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1. 下列方程中，解为$x=-3$的是（
A.$\frac{1}{3}x +1=0$
B.$2x -1=8 -x$
C.$-3x=1$
D.$x+\frac{1}{3}=0$
A
）A.$\frac{1}{3}x +1=0$
B.$2x -1=8 -x$
C.$-3x=1$
D.$x+\frac{1}{3}=0$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个方程的解为$x=-3$，有两种常用思路：一是代入检验法，将$x=-3$分别代入每个选项的方程左右两边，若左右两边相等，则$x=-3$是该方程的解；二是分别求解四个选项中的一元一次方程，看哪个方程的解是$x=-3$。其中代入检验法解题更快捷，适合这类选择题。
【解析】
我们用代入检验法逐一验证：
1. 验证选项A：把$x=-3$代入方程左边，得$\frac{1}{3}×(-3)+1=-1+1=0$，和方程右边相等，所以$x=-3$是该方程的解。
2. 验证选项B：把$x=-3$代入方程左边，得$2×(-3)-1=-7$，代入右边得$8-(-3)=11$，左右两边不相等，不符合要求。
3. 验证选项C：把$x=-3$代入方程左边，得$-3×(-3)=9$，和右边的1不相等，不符合要求。
4. 验证选项D：把$x=-3$代入方程左边，得$-3+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$，和右边的0不相等，不符合要求。
综上，只有选项A的方程解为$x=-3$。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的概念；一元一次方程的检验
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对“方程的解”的理解，代入检验法是解决这类题的常用技巧，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.9
要判断哪个方程的解为$x=-3$，有两种常用思路：一是代入检验法，将$x=-3$分别代入每个选项的方程左右两边，若左右两边相等，则$x=-3$是该方程的解；二是分别求解四个选项中的一元一次方程，看哪个方程的解是$x=-3$。其中代入检验法解题更快捷，适合这类选择题。
【解析】
我们用代入检验法逐一验证：
1. 验证选项A：把$x=-3$代入方程左边，得$\frac{1}{3}×(-3)+1=-1+1=0$，和方程右边相等，所以$x=-3$是该方程的解。
2. 验证选项B：把$x=-3$代入方程左边，得$2×(-3)-1=-7$，代入右边得$8-(-3)=11$，左右两边不相等，不符合要求。
3. 验证选项C：把$x=-3$代入方程左边，得$-3×(-3)=9$，和右边的1不相等，不符合要求。
4. 验证选项D：把$x=-3$代入方程左边，得$-3+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$，和右边的0不相等，不符合要求。
综上，只有选项A的方程解为$x=-3$。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的概念；一元一次方程的检验
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对“方程的解”的理解，代入检验法是解决这类题的常用技巧，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.9
2.多项式$3ax + 4b$的值随$x$的取值不同而不同，下表是当$x$取不同值时对应多项式的值.
