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10. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC关于垂直于y轴于点C(0,1)的直线对称.已知点A的坐标是(4,4),则点B的坐标是 (
A.(4,2)
B.(2,-4)
C.(4,-2)
D.(-2,-4)
C
)A.(4,2)
B.(2,-4)
C.(4,-2)
D.(-2,-4)
答案
C 根据题意可得点$A$和点$B$是关于直线$y = 1$对称的对应点,它们到直线$y = 1$的距离都是3,$\therefore$ 点$B$的坐标是$(4,-2)$.
解析
【分析】
解题时首先根据题意确定对称轴：垂直于y轴的直线为水平线，结合过点C(0,1)可得对称轴是直线$ y=1 $。再回忆关于平行于x轴的直线对称的点的坐标特征：对称两点横坐标相等，纵坐标到对称轴的距离相等。已知点A的坐标，先计算点A到对称轴的距离，再根据对称关系求出点B的纵坐标，横坐标与点A相同，即可得到点B的坐标。
【解析】
解：1. 确定对称轴：
∵ 对称轴垂直于y轴，且经过点$ C(0,1) $，
∴ 该对称轴为平行于x轴的直线，解析式为$ y=1 $。
2. 计算点B的坐标：
关于直线$ y=1 $对称的两个点，横坐标相等，且两点纵坐标的平均值等于1，即$ x_B=x_A $，$ \frac{y_A+y_B}{2}=1 $。
已知点A坐标为$ (4,4) $，因此$ x_B=4 $，代入纵坐标关系式：
$ \frac{4+y_B}{2}=1 $，
解得$ y_B=2-4=-2 $。
∴ 点B的坐标为$ (4,-2) $。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 水平线解析式确定
【点评】
本题是轴对称与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是先准确确定对称轴，再利用对称点的坐标规律计算即可，掌握不同对称方式下的坐标变化规律是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题意确定对称轴：垂直于y轴的直线为水平线，结合过点C(0,1)可得对称轴是直线$ y=1 $。再回忆关于平行于x轴的直线对称的点的坐标特征：对称两点横坐标相等，纵坐标到对称轴的距离相等。已知点A的坐标，先计算点A到对称轴的距离，再根据对称关系求出点B的纵坐标，横坐标与点A相同，即可得到点B的坐标。
【解析】
解：1. 确定对称轴：
∵ 对称轴垂直于y轴，且经过点$ C(0,1) $，
∴ 该对称轴为平行于x轴的直线，解析式为$ y=1 $。
2. 计算点B的坐标：
关于直线$ y=1 $对称的两个点，横坐标相等，且两点纵坐标的平均值等于1，即$ x_B=x_A $，$ \frac{y_A+y_B}{2}=1 $。
已知点A坐标为$ (4,4) $，因此$ x_B=4 $，代入纵坐标关系式：
$ \frac{4+y_B}{2}=1 $，
解得$ y_B=2-4=-2 $。
∴ 点B的坐标为$ (4,-2) $。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 水平线解析式确定
【点评】
本题是轴对称与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是先准确确定对称轴，再利用对称点的坐标规律计算即可，掌握不同对称方式下的坐标变化规律是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
11. [2025鞍山铁西实验学校月考]如图,在平面直角坐标系中,线段$A_1B_1$是将$△ ABC$绕点$P(3,2)$逆时针旋转一定角度后得到的$△ A_1B_1C_1$的一部分,则点$C$的对应点$C_1$的坐标是 (
A.$(-2,3)$
B.$(-3,2)$
C.$(-2,4)$
D.$(-3,3)$
A
)A.$(-2,3)$
B.$(-3,2)$
C.$(-2,4)$
D.$(-3,3)$
答案
A 如图,连接$AP,A_1P$,易得$∠ APA_1 = 90°$,$\therefore$ 旋转角为$90°$,$\therefore$ 点$C$绕点$P$逆时针旋转$90°$得到点$C_1$,点$C_1$的坐标为$(-2,3)$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。首先确定已知对应点A、A₁和旋转中心P的坐标，通过计算两点与P连线的夹角得到旋转角度，再将该旋转规律应用到点C上，即可求出C的对应点C₁的坐标。
【解析】
步骤1：确定各点坐标：由网格可得A(5,4)，A₁(1,4)，C(4,7)，已知旋转中心P(3,2)。
步骤2：求旋转角：连接AP、A₁P，向量$\overrightarrow{PA}=(5-3,4-2)=(2,2)$，向量$\overrightarrow{PA_1}=(1-3,4-2)=(-2,2)$，两个向量点积为$2×(-2)+2×2=0$，说明$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PA_1}$，结合旋转方向为逆时针，可得旋转角为90°。
步骤3：计算C₁坐标：点C绕点P逆时针旋转90°得到C₁，设C₁坐标为(x,y)，根据点绕定点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点$(x_0,y_0)$绕$(a,b)$逆时针转90°后，横坐标满足$x-a=-(y_0-b)$，纵坐标满足$y-b=x_0-a$。
代入C(4,7)、P(3,2)得：
$x-3=-(7-2)=-5$，解得$x=-2$；
$y-2=4-3=1$，解得$y=3$。
故C₁坐标为$(-2,3)$，本题选A。
【答案】
A 如图,连接$AP,A_1P$,易得$∠ APA_1 = 90°$,$\therefore$ 旋转角为$90°$,$\therefore$ 点$C$绕点$P$逆时针旋转$90°$得到点$C_1$,点$C_1$的坐标为$(-2,3)$.
