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8.(1)要保证某5个城市中每两个城市之间都有高铁可乘，需要印不同的火车票多少种？
(2)平面上5条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，求$ m + n $的值。
(2)平面上5条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，求$ m + n $的值。
答案
8. 解:(1)$5×4=20$(种)(提示:$A→B,B→A$ 是两种火车票)。
(2)最多有$\frac{5×4}{2}=10$(个)交点,最少有1个交点,所以$m=10,n=1$,所以$m+n=11$。
(2)最多有$\frac{5×4}{2}=10$(个)交点,最少有1个交点,所以$m=10,n=1$,所以$m+n=11$。
解析
【分析】
(1) 火车票存在出发地和目的地的区别，例如城市A到城市B和城市B到城市A属于两种不同的车票。我们可以先选定出发城市，5个城市每个都可作为出发地，每个出发地对应其余4个不同的目的地，用乘法即可快速算出总车票数。
(2) 计算直线交点数分两种情况：①最多交点：要让交点最多，需保证每两条直线的交点都不重合，不存在3条及以上直线交于同一点，此时交点数就是从5条直线中任选2条的组合数；②最少交点：当5条直线全部交于同一个点时，交点数量最少。分别算出m、n的值相加即可。
【解析】
(1) 由于往返火车票属于不同票种，每个城市作为出发站时，可到达剩余4个城市，因此总车票数为：
$5×4=20$（种）
(2) 计算最多交点数$m$：5条直线两两相交且无三线共点时交点最多，每2条直线仅产生1个不重复的交点，因此：
$m=\frac{5×4}{2}=10$（个）
计算最少交点数$n$：当5条直线交于同一点时交点最少，因此$n=1$
所以$m+n=10+1=11$
【答案】
(1) 20种；(2) 11
【知识点】
1. 计数问题 2. 直线相交规律
【点评】
本题考查基础计数和直线性质的应用，解题核心是区分有序计数和无序计数的适用场景：涉及方向、顺序差别的场景（如火车票）用有序计数，无顺序差别的场景（如交点计数）用无序计数，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
(1) 火车票存在出发地和目的地的区别，例如城市A到城市B和城市B到城市A属于两种不同的车票。我们可以先选定出发城市，5个城市每个都可作为出发地，每个出发地对应其余4个不同的目的地，用乘法即可快速算出总车票数。
(2) 计算直线交点数分两种情况：①最多交点：要让交点最多，需保证每两条直线的交点都不重合，不存在3条及以上直线交于同一点，此时交点数就是从5条直线中任选2条的组合数；②最少交点：当5条直线全部交于同一个点时，交点数量最少。分别算出m、n的值相加即可。
【解析】
(1) 由于往返火车票属于不同票种，每个城市作为出发站时，可到达剩余4个城市，因此总车票数为：
$5×4=20$（种）
(2) 计算最多交点数$m$：5条直线两两相交且无三线共点时交点最多，每2条直线仅产生1个不重复的交点，因此：
$m=\frac{5×4}{2}=10$（个）
计算最少交点数$n$：当5条直线交于同一点时交点最少，因此$n=1$
所以$m+n=10+1=11$
【答案】
(1) 20种；(2) 11
【知识点】
1. 计数问题 2. 直线相交规律
【点评】
本题考查基础计数和直线性质的应用，解题核心是区分有序计数和无序计数的适用场景：涉及方向、顺序差别的场景（如火车票）用有序计数，无顺序差别的场景（如交点计数）用无序计数，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