关于$x$的方程$3ax + 4b = -10$的解是(
A.$x=14$
B.$x=8$
C.$x=0$
D.$x=1$
关于$x$的方程$3ax + 4b = -10$的解是(
D
)A.$x=14$
B.$x=8$
C.$x=0$
D.$x=1$
答案
2.D
解析
【分析】
要解关于x的方程$3ax + 4b = -10$，首先明确方程的解是使方程左右两边相等的未知数x的值，也就是要找到多项式$3ax+4b$的值为$-10$时对应的x的取值。我们可以直接观察表格中给出的x和对应多项式的值，直接匹配找到结果，也可以先代入特殊值求出参数a、b的值，再解一元一次方程得到解。
【解析】
方法一：观察表格可知，当$x=1$时，多项式$3ax+4b$的值为$-10$，即当$x=1$时，$3ax+4b=-10$成立，因此方程$3ax+4b=-10$的解是$x=1$。
方法二（验证）：
1. 当$x=0$时，代入多项式得$3a·0 + 4b = -4$，解得$4b=-4$，即$b=-1$；
2. 再将$x=1$，$b=-1$代入多项式得$3a·1 + 4×(-1) = -10$，解得$3a = -6$，即$a=-2$；
3. 将$a=-2$，$b=-1$代入原方程得：$3×(-2)x + 4×(-1) = -10$，
化简得$-6x -4 = -10$，
移项得$-6x = -6$，
解得$x=1$。
【答案】
D
【知识点】
方程的解，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题可以通过直接查表快速得到答案，也可以通过求解参数a、b再解方程得到结果，解题时优先利用表格信息可简化计算过程。
【难度系数】
0.9
要解关于x的方程$3ax + 4b = -10$，首先明确方程的解是使方程左右两边相等的未知数x的值，也就是要找到多项式$3ax+4b$的值为$-10$时对应的x的取值。我们可以直接观察表格中给出的x和对应多项式的值，直接匹配找到结果，也可以先代入特殊值求出参数a、b的值，再解一元一次方程得到解。
【解析】
方法一：观察表格可知，当$x=1$时，多项式$3ax+4b$的值为$-10$，即当$x=1$时，$3ax+4b=-10$成立，因此方程$3ax+4b=-10$的解是$x=1$。
方法二（验证）：
1. 当$x=0$时，代入多项式得$3a·0 + 4b = -4$，解得$4b=-4$，即$b=-1$；
2. 再将$x=1$，$b=-1$代入多项式得$3a·1 + 4×(-1) = -10$，解得$3a = -6$，即$a=-2$；
3. 将$a=-2$，$b=-1$代入原方程得：$3×(-2)x + 4×(-1) = -10$，
化简得$-6x -4 = -10$，
移项得$-6x = -6$，
解得$x=1$。
【答案】
D
【知识点】
方程的解，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题可以通过直接查表快速得到答案，也可以通过求解参数a、b再解方程得到结果，解题时优先利用表格信息可简化计算过程。
【难度系数】
0.9
3.若a是方程$x^2 -2x -1=0$的解，则代数式$a^2 -2a +2023$的值为
2024
.答案
3.2024
解析
【分析】
解题时首先回忆方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此将x=a代入原方程，可得到关于a的等式。观察待求代数式发现含有$a^2-2a$的整体，不需要求解a的具体值，只需从所得等式中求出$a^2-2a$的值，整体代入待求式即可算出结果。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -2x -1=0$的解，
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 2a - 1 = 0$，
移项得：$a^2 - 2a = 1$，
将$a^2 - 2a = 1$代入代数式$a^2 -2a +2023$得：
原式$=1 + 2023 = 2024$。
【答案】
2024
【知识点】
方程的解的定义；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查方程的解的性质，运用整体代入的思想可避开求解未知数的复杂运算，简化计算过程，是常见的基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此将x=a代入原方程，可得到关于a的等式。观察待求代数式发现含有$a^2-2a$的整体，不需要求解a的具体值，只需从所得等式中求出$a^2-2a$的值，整体代入待求式即可算出结果。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -2x -1=0$的解，
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 2a - 1 = 0$，
移项得：$a^2 - 2a = 1$，
将$a^2 - 2a = 1$代入代数式$a^2 -2a +2023$得：
原式$=1 + 2023 = 2024$。
【答案】
2024
【知识点】
方程的解的定义；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查方程的解的性质，运用整体代入的思想可避开求解未知数的复杂运算，简化计算过程，是常见的基础考点。
【难度系数】
0.9