【知识点】
旋转的性质；坐标与旋转变换；平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础的旋转坐标变换题，解题的关键是先通过已知对应点确定旋转角的大小，再运用旋转的坐标变换规律求解未知对应点坐标，结合网格特征也可通过数格的方式快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。首先确定已知对应点A、A₁和旋转中心P的坐标，通过计算两点与P连线的夹角得到旋转角度，再将该旋转规律应用到点C上，即可求出C的对应点C₁的坐标。
【解析】
步骤1：确定各点坐标：由网格可得A(5,4)，A₁(1,4)，C(4,7)，已知旋转中心P(3,2)。
步骤2：求旋转角：连接AP、A₁P，向量$\overrightarrow{PA}=(5-3,4-2)=(2,2)$，向量$\overrightarrow{PA_1}=(1-3,4-2)=(-2,2)$，两个向量点积为$2×(-2)+2×2=0$，说明$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PA_1}$，结合旋转方向为逆时针，可得旋转角为90°。
步骤3：计算C₁坐标：点C绕点P逆时针旋转90°得到C₁，设C₁坐标为(x,y)，根据点绕定点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点$(x_0,y_0)$绕$(a,b)$逆时针转90°后，横坐标满足$x-a=-(y_0-b)$，纵坐标满足$y-b=x_0-a$。
代入C(4,7)、P(3,2)得：
$x-3=-(7-2)=-5$，解得$x=-2$；
$y-2=4-3=1$，解得$y=3$。
故C₁坐标为$(-2,3)$，本题选A。
【答案】
A 如图,连接$AP,A_1P$,易得$∠ APA_1 = 90°$,$\therefore$ 旋转角为$90°$,$\therefore$ 点$C$绕点$P$逆时针旋转$90°$得到点$C_1$,点$C_1$的坐标为$(-2,3)$.
【知识点】
旋转的性质；坐标与旋转变换；平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础的旋转坐标变换题，解题的关键是先通过已知对应点确定旋转角的大小，再运用旋转的坐标变换规律求解未知对应点坐标，结合网格特征也可通过数格的方式快速得到结果。
【难度系数】
0.7
12. [2025长春东北师大附中期末] 如图，矩形$OABC$与矩形$FODE$是位似图形，点$P$是位似中心. 若点$B$的坐标为$(2,3)$，点$E$的横坐标为$-1$，则点$P$的坐标为 (
A.$(-2,0)$
B.$(0,-2)$
C.$(-\dfrac{3}{2},0)$
D.$(0,-\dfrac{3}{2})$
A
)A.$(-2,0)$
B.$(0,-2)$
C.$(-\dfrac{3}{2},0)$
D.$(0,-\dfrac{3}{2})$
答案
A $\because$ 矩形$OABC$与矩形$FODE$是位似图形,且点$P$是位似中心,$\therefore DE // BC$. $\because$ 点$E$的横坐标为$-1$,点$B$的横坐标为$2$,$\therefore DE = 1$,$BC = 2$,$\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{PD}{PB} = \frac{1}{2}$. 又$\because OD // AB$,$\therefore \frac{PO}{PA} = \frac{PD}{PB} = \frac{1}{2}$,$\therefore PO = OA = 2$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-2,0)$.
