8. 如图,点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动),∠AON=45°.当∠A=时,△AOP为等腰三角形.

8. $45°$ 或 $67.5°$ 或 $90°$

9.如图,下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（）

A.∠B=∠C
B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
C.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD
D.AD⊥BC,BD=CD

9.C

10. 将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠.若$AE=3,AB=4,BE=5$,则重叠部分的面积为（）

A.6
B.8
C.10
D.12

第10题图 第11题图

10.C

11.【原创题】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的点M处，它以40海里/h的速度向正北方向航行，2h后到达位于灯塔P的北偏东$40°$方向的点N处，则点N处与灯塔P的距离为海里。

11.80

12.在一次数学课上，王老师在屏幕上出示了一道例题：
如图，在$△ ABC$中，D，E分别是AB，AC边上的点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①$∠ DBO=∠ ECO$；②$∠ BDO=∠ CEO$；③$BD=CE$；④$OB=OC$。
(1)要求同学从这四个条件中选出两个作为已知条件，用来判定$△ ABC$是等腰三角形。
请你在横线上用序号写出所有情形：
；
(2)选择(1)中的一种情形，写出证明过程。

12. (1) ①③，①④，②③，②④
(2) 解: 以①④为条件; $\because OB=OC, \therefore ∠ OBC = ∠ OCB, \because ∠ DBO = ∠ ECO, \therefore ∠ DBO + ∠ OBC = ∠ ECO + ∠ OCB$, 即 $∠ DBC = ∠ ECB, \therefore AC=AB$, 即 $△ ABC$ 是等腰三角形.(答案不唯一)

13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点$P$是线段$AC$上一点，过点$A$作$AB$的垂线，交$BP$的延长线于点$M$，$MN ⊥ AC$于点$N$，$PQ ⊥ AB$于点$Q$，$AQ=MN$. 求证：
(1)$△ APM$是等腰三角形；
(2)$PC=AN$.

13. (1) 证明: $\because BA ⊥ AM, MN ⊥ AC, \therefore ∠ BAM = ∠ ANM = 90°, \therefore ∠ PAQ + ∠ MAN = ∠ MAN + ∠ AMN = 90°, \therefore ∠ PAQ = ∠ AMN. \because PQ ⊥ AB, MN ⊥ AC, \therefore ∠ PQA = ∠ ANM = 90°$. 在 $△ PQA$ 和 $△ ANM$ 中, $\begin{cases} ∠ PAQ = ∠ AMN, \\ AQ=MN, \\ ∠ PQA = ∠ ANM, \end{cases} \therefore △ PQA ≌ △ ANM (\mathrm{ASA}), \therefore AP=MA, \therefore △ APM$ 是等腰三角形.
(2) 由(1)知 $△ PQA ≌ △ ANM, \therefore PQ=AN, AP=MA, \therefore ∠ AMB = ∠ APM. \because ∠ APM = ∠ BPC, ∠ BPC + ∠ PBC = 90°, ∠ AMB + ∠ ABM = 90°, \therefore ∠ ABM = ∠ PBC. \because PQ ⊥ AB, PC ⊥ BC, \therefore PQ=PC, \therefore PC=AN.$