4. 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地.设A，B两地间的路程是x km，由题意可得方程（
A.$70x - 60x = 1$
B.$60x - 70x = 1$
C.$\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = 1$
D.$\frac{x}{70} - \frac{x}{60} = 1$
C
）A.$70x - 60x = 1$
B.$60x - 70x = 1$
C.$\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = 1$
D.$\frac{x}{70} - \frac{x}{60} = 1$
答案
4.C
解析
【分析】
首先明确行程问题的核心公式：时间=路程÷速度。本题中两车行驶的路程都是A、B两地的距离x km，已知两车的速度，可分别表示出客车和卡车行驶全程的时间；再根据“客车比卡车早1h经过B地”可知，卡车行驶全程的用时比客车多1h，据此即可列出对应的方程。
【解析】
根据行程公式“时间=路程÷速度”可得：
卡车行驶全程的时间为$\frac{x}{60}$ h，客车行驶全程的时间为$\frac{x}{70}$ h。
由“客车比卡车早1h经过B地”，可知卡车用时比客车多1h，因此可列方程：
$\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = 1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.行程问题基本公式 2.一元一次方程的实际应用
【点评】
本题属于行程类的方程应用基础题，解题的关键是准确理解“早1h到达”的含义，理清两车行驶时间的大小关系，避免出现时间差前后项颠倒的错误。
【难度系数】
0.75
首先明确行程问题的核心公式：时间=路程÷速度。本题中两车行驶的路程都是A、B两地的距离x km，已知两车的速度，可分别表示出客车和卡车行驶全程的时间；再根据“客车比卡车早1h经过B地”可知，卡车行驶全程的用时比客车多1h，据此即可列出对应的方程。
【解析】
根据行程公式“时间=路程÷速度”可得：
卡车行驶全程的时间为$\frac{x}{60}$ h，客车行驶全程的时间为$\frac{x}{70}$ h。
由“客车比卡车早1h经过B地”，可知卡车用时比客车多1h，因此可列方程：
$\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = 1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.行程问题基本公式 2.一元一次方程的实际应用
【点评】
本题属于行程类的方程应用基础题，解题的关键是准确理解“早1h到达”的含义，理清两车行驶时间的大小关系，避免出现时间差前后项颠倒的错误。
【难度系数】
0.75
5. 下面是小玲同学在一次课堂测验中利用等式的性质解方程的过程，其中正确的是（
A.$-\dfrac{1}{3}x -5=4$，得$\dfrac{1}{3}x=4+5$
B.$5y -3y=9 - y$，得$5y -3y - y=9$
C.$x +7=26$，得$x=19$
D.$-5x=20$，得$x=-\dfrac{1}{4}$
C
）A.$-\dfrac{1}{3}x -5=4$，得$\dfrac{1}{3}x=4+5$
B.$5y -3y=9 - y$，得$5y -3y - y=9$
C.$x +7=26$，得$x=19$
D.$-5x=20$，得$x=-\dfrac{1}{4}$
答案
5.C
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路是结合等式的两条基本性质，逐一判断每个选项的方程变形是否正确，最终选出符合要求的选项。首先回忆等式的基本性质：性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，我们依据这两条性质对四个选项逐个排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$-\dfrac{1}{3}x -5=4$，根据等式性质1，两边同时加5，得$-\dfrac{1}{3}x=4+5$，选项中丢失了$x$项的负号，变形错误。
B. 对$5y -3y=9 - y$，根据等式性质1，两边同时加$y$，得$5y -3y + y=9$，选项中移项时$y$没有变号，变形错误。
C. 对$x +7=26$，根据等式性质1，两边同时减7，得$x=26-7=19$，变形正确。
D. 对$-5x=20$，根据等式性质2，两边同时除以$-5$，得$x=20÷(-5)=-4$，选项计算结果错误。
综上，只有C选项的变形正确。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题是解方程的基础题型，核心考查对等式性质的理解与应用，解题时需注意移项要变号、系数化为1时运算要准确，避免细节错误。
【难度系数】
0.8
本题考查等式性质的应用，解题思路是结合等式的两条基本性质，逐一判断每个选项的方程变形是否正确，最终选出符合要求的选项。首先回忆等式的基本性质：性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，我们依据这两条性质对四个选项逐个排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$-\dfrac{1}{3}x -5=4$，根据等式性质1，两边同时加5，得$-\dfrac{1}{3}x=4+5$，选项中丢失了$x$项的负号，变形错误。
