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1.某拱桥的形状近似抛物线形，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则该抛物线的解析式是。
答案
解：
由题意可得，抛物线与x轴交于点(0,0)和(40,0)，顶点坐标为(20,16)。
设抛物线的解析式为 $ y = a(x-20)^2 + 16 $，
把点(0,0)代入解析式，得：
$ 0 = 400a + 16 $，
解得 $ a = -\frac{1}{25} $。
将a代入顶点式并整理，得：
$ y = -\frac{1}{25}(x-20)^2 + 16 = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x \quad (0≤ x≤40) $
故该抛物线的解析式是 $\boldsymbol{y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x\ (0≤ x≤40)}$。
由题意可得，抛物线与x轴交于点(0,0)和(40,0)，顶点坐标为(20,16)。
设抛物线的解析式为 $ y = a(x-20)^2 + 16 $，
把点(0,0)代入解析式，得：
$ 0 = 400a + 16 $，
解得 $ a = -\frac{1}{25} $。
将a代入顶点式并整理，得：
$ y = -\frac{1}{25}(x-20)^2 + 16 = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x \quad (0≤ x≤40) $
故该抛物线的解析式是 $\boldsymbol{y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x\ (0≤ x≤40)}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先从题目和图像中提取关键信息：抛物线与x轴的交点为(0,0)、(40,0)，最高点即顶点坐标为(20,16)。由于已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式设解析式计算更简便，之后将已知的交点坐标代入解析式求出未知系数a，最后整理为一般形式，结合拱桥的实际跨度标注自变量x的取值范围即可。
【解析】
解：由题意可知，抛物线过点$(0,0)$、$(40,0)$，顶点坐标为$(20,16)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$y = a(x-20)^2 + 16$（$a≠0$）
将点$(0,0)$代入上述解析式，得：
$0 = a×(0-20)^2 +16$
即$0 = 400a + 16$
解得$a = -\frac{1}{25}$
将$a = -\frac{1}{25}$代入顶点式并展开整理：
$y = -\frac{1}{25}(x-20)^2 + 16 = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x$
结合拱桥的实际跨度，自变量x的取值范围为$0≤x≤40$。
【答案】
$\boldsymbol{y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x\ (0≤ x≤40)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际几何问题中的应用，解题核心是准确提取图像中的交点、顶点等关键坐标，选择顶点式设解析式可有效简化计算过程，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先从题目和图像中提取关键信息：抛物线与x轴的交点为(0,0)、(40,0)，最高点即顶点坐标为(20,16)。由于已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式设解析式计算更简便，之后将已知的交点坐标代入解析式求出未知系数a，最后整理为一般形式，结合拱桥的实际跨度标注自变量x的取值范围即可。
【解析】
解：由题意可知，抛物线过点$(0,0)$、$(40,0)$，顶点坐标为$(20,16)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$y = a(x-20)^2 + 16$（$a≠0$）
将点$(0,0)$代入上述解析式，得：
$0 = a×(0-20)^2 +16$
即$0 = 400a + 16$
解得$a = -\frac{1}{25}$
将$a = -\frac{1}{25}$代入顶点式并展开整理：
$y = -\frac{1}{25}(x-20)^2 + 16 = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x$
结合拱桥的实际跨度，自变量x的取值范围为$0≤x≤40$。
【答案】
$\boldsymbol{y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x\ (0≤ x≤40)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际几何问题中的应用，解题核心是准确提取图像中的交点、顶点等关键坐标，选择顶点式设解析式可有效简化计算过程，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.8
2.如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为$y=-\dfrac{1}{25}x^2$，当水面宽度AB为20 m时，水面与桥拱顶的高度CO等于 m.
答案
解：
∵ 水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，
∴ 点B的横坐标为$x=10$。
将$x=10$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{25}× 10^2 = -4$，
即水面位置对应的纵坐标为$-4$，桥拱顶O位于坐标原点，
∴ 水面与桥拱顶的高度$CO$等于$4\ \mathrm{m}$。
答：水面与桥拱顶的高度CO等于$\boldsymbol{4}$ m。
∵ 水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，
∴ 点B的横坐标为$x=10$。
将$x=10$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{25}× 10^2 = -4$，
即水面位置对应的纵坐标为$-4$，桥拱顶O位于坐标原点，
∴ 水面与桥拱顶的高度$CO$等于$4\ \mathrm{m}$。
答：水面与桥拱顶的高度CO等于$\boldsymbol{4}$ m。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际拱桥问题中的应用，解题思路如下：首先明确抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，水面宽度AB为20m，说明A、B两点关于y轴对称，因此点B的横坐标为AB长度的一半即10；其次将$x=10$代入二次函数解析式，求出水面位置对应的纵坐标；最后因为高度为竖直距离，取纵坐标的绝对值即可得到水面与桥拱顶的高度CO。
【解析】
解：
∵ 水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，
∴ 点B的横坐标为$x=10$。
将$x=10$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{25}× 10^2 = -4$，
即水面位置对应的纵坐标为$-4$，桥拱顶O位于坐标原点，
∴ 水面与桥拱顶的高度$CO$等于$|-4|=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
4
【知识点】
1. 二次函数的应用
2. 抛物线的对称性
3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是利用抛物线的对称性确定对应点的横坐标，代入解析式计算即可，掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际拱桥问题中的应用，解题思路如下：首先明确抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，水面宽度AB为20m，说明A、B两点关于y轴对称，因此点B的横坐标为AB长度的一半即10；其次将$x=10$代入二次函数解析式，求出水面位置对应的纵坐标；最后因为高度为竖直距离，取纵坐标的绝对值即可得到水面与桥拱顶的高度CO。
【解析】
解：
∵ 水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，
∴ 点B的横坐标为$x=10$。
将$x=10$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{25}× 10^2 = -4$，
即水面位置对应的纵坐标为$-4$，桥拱顶O位于坐标原点，
∴ 水面与桥拱顶的高度$CO$等于$|-4|=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
4
【知识点】
1. 二次函数的应用
2. 抛物线的对称性
3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是利用抛物线的对称性确定对应点的横坐标，代入解析式计算即可，掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.(生活应用)如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化.如图2，“东方之门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度AB为80 m，高度为200 m，则离地面128 m处的水平宽度(即CD的长)为 m.