9. 3月12日，团支部书记小颖带领全体团员参加植树活动，有一项任务是在长25 m的公路段旁栽一排树苗，每相邻两棵树苗的间距为5 m，可他们手中只有一圈长20 m的皮尺，怎样栽才能保证这些树苗在一条直线上？请你帮忙出出主意。
答案
9. 解:首先确定两个点,然后过两点画直线,最后在直线上每隔5 m栽一棵树苗即可,根据是两点确定一条直线。
解析
【分析】
要保证所有树苗在同一条直线上，需结合直线的基本性质思考：我们学过“两点确定一条直线”，即只要确定两个固定的点，就能唯一确定过这两个点的直线。结合只有20m皮尺的限制，我们可以先利用皮尺确定两个树苗的栽种点，用这两个点固定所有树苗所在的直线，之后再沿这条直线按5m的间距标记栽种位置，就能同时满足间距和共线的要求。
【解析】
1. 先在25m的公路段旁选定第一个树苗的栽种点，记为点A，将皮尺的零刻度对齐A点，沿公路延伸方向拉直皮尺，在皮尺20m刻度的位置标记第二个树苗的栽种点B，根据“两点确定一条直线”，A、B两点就确定了所有树苗需要栽种的直线；
2. 沿着已经确定的直线AB，从A点开始每隔5m标记一个栽种位置，B点后剩余的5m可以从B点出发沿直线AB继续量出5m标记最后一个栽种点；
3. 在所有标记好的位置栽种树苗，即可保证所有树苗在同一条直线上。
【答案】
首先确定两个点，然后过两点画直线，最后在直线上每隔5 m栽一棵树苗即可，根据是两点确定一条直线。
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题是几何公理在生活中的实际应用题目，需要大家把所学的数学理论和实际操作场景结合，能够有效锻炼知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要保证所有树苗在同一条直线上，需结合直线的基本性质思考：我们学过“两点确定一条直线”，即只要确定两个固定的点，就能唯一确定过这两个点的直线。结合只有20m皮尺的限制，我们可以先利用皮尺确定两个树苗的栽种点，用这两个点固定所有树苗所在的直线，之后再沿这条直线按5m的间距标记栽种位置，就能同时满足间距和共线的要求。
【解析】
1. 先在25m的公路段旁选定第一个树苗的栽种点，记为点A，将皮尺的零刻度对齐A点，沿公路延伸方向拉直皮尺，在皮尺20m刻度的位置标记第二个树苗的栽种点B，根据“两点确定一条直线”，A、B两点就确定了所有树苗需要栽种的直线；
2. 沿着已经确定的直线AB，从A点开始每隔5m标记一个栽种位置，B点后剩余的5m可以从B点出发沿直线AB继续量出5m标记最后一个栽种点；
3. 在所有标记好的位置栽种树苗，即可保证所有树苗在同一条直线上。
【答案】
首先确定两个点，然后过两点画直线，最后在直线上每隔5 m栽一棵树苗即可，根据是两点确定一条直线。
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题是几何公理在生活中的实际应用题目，需要大家把所学的数学理论和实际操作场景结合，能够有效锻炼知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
10. 问题:两条直线将平面分成几部分?
解:如图4-1-7①,两条直线平行时,它们将平面分成三部分;
如图4-1-7②,两条直线不平行时,它们将平面分成四部分。
根据上述内容,解答下面的问题。
(1)上面问题的解题过程应用了
(2)三条直线将平面分成几部分?
10. 问题:两条直线将平面分成几部分?
解:如图4-1-7①,两条直线平行时,它们将平面分成三部分;
如图4-1-7②,两条直线不平行时,它们将平面分成四部分。
根据上述内容,解答下面的问题。
(1)上面问题的解题过程应用了
分类讨论
的数学思想(填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”);(2)三条直线将平面分成几部分?