解析
【分析】
解决本题首先利用位似图形的性质：位似图形对应边平行，位似比等于对应边的长度比，也等于对应点到位似中心的距离之比。第一步从已知坐标提取矩形边长：点B坐标为(2,3)，可得大矩形OABC的边BC=OA=2；点E横坐标为-1，可得小矩形FODE的边DE=1，得到两个矩形的位似比为$\frac{1}{2}$。第二步利用对应边平行得到相似三角形，建立x轴上线段PO、PA的比例关系，求解得到PO的长度，结合点P在x轴负半轴即可得到其坐标。
【解析】
解：
∵矩形OABC与矩形FODE是位似图形，点P是位似中心，
∴对应边互相平行，位似比等于对应边的比值，即$DE// BC$，$OD// AB$。
∵点B的坐标为$(2,3)$，
∴$BC=OA=2$。
∵点E的横坐标为$-1$，
∴$DE=1$，因此两个矩形的位似比$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
根据位似的性质可得$\frac{PD}{PB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
又
∵$OD// AB$，
∴$△ POD ∽ △ PAB$，
∴$\frac{PO}{PA}=\frac{PD}{PB}=\frac{1}{2}$，即$PA=2PO$。
∵$PA=PO+OA=PO+2$，代入得$PO+2=2PO$，解得$PO=2$。
∵点P在x轴的负半轴上，
∴点P的坐标为$(-2,0)$。
【答案】
A.$(-2,0)$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的判定与性质；平面直角坐标系
【点评】
本题是位似与坐标结合的典型题型，解题核心是通过位似性质得到线段比例关系，结合坐标对应的线段长度求解，需要注意坐标轴上点的坐标正负与线段长度的转换。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用位似图形的性质：位似图形对应边平行，位似比等于对应边的长度比，也等于对应点到位似中心的距离之比。第一步从已知坐标提取矩形边长：点B坐标为(2,3)，可得大矩形OABC的边BC=OA=2；点E横坐标为-1，可得小矩形FODE的边DE=1，得到两个矩形的位似比为$\frac{1}{2}$。第二步利用对应边平行得到相似三角形，建立x轴上线段PO、PA的比例关系，求解得到PO的长度，结合点P在x轴负半轴即可得到其坐标。
【解析】
解：
∵矩形OABC与矩形FODE是位似图形，点P是位似中心，
∴对应边互相平行，位似比等于对应边的比值，即$DE// BC$，$OD// AB$。
∵点B的坐标为$(2,3)$，
∴$BC=OA=2$。
∵点E的横坐标为$-1$，
∴$DE=1$，因此两个矩形的位似比$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
根据位似的性质可得$\frac{PD}{PB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
又
∵$OD// AB$，
∴$△ POD ∽ △ PAB$，
∴$\frac{PO}{PA}=\frac{PD}{PB}=\frac{1}{2}$，即$PA=2PO$。
∵$PA=PO+OA=PO+2$，代入得$PO+2=2PO$，解得$PO=2$。
∵点P在x轴的负半轴上，
∴点P的坐标为$(-2,0)$。
【答案】
A.$(-2,0)$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的判定与性质；平面直角坐标系
【点评】
本题是位似与坐标结合的典型题型，解题核心是通过位似性质得到线段比例关系，结合坐标对应的线段长度求解，需要注意坐标轴上点的坐标正负与线段长度的转换。
【难度系数】
0.7
13. ▶一题多解 如图,在$△ ABC$中,$A,B$两个顶点在$x$轴的上方,点$C$的坐标是$(-1,0)$,以点$C$为位似中心,在$x$轴的下方作$△ ABC$的位似图形$△ A'B'C$,使得$△ ABC$与$△ A'B'C$的面积之比为$4:9$.若点$B$的对应点$B'$的横坐标是$2$,则点$B$的横坐标是
-3
.答案
-3 通解 如图,过点$B,B'$分别作$BD ⊥ x$轴于点$D$,$B'E ⊥ x$轴于点$E$,则$∠ BDC = ∠ B'EC = 90°$. $\because △ ABC$的位似图形是$△ A'B'C$,$\therefore$ 点$B,C,B'$在同一条直线上,$\therefore ∠ BCD = ∠ B'CE$,$\therefore △ BCD ∽ △ B'CE$,$\therefore \frac{CD}{CE} = \frac{BC}{B'C}$. $\because △ ABC$与$△ A'B'C$的面积之比为$4:9$,$\therefore \frac{BC}{B'C} = \frac{2}{3}$,$\therefore \frac{CD}{CE} = \frac{2}{3}$. $\because$ 点$B'$的横坐标是$2$,点$C$的坐标是$(-1,0)$,$\therefore CE = 3$,$\therefore CD = \frac{2}{3} × 3 = 2$,$\therefore OD = 3$,$\therefore$ 点$B$的横坐标是$-3$.
