2x^2$变形可得：$3-4x-2x^2=3-2(x^2+2x)$，
将$x^2+2x=2$代入得：原式$=3-2×2=3-4=-1$。
(3) 当$x=1$时，代入$ax^5+bx^3+cx-3=7$得：
$a×1^5 + b×1^3 + c×1 -3=7$，即$a+b+c-3=7$，
移项得$a+b+c=10$。
当$x=-1$时，代入$ax^5+bx^3+cx-3$得：
$a×(-1)^5 + b×(-1)^3 + c×(-1) -3 = -a -b -c -3$，
将式子变形为：$-(a+b+c)-3$，
把$a+b+c=10$代入得：原式$=-10 -3=-13$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-1}$；(3) $\boxed{-13}$
【知识点】
整体代入求值，代数式变形，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整体思想的应用，解题关键是观察所求代数式与已知条件的关联，对代数式进行合理变形，避免求解未知数的繁琐运算，该思想是代数运算中非常常用的思想方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75
23. (12分)【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯尽可能多地放入高为40 cm的柜子里，她把杯子按如图所示的方式整齐地叠放成一摞，但她不知道一摞最多能叠几个杯子可以一次性放进柜子里。
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
【数学思考】
（1）观察这些表格中数据的规律，用含x的代数式表示h；
（2）当杯子的数量为12个时，求这摞杯子的总高度；
【解决问题】
（3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子可以一次性放进柜子里？
圆圆想把一些相同规格的塑料杯尽可能多地放入高为40 cm的柜子里，她把杯子按如图所示的方式整齐地叠放成一摞，但她不知道一摞最多能叠几个杯子可以一次性放进柜子里。
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
【数学思考】
（1）观察这些表格中数据的规律，用含x的代数式表示h；
（2）当杯子的数量为12个时，求这摞杯子的总高度；
【解决问题】
（3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子可以一次性放进柜子里？
答案
23. (1) 由表格可得每增加一个杯子，总高度增加1.4 cm，则总高度$h=10+(x-1)×1.4=8.6+1.4x$.
(2) 由(1)得,当$x=12$时,$h=8.6+1.4×12=25.4(\mathrm{cm})$.
(3) 依题意,得$(40-10)÷1.4+1≈22.4$(个),因为杯子的数量为整数,所以最多能叠22个杯子一次性放进柜子里.
(2) 由(1)得,当$x=12$时,$h=8.6+1.4×12=25.4(\mathrm{cm})$.
(3) 依题意,得$(40-10)÷1.4+1≈22.4$(个),因为杯子的数量为整数,所以最多能叠22个杯子一次性放进柜子里.
解析
【分析】
1. 第(1)问：先观察表格数据规律，杯子数量每增加1个，总高度增加1.4cm，1个杯子的基础高度为10cm，后续每多1个杯子仅增加1.4cm的叠放高度，总高度等于基础高度加上(x-1)个叠放增加的高度，整理即可得到h与x的关系式。
2. 第(2)问：将x=12直接代入第(1)问得到的代数式，计算即可得到对应总高度。
3. 第(3)问：柜子总高40cm，即叠放杯子总高度不能超过40cm，先计算除去第一个杯子的基础高度后，剩余高度可以容纳多少个1.4cm的叠放增量，再加第一个杯子得到总数量，结合杯子为整数、总高度不超过柜子高度的要求，对结果向下取整即可。
【解析】
(1) 由表格数据可得，每增加1个杯子，总高度增加$11.4-10=1.4\ \mathrm{cm}$。
1个杯子高度为10cm，当有x个杯子时，叠放增量共$(x-1)$个，因此总高度：
$h=10+1.4(x-1)$
化简得：$h=1.4x+8.6$
(2) 把$x=12$代入$h=1.4x+8.6$得：
$h=1.4×12+8.6=16.8+8.6=25.4\ \mathrm{cm}$
(3) 依题意，叠放杯子总高度不能超过40cm，先计算剩余可容纳的叠放增量数量：
$(40-10)÷1.4\approx21.43$
总杯子数量为$21.43+1=22.43$个，由于杯子数量为正整数，且叠23个时总高度会超过40cm，因此最多叠22个。
【答案】
(1) $h=1.4x+8.6$
(2) $25.4\ \mathrm{cm}$
(3) $22$个
【知识点】
列代数式，代数式求值，实际问题取整
【点评】
本题结合生活中叠放杯子的实际场景，考查学生从数据中探究规律、列式计算的能力，解题时需注意实际问题的结果要符合现实意义，对非整数结果要合理取舍。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：先观察表格数据规律，杯子数量每增加1个，总高度增加1.4cm，1个杯子的基础高度为10cm，后续每多1个杯子仅增加1.4cm的叠放高度，总高度等于基础高度加上(x-1)个叠放增加的高度，整理即可得到h与x的关系式。
2. 第(2)问：将x=12直接代入第(1)问得到的代数式，计算即可得到对应总高度。
3. 第(3)问：柜子总高40cm，即叠放杯子总高度不能超过40cm，先计算除去第一个杯子的基础高度后，剩余高度可以容纳多少个1.4cm的叠放增量，再加第一个杯子得到总数量，结合杯子为整数、总高度不超过柜子高度的要求，对结果向下取整即可。
【解析】
(1) 由表格数据可得，每增加1个杯子，总高度增加$11.4-10=1.4\ \mathrm{cm}$。
1个杯子高度为10cm，当有x个杯子时，叠放增量共$(x-1)$个，因此总高度：
$h=10+1.4(x-1)$
化简得：$h=1.4x+8.6$
(2) 把$x=12$代入$h=1.4x+8.6$得：
$h=1.4×12+8.6=16.8+8.6=25.4\ \mathrm{cm}$
(3) 依题意，叠放杯子总高度不能超过40cm，先计算剩余可容纳的叠放增量数量：
$(40-10)÷1.4\approx21.43$
总杯子数量为$21.43+1=22.43$个，由于杯子数量为正整数，且叠23个时总高度会超过40cm，因此最多叠22个。
【答案】
(1) $h=1.4x+8.6$
(2) $25.4\ \mathrm{cm}$
(3) $22$个
【知识点】
列代数式，代数式求值，实际问题取整
【点评】
本题结合生活中叠放杯子的实际场景，考查学生从数据中探究规律、列式计算的能力，解题时需注意实际问题的结果要符合现实意义，对非整数结果要合理取舍。
【难度系数】
0.7