答案
10. 解:(1)分类讨论
(2)由答图4-1-2①②③④可知,三条直线可以将平面分成四或六或七部分。
解析
【分析】
（1）解决两条直线分平面的问题时，将两条直线的位置关系分为平行、不平行两类分别讨论计算，符合分类讨论思想的特征，因此可判断对应的数学思想。
（2）求解三条直线分平面的数量时，同样需要对三条直线的位置关系分类讨论：分别考虑三条直线互相平行、两条平行第三条与它们相交、三条交于同一点、三条两两相交且不共交点四种情况，分别计算每种情况分平面的数量，再汇总得到所有可能的结果。
【解析】
（1）解题过程中把两条直线的位置关系分成平行、不平行两类分别研究，应用了分类讨论的数学思想。
（2）我们分情况讨论三条直线的位置关系：
① 当三条直线互相平行时，可将平面分成4部分；
② 当两条直线平行，第三条直线与这两条平行直线都相交时，可将平面分成6部分；
③ 当三条直线相交于同一点时，可将平面分成6部分；
④ 当三条直线两两相交，且没有公共交点时，可将平面分成7部分。
综上，三条直线分平面的结果有4部分、6部分、7部分三种情况。
【答案】
(1)分类讨论
(2)由答图4-1-2①②③④可知,三条直线可以将平面分成四或六或七部分。
【知识点】
分类讨论思想，直线的位置关系，平面分割
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解决直线分平面的问题时，要全面梳理直线所有可能的位置关系，不要遗漏情况，才能得到完整的结果。
【难度系数】
0.6
（1）解决两条直线分平面的问题时，将两条直线的位置关系分为平行、不平行两类分别讨论计算，符合分类讨论思想的特征，因此可判断对应的数学思想。
（2）求解三条直线分平面的数量时，同样需要对三条直线的位置关系分类讨论：分别考虑三条直线互相平行、两条平行第三条与它们相交、三条交于同一点、三条两两相交且不共交点四种情况，分别计算每种情况分平面的数量，再汇总得到所有可能的结果。
【解析】
（1）解题过程中把两条直线的位置关系分成平行、不平行两类分别研究，应用了分类讨论的数学思想。
（2）我们分情况讨论三条直线的位置关系：
① 当三条直线互相平行时，可将平面分成4部分；
② 当两条直线平行，第三条直线与这两条平行直线都相交时，可将平面分成6部分；
③ 当三条直线相交于同一点时，可将平面分成6部分；
④ 当三条直线两两相交，且没有公共交点时，可将平面分成7部分。
综上，三条直线分平面的结果有4部分、6部分、7部分三种情况。
【答案】
(1)分类讨论
(2)由答图4-1-2①②③④可知,三条直线可以将平面分成四或六或七部分。
【知识点】
分类讨论思想，直线的位置关系，平面分割
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解决直线分平面的问题时，要全面梳理直线所有可能的位置关系，不要遗漏情况，才能得到完整的结果。
【难度系数】
0.6
11. 在同一平面内,我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为 $a_1$,三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为 $a_2$,四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为 $a_3$,…,$(n+1)$条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为 $a_n$。
(1)$a_1=$
(2)$a_n=$
(3)求$\frac{1}{a_1 -1}+\frac{1}{a_2 -1}+\dots+\frac{1}{a_n -1}$。
(当$n$为正整数时,$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$)
(1)$a_1=$
4
,$a_2=$ 7
,$a_3=$ 11
;(2)$a_n=$
$\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1$
;(3)求$\frac{1}{a_1 -1}+\frac{1}{a_2 -1}+\dots+\frac{1}{a_n -1}$。
(当$n$为正整数时,$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$)
答案
11. 解:(1)4 7 11
(2)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1$
(3)$\frac{1}{a_1-1}+\frac{1}{a_2-1}+\dots+\frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\dots+$$\frac{1}{1+2+{\dots}+(n+1)}$
$=\frac{2}{(1+2)×2}+\frac{2}{(1+3)×3}+\dots+\frac{2}{(1+n+1)(n+1)}$
$=2[\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}]$
$=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$
$=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})$
$=\frac{n}{n+2}$。
(2)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1$
(3)$\frac{1}{a_1-1}+\frac{1}{a_2-1}+\dots+\frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\dots+$$\frac{1}{1+2+{\dots}+(n+1)}$
$=\frac{2}{(1+2)×2}+\frac{2}{(1+3)×3}+\dots+\frac{2}{(1+n+1)(n+1)}$
$=2[\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}]$