优解 根据题意可得$△ ABC ∽ △ A'B'C$. 设$△ ABC$与$△ A'B'C$的相似比为$k$,则$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C}} = k^2 = \frac{4}{9}$,$\therefore k = \frac{2}{3}$. 设点$B$的横坐标为$m$,则$k = \frac{-1 - m}{2 - (-1)} = \frac{2}{3}$,$\therefore m = -3$.
解析
【分析】
解题可从位似图形的性质入手：首先位似图形是特殊的相似图形，面积比等于相似比的平方，我们可先由面积比$4:9$算出两个三角形的相似比为$2:3$。其次位似中心是点$C(-1,0)$，点$B$、$C$、$B'$共线，水平方向上$C$到$B$、$C$到$B'$的距离之比等于相似比。可以通过设点$B$的横坐标为$m$，结合水平距离的比例关系列方程求解；也可以作$x$轴的垂线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例计算点$B$的横坐标。
【解析】
方法1（优解）：
由位似的性质可知$△ ABC ∽ △ A'B'C$，设两个三角形的相似比为$k$。
$\because$ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C}}=\frac{4}{9}$，
$\therefore k^2=\frac{4}{9}$，结合位似图形的位置得相似比$k=\frac{2}{3}$。
设点$B$的横坐标为$m$，已知位似中心$C$的坐标为$(-1,0)$，点$B'$的横坐标为$2$，
则点$C$到点$B$的水平距离为$-1 - m$，点$C$到点$B'$的水平距离为$2 - (-1)=3$，
由相似比可得$\frac{-1 - m}{3}=\frac{2}{3}$，
解得$m=-3$。
方法2（通解）：
过点$B,B'$分别作$BD ⊥ x$轴于点$D$，$B'E ⊥ x$轴于点$E$，则$∠ BDC = ∠ B'EC = 90°$。
$\because △ A'B'C$是$△ ABC$以$C$为位似中心的位似图形，
$\therefore$ 点$B,C,B'$共线，$∠ BCD = ∠ B'CE$，
$\therefore △ BCD ∽ △ B'CE$，可得$\frac{CD}{CE}=\frac{BC}{B'C}$。
$\because \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C}}=\frac{4}{9}$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
$\therefore \frac{BC}{B'C}=\frac{2}{3}$，即$\frac{CD}{CE}=\frac{2}{3}$。
$\because$ 点$C$坐标为$(-1,0)$，点$B'$横坐标为$2$，
$\therefore CE=2 - (-1)=3$，则$CD=\frac{2}{3} × 3=2$，
$\therefore$ 点$D$的横坐标为$-1 - 2=-3$，即点$B$的横坐标为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形的性质、坐标与图形
【点评】
本题考查位似与相似的综合应用，解题核心是先通过面积比推导相似比，再结合位似中心的坐标，利用水平距离的比例关系求解，两种解题方法分别体现了代数法和几何法的思路，能够帮助学生巩固位似、相似的相关知识。
【难度系数】
0.7
解题可从位似图形的性质入手：首先位似图形是特殊的相似图形，面积比等于相似比的平方，我们可先由面积比$4:9$算出两个三角形的相似比为$2:3$。其次位似中心是点$C(-1,0)$，点$B$、$C$、$B'$共线，水平方向上$C$到$B$、$C$到$B'$的距离之比等于相似比。可以通过设点$B$的横坐标为$m$，结合水平距离的比例关系列方程求解；也可以作$x$轴的垂线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例计算点$B$的横坐标。
【解析】
方法1（优解）：
由位似的性质可知$△ ABC ∽ △ A'B'C$，设两个三角形的相似比为$k$。
$\because$ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C}}=\frac{4}{9}$，
$\therefore k^2=\frac{4}{9}$，结合位似图形的位置得相似比$k=\frac{2}{3}$。
设点$B$的横坐标为$m$，已知位似中心$C$的坐标为$(-1,0)$，点$B'$的横坐标为$2$，