答案
$\boldsymbol{48}$
解析
【分析】
要解决这个抛物线实际应用问题，我们可以利用抛物线的对称性建立合适的平面直角坐标系简化计算：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，先通过已知点坐标求出抛物线的解析式，再将离地面高度128m（即y=128）代入解析式，求出对应横坐标，最后计算两个横坐标的差即可得到CD的长度。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系。
由题意得：A(-40,0)，B(40,0)，抛物线顶点坐标为(0,200)。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+200$，将B(40,0)代入解析式：
$0=a×40^2 +200$
$1600a=-200$
解得$a=-\frac{1}{8}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2 +200$。
当离地面高度为128m时，$y=128$，代入解析式：
$128=-\frac{1}{8}x^2 +200$
整理得$\frac{1}{8}x^2=72$，解得$x=\pm24$。
则C点坐标为(-24,128)，D点坐标为(24,128)，
$CD=24 - (-24)=48\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{48}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；抛物线的对称性
【点评】
本题结合生活建筑场景考查二次函数的应用，解题关键是合理建立平面直角坐标系，用待定系数法求出抛物线解析式后根据函数值求解对应横坐标，是二次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个抛物线实际应用问题，我们可以利用抛物线的对称性建立合适的平面直角坐标系简化计算：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，先通过已知点坐标求出抛物线的解析式，再将离地面高度128m（即y=128）代入解析式，求出对应横坐标，最后计算两个横坐标的差即可得到CD的长度。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系。
由题意得：A(-40,0)，B(40,0)，抛物线顶点坐标为(0,200)。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+200$，将B(40,0)代入解析式：
$0=a×40^2 +200$
$1600a=-200$
解得$a=-\frac{1}{8}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2 +200$。
当离地面高度为128m时，$y=128$，代入解析式：
$128=-\frac{1}{8}x^2 +200$
整理得$\frac{1}{8}x^2=72$，解得$x=\pm24$。
则C点坐标为(-24,128)，D点坐标为(24,128)，
$CD=24 - (-24)=48\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{48}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；抛物线的对称性
【点评】
本题结合生活建筑场景考查二次函数的应用，解题关键是合理建立平面直角坐标系，用待定系数法求出抛物线解析式后根据函数值求解对应横坐标，是二次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
4.如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在距离池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,则水管的长度应为 m.
答案
解：设抛物线形水柱对应的函数解析式为 $ y = a(x-1)^2 + 3 $。
将点$(3,0)$代入解析式，得：
$0 = a(3-1)^2 + 3$
解得 $ a = -\frac{3}{4} $。
因此抛物线解析式为 $ y = -\frac{3}{4}(x-1)^2 + 3 $。
令$ x=0 $，代入解析式得：
$y = -\frac{3}{4}×(0-1)^2 + 3 = \frac{9}{4}$
答：水管的长度应为$\frac{9}{4}$（或2.25）m。
将点$(3,0)$代入解析式，得：
$0 = a(3-1)^2 + 3$
解得 $ a = -\frac{3}{4} $。
因此抛物线解析式为 $ y = -\frac{3}{4}(x-1)^2 + 3 $。
令$ x=0 $，代入解析式得：
$y = -\frac{3}{4}×(0-1)^2 + 3 = \frac{9}{4}$
答：水管的长度应为$\frac{9}{4}$（或2.25）m。
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先，已知抛物线的顶点坐标为(1,3)，为简化计算，我们选择二次函数的顶点式设出解析式；其次，水柱落地处坐标为(3,0)，该点在抛物线上，将其代入所设解析式即可求出未知系数a，得到完整的抛物线解析式；最后，水管长度对应池中心（即x=0位置）的水柱高度，将x=0代入解析式计算对应的y值，就是水管的长度。
【解析】
设抛物线形水柱对应的函数解析式为 $ y = a(x-1)^2 + 3 $（$ 0≤ x≤3 $）。
将点$(3,0)$代入解析式，得：
$ 0 = a(3-1)^2 + 3 $
即 $ 4a + 3 = 0 $，解得 $ a = -\frac{3}{4} $。
因此抛物线解析式为 $ y = -\frac{3}{4}(x-1)^2 + 3 $。
求水管长度即求x=0时的y值，将$ x=0 $代入解析式得：