B. 对$5y -3y=9 - y$，根据等式性质1，两边同时加$y$，得$5y -3y + y=9$，选项中移项时$y$没有变号，变形错误。
C. 对$x +7=26$，根据等式性质1，两边同时减7，得$x=26-7=19$，变形正确。
D. 对$-5x=20$，根据等式性质2，两边同时除以$-5$，得$x=20÷(-5)=-4$，选项计算结果错误。
综上，只有C选项的变形正确。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题是解方程的基础题型，核心考查对等式性质的理解与应用，解题时需注意移项要变号、系数化为1时运算要准确，避免细节错误。
【难度系数】
0.8
6. 用等式的性质解下列方程：
(1)$4x - 7 = 13$；
(2)$6x = 5x + 4$。
(1)$4x - 7 = 13$；
(2)$6x = 5x + 4$。
答案
6.(1)$x=5$ (2)$x=4$
解析
【分析】
解此类方程需运用等式的两个基本性质：等式性质1为等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题思路为：首先利用等式性质1将含未知数的项和常数项分别移到等式两侧，再利用等式性质2将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$4x - 7 = 13$：
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时加7，得：
$4x - 7 + 7 = 13 + 7$
化简得$4x = 20$
第二步，根据等式的性质2，等式两边同时除以4，得：
$4x ÷ 4 = 20 ÷ 4$
解得$x = 5$
(2) 解方程$6x = 5x + 4$：
根据等式的性质1，等式两边同时减$5x$，得：
$6x - 5x = 5x + 4 - 5x$
化简得$x = 4$
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=4$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，解题时每一步变形都需符合等式性质的要求，熟练掌握该方法可快速求解简单的一元一次方程。
【难度系数】
0.85
解此类方程需运用等式的两个基本性质：等式性质1为等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题思路为：首先利用等式性质1将含未知数的项和常数项分别移到等式两侧，再利用等式性质2将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$4x - 7 = 13$：
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时加7，得：
$4x - 7 + 7 = 13 + 7$
化简得$4x = 20$
第二步，根据等式的性质2，等式两边同时除以4，得：
$4x ÷ 4 = 20 ÷ 4$
解得$x = 5$
(2) 解方程$6x = 5x + 4$：
根据等式的性质1，等式两边同时减$5x$，得：
$6x - 5x = 5x + 4 - 5x$
化简得$x = 4$
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=4$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，解题时每一步变形都需符合等式性质的要求，熟练掌握该方法可快速求解简单的一元一次方程。
【难度系数】
0.85
7. 在方程$3x - y = 2, x + 1 = 0, \frac{1}{3}x = \frac{1}{3}, 2x - 3$中一元一次方程的个数为 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元一次方程的判定条件：①必须是等式（含有等号，属于方程）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是1；④等号两边都是整式。接下来逐个判断给出的式子是否同时满足这几个条件，统计符合条件的个数即可。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
对4个式子逐一判断：
1. $3x - y = 2$：含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
2. $x + 1 = 0$：是等式，只含未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
3. $\frac{1}{3}x = \frac{1}{3}$：是等式，只含未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
4. $2x - 3$：不含等号，属于代数式，不是方程，自然不是一元一次方程。
综上，符合条件的一元一次方程共有2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握一元一次方程的几个判定要素，判断时要先确认是不是等式（即是不是方程），再看未知数的个数和次数，避免把非方程的代数式或者多未知数的方程错算在内。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆一元一次方程的判定条件：①必须是等式（含有等号，属于方程）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是1；④等号两边都是整式。接下来逐个判断给出的式子是否同时满足这几个条件，统计符合条件的个数即可。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