则点$C$到点$B$的水平距离为$-1 - m$，点$C$到点$B'$的水平距离为$2 - (-1)=3$，
由相似比可得$\frac{-1 - m}{3}=\frac{2}{3}$，
解得$m=-3$。
方法2（通解）：
过点$B,B'$分别作$BD ⊥ x$轴于点$D$，$B'E ⊥ x$轴于点$E$，则$∠ BDC = ∠ B'EC = 90°$。
$\because △ A'B'C$是$△ ABC$以$C$为位似中心的位似图形，
$\therefore$ 点$B,C,B'$共线，$∠ BCD = ∠ B'CE$，
$\therefore △ BCD ∽ △ B'CE$，可得$\frac{CD}{CE}=\frac{BC}{B'C}$。
$\because \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C}}=\frac{4}{9}$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
$\therefore \frac{BC}{B'C}=\frac{2}{3}$，即$\frac{CD}{CE}=\frac{2}{3}$。
$\because$ 点$C$坐标为$(-1,0)$，点$B'$横坐标为$2$，
$\therefore CE=2 - (-1)=3$，则$CD=\frac{2}{3} × 3=2$，
$\therefore$ 点$D$的横坐标为$-1 - 2=-3$，即点$B$的横坐标为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形的性质、坐标与图形
【点评】
本题考查位似与相似的综合应用，解题核心是先通过面积比推导相似比，再结合位似中心的坐标，利用水平距离的比例关系求解，两种解题方法分别体现了代数法和几何法的思路，能够帮助学生巩固位似、相似的相关知识。
【难度系数】
0.7
14. 教材习题变式 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁;
(2)把△ABC各顶点横、纵坐标都乘2,画出放大后的图形△A₂B₂C₂;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,把△ABC向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,请写出变化后点D的对应点D₁的坐标.
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁;
(2)把△ABC各顶点横、纵坐标都乘2,画出放大后的图形△A₂B₂C₂;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,把△ABC向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,请写出变化后点D的对应点D₁的坐标.
答案
解:(1)如图所示,$△ A_1 B_1 C_1$即为所求.
(2)如图所示,$△ A_2 B_2 C_2$即为所求.
(3)变化后点$D$的对应点$D_1$的坐标为$(a + 3,b - 2)$.
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数，据此求出A、B、C三点的对称点坐标，再顺次连接各点即可。
(2) 要画出放大后的△A₂B₂C₂，只需将A、B、C三点的横、纵坐标分别乘以2，得到三个对应点的坐标，再顺次连接各点即可。
(3) 求平移后点的坐标，依据平移的坐标变化规律：向右平移时横坐标加平移距离，向下平移时纵坐标减平移距离，代入点D的坐标就能得到对应点D₁的坐标。
【解析】
(1) 先计算对称点坐标：点A(-2,1)关于y轴对称的点A₁坐标为(2,1)，点B(-1,4)关于y轴对称的点B₁坐标为(1,4)，点C(-3,2)关于y轴对称的点C₁坐标为(3,2)，在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 计算放大后点的坐标：将A(-2,1)的横、纵坐标都乘2得A₂(-4,2)，将B(-1,4)的横、纵坐标都乘2得B₂(-2,8)，将C(-3,2)的横、纵坐标都乘2得C₂(-6,4)，在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 根据平移的坐标变化规律：图形向右平移3个单位长度，所有点的横坐标加3；向下平移2个单位长度，所有点的纵坐标减2。已知点D(a,b)在线段AB上，因此平移后点D的对应点D₁的坐标为$(a+3,b-2)$。
【答案】
(1)如图所示,$△ A_1 B_1 C_1$即为所求.
(2)如图所示,$△ A_2 B_2 C_2$即为所求.
(3)变化后点$D$的对应点$D_1$的坐标为$(a + 3,b - 2)$.