$=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$
$=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})$
$=\frac{n}{n+2}$。
解析
【分析】
(1) 明确各符号定义：$a_1$是2条直线相交最多分平面的区域数，$a_2$是3条直线两两相交最多分平面的区域数，$a_3$是4条直线两两相交最多分平面的区域数。当所有直线两两相交、且无三线共点时，分平面的区域数最多，通过画图计数即可得出结果。
(2) 找递推规律推导$a_n$：每新增1条直线，最多和之前所有直线都相交，新增的区域数等于当前直线的总条数，累加求和即可得到$(n+1)$条直线最多分平面的区域数公式。
(3) 求和时先计算$a_n-1$，将分式变形为可裂项的形式，再用裂项相消法抵消中间项，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 2条直线两两相交最多将平面分成4个区域，故$a_1=4$；
3条直线两两相交且无三线共点时，最多将平面分成7个区域，故$a_2=7$；
4条直线两两相交且无三线共点时，最多将平面分成11个区域，故$a_3=11$。
(2) 已知$k$条直线两两相交且无共点时，最多分平面的区域数为$1+\frac{k(k+1)}{2}$，$a_n$对应$k=n+1$条直线的情况，代入得：
$a_n=1+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1$
(3) 由(2)得$a_n -1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，因此$\frac{1}{a_n -1}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}=2(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$，代入求和式：
$\begin{aligned}\frac{1}{a_1 -1}+\frac{1}{a_2 -1}+\dots+\frac{1}{a_n -1}&=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\\&=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})\\&=\frac{n}{n+2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；$\boxed{7}$；$\boxed{11}$
(2) $\boxed{\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1}$
(3) $\boxed{\frac{n}{n+2}}$
【知识点】
直线分平面规律；裂项相消求和；代数式化简
【点评】
本题是规律探究类综合题，先通过几何计数归纳出直线分平面的通项公式，再结合分式裂项技巧完成求和，既考查了归纳推理能力，也考查了分式运算的技巧性，是规律探究与代数运算结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1) 明确各符号定义：$a_1$是2条直线相交最多分平面的区域数，$a_2$是3条直线两两相交最多分平面的区域数，$a_3$是4条直线两两相交最多分平面的区域数。当所有直线两两相交、且无三线共点时，分平面的区域数最多，通过画图计数即可得出结果。
(2) 找递推规律推导$a_n$：每新增1条直线，最多和之前所有直线都相交，新增的区域数等于当前直线的总条数，累加求和即可得到$(n+1)$条直线最多分平面的区域数公式。
(3) 求和时先计算$a_n-1$，将分式变形为可裂项的形式，再用裂项相消法抵消中间项，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 2条直线两两相交最多将平面分成4个区域，故$a_1=4$；
3条直线两两相交且无三线共点时，最多将平面分成7个区域，故$a_2=7$；
4条直线两两相交且无三线共点时，最多将平面分成11个区域，故$a_3=11$。
(2) 已知$k$条直线两两相交且无共点时，最多分平面的区域数为$1+\frac{k(k+1)}{2}$，$a_n$对应$k=n+1$条直线的情况，代入得：
$a_n=1+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1$
(3) 由(2)得$a_n -1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，因此$\frac{1}{a_n -1}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}=2(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$，代入求和式：
$\begin{aligned}\frac{1}{a_1 -1}+\frac{1}{a_2 -1}+\dots+\frac{1}{a_n -1}&=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\\&=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})\\&=\frac{n}{n+2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；$\boxed{7}$；$\boxed{11}$
(2) $\boxed{\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1}$
(3) $\boxed{\frac{n}{n+2}}$
【知识点】
直线分平面规律；裂项相消求和；代数式化简
【点评】
本题是规律探究类综合题，先通过几何计数归纳出直线分平面的通项公式，再结合分式裂项技巧完成求和，既考查了归纳推理能力，也考查了分式运算的技巧性，是规律探究与代数运算结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