对4个式子逐一判断：
1. $3x - y = 2$：含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
2. $x + 1 = 0$：是等式，只含未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
3. $\frac{1}{3}x = \frac{1}{3}$：是等式，只含未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
4. $2x - 3$：不含等号，属于代数式，不是方程，自然不是一元一次方程。
综上，符合条件的一元一次方程共有2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握一元一次方程的几个判定要素，判断时要先确认是不是等式（即是不是方程），再看未知数的个数和次数，避免把非方程的代数式或者多未知数的方程错算在内。
【难度系数】
0.7
8.若$x=1$是方程$ax+2x=3$的解，则$a$的值是 （
A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先要明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=1是方程的解，我们只需把x=1代入原方程，就能把原方程转化为只含有参数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出a的值，对应选项得到答案。
【解析】
∵x=1是方程$ax+2x=3$的解
∴将x=1代入方程，可得：
$a×1 + 2×1 = 3$
整理得：$a + 2 = 3$
移项计算得：$a = 3 - 2 = 1$
因此a的值为1，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，重点考查方程解的应用，将已知解代入原方程求参数是这类问题的通用解法，计算难度低，熟练掌握方程解的概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=1是方程的解，我们只需把x=1代入原方程，就能把原方程转化为只含有参数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出a的值，对应选项得到答案。
【解析】
∵x=1是方程$ax+2x=3$的解
∴将x=1代入方程，可得：
$a×1 + 2×1 = 3$
整理得：$a + 2 = 3$
移项计算得：$a = 3 - 2 = 1$
因此a的值为1，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，重点考查方程解的应用，将已知解代入原方程求参数是这类问题的通用解法，计算难度低，熟练掌握方程解的概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
9.已知:方程$x-\frac{1}{x}=1\frac{1}{2}$的解是$x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$；
方程$x-\frac{1}{x}=2\frac{2}{3}$的解是$x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$；方程$x-\frac{1}{x}=3\frac{3}{4}$的解是$x_1=4,x_2=-\frac{1}{4}$；方程$x-\frac{1}{x}=4\frac{4}{5}$的解是$x_1=5,x_2=-\frac{1}{5}$。
类似地,请你猜想出方程$x-\frac{1}{x}=10\frac{10}{11}$的解,并进行检验。
方程$x-\frac{1}{x}=2\frac{2}{3}$的解是$x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$；方程$x-\frac{1}{x}=3\frac{3}{4}$的解是$x_1=4,x_2=-\frac{1}{4}$；方程$x-\frac{1}{x}=4\frac{4}{5}$的解是$x_1=5,x_2=-\frac{1}{5}$。
类似地,请你猜想出方程$x-\frac{1}{x}=10\frac{10}{11}$的解,并进行检验。
答案
9. 解:猜想:方程$x-\frac{1}{x}=10\frac{10}{11}$的解是$x_1=11,x_2=-\frac{1}{11}$.
检验: 当 $x=11$ 时, 左边 $=11-\frac{1}{11}=10\frac{10}{11}=$ 右边. 当
$x=-\frac{1}{11}$时, 左边 $=-\frac{1}{11}+11=10\frac{10}{11}=$ 右边.
检验: 当 $x=11$ 时, 左边 $=11-\frac{1}{11}=10\frac{10}{11}=$ 右边. 当
$x=-\frac{1}{11}$时, 左边 $=-\frac{1}{11}+11=10\frac{10}{11}=$ 右边.
