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一、选择题
名师微课
1.若二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像在坐标系中的位置如图所示，则函数$y=cx^2+bx+a$的图像可能为（
名师微课
1.若二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像在坐标系中的位置如图所示，则函数$y=cx^2+bx+a$的图像可能为（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
首先从已知的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像入手，依次提取系数$a、b、c$的符号、判别式的符号信息，再根据这些信息推导目标函数$y=cx^2+bx+a$的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、与x轴交点情况，通过排除法筛选出符合特征的选项即可。
【解析】
先分析已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的性质：
1. 图像开口向下，因此$a＜0$；
2. 对称轴在$x$轴负半轴，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＜0$，不等号两边乘负数$2a$后不等号方向改变，得$-b＞0$，因此$b＜0$；
3. 图像与$y$轴交于负半轴，$x=0$时$y=c$，因此$c＜0$；
4. 图像与$x$轴无交点，因此判别式$\Delta_1=b^2-4ac＜0$。
再分析目标函数$y=cx^2+bx+a$的性质：
① 二次项系数$c＜0$，因此开口向下，四个选项均满足；
② 对称轴为$x=-\frac{b}{2c}$，结合$b＜0、c＜0$，得$-b＞0、2c＜0$，因此$x=-\frac{b}{2c}＜0$，即对称轴在$x$轴负半轴，排除对称轴在正半轴的B、C选项；
③ 判别式$\Delta_2=b^2-4ca=\Delta_1＜0$，因此该函数图像与$x$轴无交点，排除与$x$轴有两个交点的A选项；
④ D选项开口向下、对称轴在负半轴、与$x$轴无交点、与$y$轴交于负半轴（$x=0$时$y=a＜0$），完全符合推导结论。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像与性质，二次函数系数与图像的关系，二次函数判别式
【点评】
本题核心是掌握二次函数各项系数、判别式和图像特征的对应关系，通过已知图像提取参数信息后推导目标函数特征，用排除法可以快速锁定答案。
【难度系数】
0.7
首先从已知的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像入手，依次提取系数$a、b、c$的符号、判别式的符号信息，再根据这些信息推导目标函数$y=cx^2+bx+a$的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、与x轴交点情况，通过排除法筛选出符合特征的选项即可。
【解析】
先分析已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的性质：
1. 图像开口向下，因此$a＜0$；
2. 对称轴在$x$轴负半轴，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＜0$，不等号两边乘负数$2a$后不等号方向改变，得$-b＞0$，因此$b＜0$；
3. 图像与$y$轴交于负半轴，$x=0$时$y=c$，因此$c＜0$；
4. 图像与$x$轴无交点，因此判别式$\Delta_1=b^2-4ac＜0$。
再分析目标函数$y=cx^2+bx+a$的性质：
① 二次项系数$c＜0$，因此开口向下，四个选项均满足；
② 对称轴为$x=-\frac{b}{2c}$，结合$b＜0、c＜0$，得$-b＞0、2c＜0$，因此$x=-\frac{b}{2c}＜0$，即对称轴在$x$轴负半轴，排除对称轴在正半轴的B、C选项；
③ 判别式$\Delta_2=b^2-4ca=\Delta_1＜0$，因此该函数图像与$x$轴无交点，排除与$x$轴有两个交点的A选项；
④ D选项开口向下、对称轴在负半轴、与$x$轴无交点、与$y$轴交于负半轴（$x=0$时$y=a＜0$），完全符合推导结论。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像与性质，二次函数系数与图像的关系，二次函数判别式
【点评】
本题核心是掌握二次函数各项系数、判别式和图像特征的对应关系，通过已知图像提取参数信息后推导目标函数特征，用排除法可以快速锁定答案。
【难度系数】
0.7
2. 在平面直角坐标系中，点$(2,m)$、$(3,n)$在抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$上，抛物线的对称轴是直线$x=t$，若$m＜n＜c$，则$t$的取值范围是（
A.$t＞\frac{5}{2}$
B.$\frac{3}{2}＜t＜\frac{5}{2}$
C.$1＜t＜3$
D.$\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$