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，坐标与平移变换，坐标与位似变换
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中图形的变换设置问题，考查了不同变换对应的坐标变化规则，解题的关键是熟练掌握对称、平移、缩放的坐标变化规律。
【难度系数】
0.8
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数，据此求出A、B、C三点的对称点坐标，再顺次连接各点即可。
(2) 要画出放大后的△A₂B₂C₂，只需将A、B、C三点的横、纵坐标分别乘以2，得到三个对应点的坐标，再顺次连接各点即可。
(3) 求平移后点的坐标，依据平移的坐标变化规律：向右平移时横坐标加平移距离，向下平移时纵坐标减平移距离，代入点D的坐标就能得到对应点D₁的坐标。
【解析】
(1) 先计算对称点坐标：点A(-2,1)关于y轴对称的点A₁坐标为(2,1)，点B(-1,4)关于y轴对称的点B₁坐标为(1,4)，点C(-3,2)关于y轴对称的点C₁坐标为(3,2)，在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 计算放大后点的坐标：将A(-2,1)的横、纵坐标都乘2得A₂(-4,2)，将B(-1,4)的横、纵坐标都乘2得B₂(-2,8)，将C(-3,2)的横、纵坐标都乘2得C₂(-6,4)，在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 根据平移的坐标变化规律：图形向右平移3个单位长度，所有点的横坐标加3；向下平移2个单位长度，所有点的纵坐标减2。已知点D(a,b)在线段AB上，因此平移后点D的对应点D₁的坐标为$(a+3,b-2)$。
【答案】
(1)如图所示,$△ A_1 B_1 C_1$即为所求.
(2)如图所示,$△ A_2 B_2 C_2$即为所求.
(3)变化后点$D$的对应点$D_1$的坐标为$(a + 3,b - 2)$.
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，坐标与平移变换，坐标与位似变换
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中图形的变换设置问题，考查了不同变换对应的坐标变化规则，解题的关键是熟练掌握对称、平移、缩放的坐标变化规律。
【难度系数】
0.8
15. 推理能力 [2026 沈阳第一二六中学期末]如图,在平面直角坐标系中,正方形$A_1B_1C_1A_2$与正方形$A_2B_2C_2A_3$是以原点$O$为位似中心的位似图形,相似比为$\frac{1}{2}$.点$A_1,A_2,A_3···$在$x$轴上,延长$A_3C_2$交射线$OB_1$于点$B_3$,以$A_3B_3$为边作正方形$A_3B_3C_3A_4$…….分别连接$B_1C_2$,$B_2C_3···$得到$△ B_1B_2C_2$,$△ B_2B_3C_3···$.按照此规律,若$OA_1=2$,则$△ B_{2025}B_{2026}C_{2026}$的面积为
$4^{2025}$
.答案
$4^{2025}$ $\because$ 正方形$A_1 B_1 C_1 A_2$与正方形$A_2 B_2 C_2 A_3$是以原点$O$为位似中心的位似图形,相似比为$\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{A_1 B_1}{A_2 B_2} = \frac{1}{2}$.
$\because A_1 B_1 // A_2 B_2$,$\therefore △ OA_1 B_1 ∽ △ OA_2 B_2$,$\therefore \frac{OA_1}{OA_2} = \frac{A_1 B_1}{A_2 B_2} = \frac{1}{2}$.
$\because OA_1 = 2$,$OA_2 = 4$,$\therefore A_1 A_2 = A_2 C_1 = 2$,$A_2 A_3 = A_3 C_2 = 4$,$A_3 A_4 = A_4 C_3 = 8$,$···$,$\therefore S_{△ B_1 B_2 C_2} = S_{△ B_2 C_1 C_2} = \frac{1}{4} S_{\mathrm{正方形} A_2 B_2 C_2 A_3} = \frac{1}{4} × 16 = 4^1$($△ B_1 B_2 C_2$与$△ B_2 C_1 C_2$同底等高),$S_{△ B_2 B_3 C_3} = S_{△ B_3 C_2 C_3} = \frac{1}{4} S_{\mathrm{正方形} A_3 B_3 C_3 A_4} = \frac{1}{4} × 64 = 4^2$. 同理可得,$S_{△ B_3 B_4 C_4} = 4^3$,$···$ ,$\therefore S_{△ B_{2025} B_{2026} C_{2026}} = 4^{2025}$.