解析
【分析】
首先观察已知的4组方程及其对应解的特征，寻找规律：方程右侧的带分数均可写为$n+\frac{n}{n+1}$（n为正整数）的形式，对应的正解为$n+1$，负解为$-\frac{1}{n+1}$。找到规律后，先对应目标方程的n值，猜想出解，再将两个解分别代入原方程，验证左边是否等于右边即可完成检验。
【解析】
第一步：总结规律
观察已知方程和解的对应关系：
方程$x-\frac{1}{x}=1\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}$的解为$x_1=2=1+1$，$x_2=-\frac{1}{2}$
方程$x-\frac{1}{x}=2\frac{2}{3}=2+\frac{2}{3}$的解为$x_1=3=2+1$，$x_2=-\frac{1}{3}$
方程$x-\frac{1}{x}=3\frac{3}{4}=3+\frac{3}{4}$的解为$x_1=4=3+1$，$x_2=-\frac{1}{4}$
可归纳出通用规律：若方程为$x-\frac{1}{x}=n+\frac{n}{n+1}$（n为正整数），则方程的解为$x_1=n+1$，$x_2=-\frac{1}{n+1}$。
第二步：猜想目标方程的解
目标方程为$x-\frac{1}{x}=10\frac{10}{11}=10+\frac{10}{11}$，对应n=10，因此猜想解为$x_1=10+1=11$，$x_2=-\frac{1}{11}$。
第三步：检验解的正确性
① 把$x=11$代入原方程：
左边$=11-\frac{1}{11}=10\frac{10}{11}$，和右边相等，因此$x=11$是原方程的解。
② 把$x=-\frac{1}{11}$代入原方程：
左边$=-\frac{1}{11}-\frac{1}{-\frac{1}{11}}=-\frac{1}{11}+11=10\frac{10}{11}$，和右边相等，因此$x=-\frac{1}{11}$是原方程的解。
【答案】
方程$x-\frac{1}{x}=10\frac{10}{11}$的解是$x_1=11,x_2=-\frac{1}{11}$，经检验两个解均成立。
【知识点】
规律探究；方程的解的检验
【点评】
本题是规律探究类题型，核心是通过已知示例归纳出共性规律，再迁移应用到新的问题中，同时考查了方程解的检验方法，有助于提升观察归纳和逻辑验证能力。
【难度系数】
0.8
首先观察已知的4组方程及其对应解的特征，寻找规律：方程右侧的带分数均可写为$n+\frac{n}{n+1}$（n为正整数）的形式，对应的正解为$n+1$，负解为$-\frac{1}{n+1}$。找到规律后，先对应目标方程的n值，猜想出解，再将两个解分别代入原方程，验证左边是否等于右边即可完成检验。
【解析】
第一步：总结规律
观察已知方程和解的对应关系：
方程$x-\frac{1}{x}=1\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}$的解为$x_1=2=1+1$，$x_2=-\frac{1}{2}$
方程$x-\frac{1}{x}=2\frac{2}{3}=2+\frac{2}{3}$的解为$x_1=3=2+1$，$x_2=-\frac{1}{3}$
方程$x-\frac{1}{x}=3\frac{3}{4}=3+\frac{3}{4}$的解为$x_1=4=3+1$，$x_2=-\frac{1}{4}$
可归纳出通用规律：若方程为$x-\frac{1}{x}=n+\frac{n}{n+1}$（n为正整数），则方程的解为$x_1=n+1$，$x_2=-\frac{1}{n+1}$。
第二步：猜想目标方程的解
目标方程为$x-\frac{1}{x}=10\frac{10}{11}=10+\frac{10}{11}$，对应n=10，因此猜想解为$x_1=10+1=11$，$x_2=-\frac{1}{11}$。
第三步：检验解的正确性
① 把$x=11$代入原方程：
左边$=11-\frac{1}{11}=10\frac{10}{11}$，和右边相等，因此$x=11$是原方程的解。
② 把$x=-\frac{1}{11}$代入原方程：
左边$=-\frac{1}{11}-\frac{1}{-\frac{1}{11}}=-\frac{1}{11}+11=10\frac{10}{11}$，和右边相等，因此$x=-\frac{1}{11}$是原方程的解。
【答案】
方程$x-\frac{1}{x}=10\frac{10}{11}$的解是$x_1=11,x_2=-\frac{1}{11}$，经检验两个解均成立。
【知识点】
规律探究；方程的解的检验
【点评】
本题是规律探究类题型，核心是通过已知示例归纳出共性规律，再迁移应用到新的问题中，同时考查了方程解的检验方法，有助于提升观察归纳和逻辑验证能力。
【难度系数】
0.8