B
）A.$t＞\frac{5}{2}$
B.$\frac{3}{2}＜t＜\frac{5}{2}$
C.$1＜t＜3$
D.$\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$
答案
2.B
解析
【分析】
首先回忆二次函数的核心性质：当a＞0时抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越小。已知c是x=0时的函数值，因此题设m＜n＜c等价于y(2)＜y(3)＜y(0)，结合开口向上的性质，可将函数值的大小关系转化为三个点到对称轴x=t的距离不等式，解不等式即可得到t的取值范围。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$中$a＞0$，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴$x=t$的水平距离越小，对应的函数值越小。
当$x=0$时，$y=c$，因此题设$m＜n＜c$等价于$y(2)＜y(3)＜y(0)$，
根据开口向上的性质可得：$|2-t| ＜ |3-t| ＜ |t|$
① 解$|2-t| ＜ |3-t|$：
两边同时平方（非负实数平方后不等号方向不变）得：
$(2-t)^2 ＜ (3-t)^2$
展开得$4-4t+t^2 ＜ 9-6t+t^2$
化简得$2t ＜ 5$，即$t ＜ \frac{5}{2}$
② 解$|3-t| ＜ |t|$：
两边同时平方得：
$(3-t)^2 ＜ t^2$
展开得$9-6t+t^2 ＜ t^2$
化简得$6t＞9$，即$t ＞ \frac{3}{2}$
综上，$t$的取值范围是$\frac{3}{2}＜t＜\frac{5}{2}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质、绝对值不等式求解
【点评】
本题将二次函数的函数值大小关系与点到对称轴的距离相结合，需要学生熟练掌握开口向上的二次函数的函数值变化规律，同时会利用平方的方法解简单的绝对值不等式，是二次函数性质的典型变形应用题。
【难度系数】
0.6
首先回忆二次函数的核心性质：当a＞0时抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越小。已知c是x=0时的函数值，因此题设m＜n＜c等价于y(2)＜y(3)＜y(0)，结合开口向上的性质，可将函数值的大小关系转化为三个点到对称轴x=t的距离不等式，解不等式即可得到t的取值范围。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$中$a＞0$，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴$x=t$的水平距离越小，对应的函数值越小。
当$x=0$时，$y=c$，因此题设$m＜n＜c$等价于$y(2)＜y(3)＜y(0)$，
根据开口向上的性质可得：$|2-t| ＜ |3-t| ＜ |t|$
① 解$|2-t| ＜ |3-t|$：
两边同时平方（非负实数平方后不等号方向不变）得：
$(2-t)^2 ＜ (3-t)^2$
展开得$4-4t+t^2 ＜ 9-6t+t^2$
化简得$2t ＜ 5$，即$t ＜ \frac{5}{2}$
② 解$|3-t| ＜ |t|$：
两边同时平方得：
$(3-t)^2 ＜ t^2$
展开得$9-6t+t^2 ＜ t^2$
化简得$6t＞9$，即$t ＞ \frac{3}{2}$
综上，$t$的取值范围是$\frac{3}{2}＜t＜\frac{5}{2}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质、绝对值不等式求解
【点评】
本题将二次函数的函数值大小关系与点到对称轴的距离相结合，需要学生熟练掌握开口向上的二次函数的函数值变化规律，同时会利用平方的方法解简单的绝对值不等式，是二次函数性质的典型变形应用题。
【难度系数】
0.6
3. 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为(4,0)，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，$CE// AB$，并与抛物线的对称轴交于点 E. 下列结论正确的是 （
A.$b^2 - 4ac ＜ 0$
B.$b ＜ 0$
C.$5a + b ＞ 0$
D.$BD + CE = 4$
D
）A.$b^2 - 4ac ＜ 0$
B.$b ＜ 0$
C.$5a + b ＞ 0$
D.$BD + CE = 4$
答案
3.D
解析
【分析】
这是二次函数图像性质的结论辨析题，解题思路如下：1. 借助抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号，可分析选项A；2. 结合抛物线开口方向、对称轴位置判断b的符号，可分析选项B；3. 利用对称轴公式推导a与b的数量关系，可分析选项C；4. 结合二次函数的对称性，分别表示出BD、CE的长度再求和，可分析选项D。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 选项A：抛物线与x轴交于A、B两个不同的点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，A错误。