解析
【分析】
解决本题首先从位似图形的性质入手，先根据给定的相似比得到对应正方形的边长比，结合OA₁的长度依次求出前几个正方形的边长；再利用“同底等高的三角形面积相等”，将所求三角形的面积转化为对应正方形面积的四分之一，计算前几个三角形的面积后总结出通用规律，最后代入序号即可求出结果。
【解析】
∵ 正方形$A_1 B_1 C_1 A_2$与正方形$A_2 B_2 C_2 A_3$是以原点$O$为位似中心的位似图形，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{A_1 B_1}{A_2 B_2} = \frac{1}{2}$。
∵ $A_1 B_1 // A_2 B_2$，
∴ $△ OA_1 B_1 ∽ △ OA_2 B_2$，
∴ $\frac{OA_1}{OA_2} = \frac{A_1 B_1}{A_2 B_2} = \frac{1}{2}$。
已知$OA_1=2$，则$OA_2=4$，
由此可得：$A_1 A_2 = A_2 C_1 = 2$，$A_2 A_3 = A_3 C_2 = 4$，$A_3 A_4 = A_4 C_3 = 8$，……
$△ B_1 B_2 C_2$与$△ B_2 C_1 C_2$同底等高，面积相等，
$S_{△ B_1 B_2 C_2} = S_{△ B_2 C_1 C_2} = \frac{1}{4} S_{\mathrm{正方形} A_2 B_2 C_2 A_3} = \frac{1}{4} × 4^2 = 4^1$，
同理可得$S_{△ B_2 B_3 C_3} = \frac{1}{4} S_{\mathrm{正方形} A_3 B_3 C_3 A_4} = \frac{1}{4} × 8^2 = 4^2$，
$S_{△ B_3 B_4 C_4} = 4^3$，……
可总结规律：$S_{△ B_n B_{n+1} C_{n+1}} = 4^n$，
当$n=2025$时，$S_{△ B_{2025} B_{2026} C_{2026}} = 4^{2025}$。
【答案】
$4^{2025}$
【知识点】
位似图形性质，相似三角形性质，图形规律探究
【点评】
本题结合位似、相似三角形与规律探究考查，解题核心是通过前几个图形的面积归纳出通用规律，对学生的逻辑推理、归纳总结能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解决本题首先从位似图形的性质入手，先根据给定的相似比得到对应正方形的边长比，结合OA₁的长度依次求出前几个正方形的边长；再利用“同底等高的三角形面积相等”，将所求三角形的面积转化为对应正方形面积的四分之一，计算前几个三角形的面积后总结出通用规律，最后代入序号即可求出结果。
【解析】
∵ 正方形$A_1 B_1 C_1 A_2$与正方形$A_2 B_2 C_2 A_3$是以原点$O$为位似中心的位似图形，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{A_1 B_1}{A_2 B_2} = \frac{1}{2}$。
∵ $A_1 B_1 // A_2 B_2$，
∴ $△ OA_1 B_1 ∽ △ OA_2 B_2$，
∴ $\frac{OA_1}{OA_2} = \frac{A_1 B_1}{A_2 B_2} = \frac{1}{2}$。
已知$OA_1=2$，则$OA_2=4$，
由此可得：$A_1 A_2 = A_2 C_1 = 2$，$A_2 A_3 = A_3 C_2 = 4$，$A_3 A_4 = A_4 C_3 = 8$，……
$△ B_1 B_2 C_2$与$△ B_2 C_1 C_2$同底等高，面积相等，
$S_{△ B_1 B_2 C_2} = S_{△ B_2 C_1 C_2} = \frac{1}{4} S_{\mathrm{正方形} A_2 B_2 C_2 A_3} = \frac{1}{4} × 4^2 = 4^1$，
同理可得$S_{△ B_2 B_3 C_3} = \frac{1}{4} S_{\mathrm{正方形} A_3 B_3 C_3 A_4} = \frac{1}{4} × 8^2 = 4^2$，
$S_{△ B_3 B_4 C_4} = 4^3$，……
可总结规律：$S_{△ B_n B_{n+1} C_{n+1}} = 4^n$，
当$n=2025$时，$S_{△ B_{2025} B_{2026} C_{2026}} = 4^{2025}$。
【答案】
$4^{2025}$
【知识点】
位似图形性质，相似三角形性质，图形规律探究
【点评】
本题结合位似、相似三角形与规律探究考查，解题核心是通过前几个图形的面积归纳出通用规律，对学生的逻辑推理、归纳总结能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