$ y = -\frac{3}{4}×(0-1)^2 + 3 = -\frac{3}{4} + 3 = \frac{9}{4} = 2.25 $
【答案】
$\frac{9}{4}$（或2.25）
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的核心是根据已知的顶点坐标选择顶点式设解析式，减少计算量，再代入已知点求解参数，最后结合问题需求代入对应自变量计算函数值即可，掌握二次函数解析式的求法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先，已知抛物线的顶点坐标为(1,3)，为简化计算，我们选择二次函数的顶点式设出解析式；其次，水柱落地处坐标为(3,0)，该点在抛物线上，将其代入所设解析式即可求出未知系数a，得到完整的抛物线解析式；最后，水管长度对应池中心（即x=0位置）的水柱高度，将x=0代入解析式计算对应的y值，就是水管的长度。
【解析】
设抛物线形水柱对应的函数解析式为 $ y = a(x-1)^2 + 3 $（$ 0≤ x≤3 $）。
将点$(3,0)$代入解析式，得：
$ 0 = a(3-1)^2 + 3 $
即 $ 4a + 3 = 0 $，解得 $ a = -\frac{3}{4} $。
因此抛物线解析式为 $ y = -\frac{3}{4}(x-1)^2 + 3 $。
求水管长度即求x=0时的y值，将$ x=0 $代入解析式得：
$ y = -\frac{3}{4}×(0-1)^2 + 3 = -\frac{3}{4} + 3 = \frac{9}{4} = 2.25 $
【答案】
$\frac{9}{4}$（或2.25）
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的核心是根据已知的顶点坐标选择顶点式设解析式，减少计算量，再代入已知点求解参数，最后结合问题需求代入对应自变量计算函数值即可，掌握二次函数解析式的求法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
5.如图,有一抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面宽增加$(2\sqrt{7}-4)$m,则水面应下降的高度是 （）
A.1 m
B.1.5 m
C.$\sqrt{7}$ m
D.$(\sqrt{7}-2)$ m
A.1 m
B.1.5 m
C.$\sqrt{7}$ m
D.$(\sqrt{7}-2)$ m
答案
B
解析
【分析】
要解决这个抛物线拱桥问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解：第一步，合理建立坐标系，设出抛物线的解析式；第二步，利用已知条件代入点坐标求出解析式中的未知系数，确定抛物线的完整解析式；第三步，计算水面宽度变化后的横坐标，代入解析式求出对应的纵坐标，通过纵坐标的差值计算水面下降的高度。
【解析】
解：以抛物线的拱顶为坐标原点，过原点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，由抛物线开口向下，且顶点在原点，可设抛物线的解析式为$y=ax^2(a＜0)$。
已知拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面与抛物线的交点坐标为$(2,-2)$，将该点代入解析式得：
$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面宽增加$(2\sqrt{7}-4)m$时，新的水面宽度为$4+(2\sqrt{7}-4)=2\sqrt{7}m$，此时水面与抛物线交点的横坐标为$x=\pm\sqrt{7}$。
将$x=\sqrt{7}$代入解析式得：$y=-\frac{1}{2}×(\sqrt{7})^2=-\frac{7}{2}=-3.5$。
原来水面对应的纵坐标为$-2$，则水面下降的高度为$\vert -3.5 - (-2)\vert=1.5m$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用题型，核心是通过建立坐标系把几何问题转化为函数问题，解题的关键是选对坐标系的建立方式，简化计算，再结合坐标的几何意义就能快速求出结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个抛物线拱桥问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解：第一步，合理建立坐标系，设出抛物线的解析式；第二步，利用已知条件代入点坐标求出解析式中的未知系数，确定抛物线的完整解析式；第三步，计算水面宽度变化后的横坐标，代入解析式求出对应的纵坐标，通过纵坐标的差值计算水面下降的高度。
【解析】
解：以抛物线的拱顶为坐标原点，过原点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，由抛物线开口向下，且顶点在原点，可设抛物线的解析式为$y=ax^2(a＜0)$。
已知拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面与抛物线的交点坐标为$(2,-2)$，将该点代入解析式得：
$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面宽增加$(2\sqrt{7}-4)m$时，新的水面宽度为$4+(2\sqrt{7}-4)=2\sqrt{7}m$，此时水面与抛物线交点的横坐标为$x=\pm\sqrt{7}$。
将$x=\sqrt{7}$代入解析式得：$y=-\frac{1}{2}×(\sqrt{7})^2=-\frac{7}{2}=-3.5$。
原来水面对应的纵坐标为$-2$，则水面下降的高度为$\vert -3.5 - (-2)\vert=1.5m$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用题型，核心是通过建立坐标系把几何问题转化为函数问题，解题的关键是选对坐标系的建立方式，简化计算，再结合坐标的几何意义就能快速求出结果。
【难度系数】
0.7