2. 选项B：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，仅已知对称轴在x轴正半轴，但抛物线开口方向不确定：若$a＞0$（开口向上），可推得$b＜0$；若$a＜0$（开口向下），可推得$b＞0$，因此b的符号无法确定，B错误。
3. 选项C：设对称轴为直线$x=h$，由对称轴公式得$h=-\frac{b}{2a}$，即$b=-2ah$，则$5a+b=a(5-2h)$，由于h的具体值和a的符号均不确定，无法判断$5a+b$的符号，C错误。
4. 选项D：A、B关于抛物线的对称轴对称，设B点坐标为$(x,0)$，则对称轴为$x=\frac{x+4}{2}$，即D点横坐标为$\frac{x+4}{2}$。
BD长度：D在B右侧，$BD=\frac{x+4}{2}-x=\frac{4-x}{2}$；
CE长度：$CE// AB$（x轴），C点横坐标为0，E点在对称轴上，横坐标为$\frac{x+4}{2}$，因此$CE=\frac{x+4}{2}-0=\frac{x+4}{2}$。
因此$BD+CE=\frac{4-x}{2}+\frac{x+4}{2}=4$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题围绕二次函数核心性质命题，需要熟练掌握判别式、系数符号判断、对称性等知识点，其中利用对称性表示线段长度是解题的关键。
【难度系数】
0.65
这是二次函数图像性质的结论辨析题，解题思路如下：1. 借助抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号，可分析选项A；2. 结合抛物线开口方向、对称轴位置判断b的符号，可分析选项B；3. 利用对称轴公式推导a与b的数量关系，可分析选项C；4. 结合二次函数的对称性，分别表示出BD、CE的长度再求和，可分析选项D。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 选项A：抛物线与x轴交于A、B两个不同的点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，A错误。
2. 选项B：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，仅已知对称轴在x轴正半轴，但抛物线开口方向不确定：若$a＞0$（开口向上），可推得$b＜0$；若$a＜0$（开口向下），可推得$b＞0$，因此b的符号无法确定，B错误。
3. 选项C：设对称轴为直线$x=h$，由对称轴公式得$h=-\frac{b}{2a}$，即$b=-2ah$，则$5a+b=a(5-2h)$，由于h的具体值和a的符号均不确定，无法判断$5a+b$的符号，C错误。
4. 选项D：A、B关于抛物线的对称轴对称，设B点坐标为$(x,0)$，则对称轴为$x=\frac{x+4}{2}$，即D点横坐标为$\frac{x+4}{2}$。
BD长度：D在B右侧，$BD=\frac{x+4}{2}-x=\frac{4-x}{2}$；
CE长度：$CE// AB$（x轴），C点横坐标为0，E点在对称轴上，横坐标为$\frac{x+4}{2}$，因此$CE=\frac{x+4}{2}-0=\frac{x+4}{2}$。
因此$BD+CE=\frac{4-x}{2}+\frac{x+4}{2}=4$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题围绕二次函数核心性质命题，需要熟练掌握判别式、系数符号判断、对称性等知识点，其中利用对称性表示线段长度是解题的关键。
【难度系数】
0.65
4 在平面直角坐标系中，对图形$ F $给出如下定义：若图形$ F $上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形$ ABCD $的坐标角度是$ 90° $。现将二次函数$ y=ax^2(1≤ a≤3) $的图像在直线$ y=1 $下方的部分沿直线$ y=1 $向上翻折，则所得图形的坐标角度$ α $的取值范围是（
A.$ 30°≤α≤60° $
B.$ 60°≤α≤90° $
C.$ 90°≤α≤120° $
D.$ 120°≤α≤150° $
B
）A.$ 30°≤α≤60° $
B.$ 60°≤α≤90° $
C.$ 90°≤α≤120° $
D.$ 120°≤α≤150° $
答案
4.B 解析:当 $a=1$ 时,如图 1,
∵角的两边分别过点 $A(-1,1)$、$B(1,1)$,作 $BE⊥ x$ 轴于 $E$,
∴$BE=OE$,
∴$∠ BOE=45°$,
根据对称性可知 $∠ AOB=90°$,
∴此时坐标角度 $α=90°$;
当 $a=3$ 时,如图 2,
角的两边分别过点 $A(-\frac{\sqrt{3}}{3},1)$、$B(\frac{\sqrt{3}}{3},1)$,作$BF⊥ x$ 轴于 $F$,$\because\tan∠ BOF=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\therefore∠ BOF=60°$,
根据对称性可知 $∠ AOB=60°$,
∴此时坐标角度 $α=60°$.$\therefore 60°≤α≤90°$. 故选 B.
解析
【分析】
首先理解坐标角度的定义：顶点在原点，且能完全包含图形的所有角中，度数最小的角即为图形的坐标角度。分析翻折后的图形可知，原二次函数与直线y=1的两个交点是翻折后图形的最外侧边界点，因此最小角的两边必然经过这两个交点。由于a的取值范围是1≤a≤3，我们只需计算a取端点1和3时对应的坐标角度，即可得到α的取值范围。
【解析】
①当a=1时，二次函数解析式为$y=x^2$，
令$y=1$，得$x^2=1$，解得$x=\pm1$，即交点$A(-1,1)$、$B(1,1)$。
过点$B$作$BE⊥ x$轴于$E$，则$OE=BE=1$，因此$∠ BOE=45°$，
由对称性可知$∠ AOE=45°$，故此时坐标角度$α=∠ AOB=45°+45°=90°$；
②当a=3时，二次函数解析式为$y=3x^2$，
令$y=1$，得$3x^2=1$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，即交点$A(-\frac{\sqrt{3}}{3},1)$、$B(\frac{\sqrt{3}}{3},1)$。
过点$B$作$BF⊥ x$轴于$F$，则$OF=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$BF=1$，
$\tan∠ BOF=\frac{BF}{OF}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，因此$∠ BOF=60°$，
由对称性可知$∠ AOF=60°$，故此时坐标角度$α=∠ AOB=180°-60°×2=60°$。
综上，所得图形的坐标角度$α$的取值范围是$60°≤α≤90°$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，翻折变换，解直角三角形
【点评】
本题是新定义类综合题，结合了二次函数图像翻折、锐角三角函数求角度的相关知识，解题核心是准确理解新定义的含义，找到a取临界值时的边界情况求解，侧重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先理解坐标角度的定义：顶点在原点，且能完全包含图形的所有角中，度数最小的角即为图形的坐标角度。分析翻折后的图形可知，原二次函数与直线y=1的两个交点是翻折后图形的最外侧边界点，因此最小角的两边必然经过这两个交点。由于a的取值范围是1≤a≤3，我们只需计算a取端点1和3时对应的坐标角度，即可得到α的取值范围。
【解析】
①当a=1时，二次函数解析式为$y=x^2$，
令$y=1$，得$x^2=1$，解得$x=\pm1$，即交点$A(-1,1)$、$B(1,1)$。
过点$B$作$BE⊥ x$轴于$E$，则$OE=BE=1$，因此$∠ BOE=45°$，
由对称性可知$∠ AOE=45°$，故此时坐标角度$α=∠ AOB=45°+45°=90°$；
②当a=3时，二次函数解析式为$y=3x^2$，
令$y=1$，得$3x^2=1$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，即交点$A(-\frac{\sqrt{3}}{3},1)$、$B(\frac{\sqrt{3}}{3},1)$。
过点$B$作$BF⊥ x$轴于$F$，则$OF=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$BF=1$，
$\tan∠ BOF=\frac{BF}{OF}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，因此$∠ BOF=60°$，
由对称性可知$∠ AOF=60°$，故此时坐标角度$α=∠ AOB=180°-60°×2=60°$。
综上，所得图形的坐标角度$α$的取值范围是$60°≤α≤90°$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，翻折变换，解直角三角形
【点评】
本题是新定义类综合题，结合了二次函数图像翻折、锐角三角函数求角度的相关知识，解题核心是准确理解新定义的含义，找到a取临界值时的边界情况求解，侧重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
5. 如图，抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 的图像交 $ x $ 轴于点 $ A(-2,0) $ 和点 $ B $，交 $ y $ 轴负半轴于点 $ C $，且 $ OB=OC $。下列结论：① $ 2b - c = 2 $；② $ a = \frac{1}{2} $；③ $ ac = b - 1 $；④ $ \frac{a + b}{c} ＞ 0 $。其中正确的序号有
①②③
。答案
5.①②③
解析
【分析】
首先根据抛物线与坐标轴交点的特征确定点C坐标，结合OB=OC推出点B的坐标；再利用抛物线过点A、B的条件，结合代入法或韦达定理推导a、b、c之间的数量关系，逐个判断4个结论是否正确。
【解析】
1. 确定各点坐标：
抛物线$y=ax^2+bx+c$交y轴于点C，故$C(0,c)$，又C在y轴负半轴，因此$c＜0$，$OC=|c|=-c$。
由$OB=OC$得$OB=-c$，结合A(-2,0)是x轴左交点，可知B在x轴正半轴，故$B(-c,0)$。
2. 推导系数关系，判断结论：
① 由韦达定理，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=-2$、$x_2=-c$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=(-2)×(-c)=2c$。
∵$c≠0$，两边同除以c得$\frac{1}{a}=2$，解得$a=\frac{1}{2}$，故结论②正确。
② 将$B(-c,0)$代入抛物线解析式得：$a·(-c)^2 + b·(-c) + c=0$，整理得$ac^2 - bc + c=0$。
∵$c≠0$，两边同除以c得$ac - b + 1=0$，即$ac=b-1$，故结论③正确。
③ 把$a=\frac{1}{2}$代入$ac=b-1$，得$\frac{1}{2}c = b -1$，两边乘2移项得$2b - c=2$，故结论①正确。
④ 分析$\frac{a+b}{c}$的符号：已知$a=\frac{1}{2}＞0$，$c＜0$，由$2b - c=2$得$c=2b-2＜0$，解得$b＜1$。举反例：取$c=-2$，则$b=0$，此时$\frac{a+b}{c}=\frac{\frac{1}{2}+0}{-2}=-\frac{1}{4}＜0$，故结论④错误。
综上，正确的序号为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与一元二次方程；代数式化简
【点评】
本题是二次函数系数判断的典型题型，核心是利用坐标轴交点的坐标特征结合已知条件推导系数关系，解题时灵活运用代入法、韦达定理可简化推导过程，需注意二次函数与对应一元二次方程的联系应用。
【难度系数】
0.6
首先根据抛物线与坐标轴交点的特征确定点C坐标，结合OB=OC推出点B的坐标；再利用抛物线过点A、B的条件，结合代入法或韦达定理推导a、b、c之间的数量关系，逐个判断4个结论是否正确。
【解析】
1. 确定各点坐标：
抛物线$y=ax^2+bx+c$交y轴于点C，故$C(0,c)$，又C在y轴负半轴，因此$c＜0$，$OC=|c|=-c$。
由$OB=OC$得$OB=-c$，结合A(-2,0)是x轴左交点，可知B在x轴正半轴，故$B(-c,0)$。
2. 推导系数关系，判断结论：
① 由韦达定理，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=-2$、$x_2=-c$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=(-2)×(-c)=2c$。
∵$c≠0$，两边同除以c得$\frac{1}{a}=2$，解得$a=\frac{1}{2}$，故结论②正确。
② 将$B(-c,0)$代入抛物线解析式得：$a·(-c)^2 + b·(-c) + c=0$，整理得$ac^2 - bc + c=0$。
∵$c≠0$，两边同除以c得$ac - b + 1=0$，即$ac=b-1$，故结论③正确。
③ 把$a=\frac{1}{2}$代入$ac=b-1$，得$\frac{1}{2}c = b -1$，两边乘2移项得$2b - c=2$，故结论①正确。
④ 分析$\frac{a+b}{c}$的符号：已知$a=\frac{1}{2}＞0$，$c＜0$，由$2b - c=2$得$c=2b-2＜0$，解得$b＜1$。举反例：取$c=-2$，则$b=0$，此时$\frac{a+b}{c}=\frac{\frac{1}{2}+0}{-2}=-\frac{1}{4}＜0$，故结论④错误。
综上，正确的序号为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与一元二次方程；代数式化简
【点评】
本题是二次函数系数判断的典型题型，核心是利用坐标轴交点的坐标特征结合已知条件推导系数关系，解题时灵活运用代入法、韦达定理可简化推导过程，需注意二次函数与对应一元二次方程的联系应用。
【难度系数】
0.6
6. 关于x的函数$y=x^2 - |x - 3| -6x +kx +7$的图像与x轴有三个不同的公共点，则k的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
6.$\frac{2}{3}$ 解析:当 $ x-3≥ 0 $ 时, $ y_1=x^2-(x-3)-6x+kx+7=x^2+(k-7)x+10 $, 当 $ x-3≤ 0 $ 时, $ y_2=x^2+(x-3)-6x+kx+7=x^2+(k-5)x+4 $,
∴关于 $ x $ 的函数 $ y=x^2-|x-3|-6x+kx+7 $ 的图像与 $ x $ 轴有三个不同的公共点时, $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 都经过 $ (3,0) $, 如图 3,
∴$ 0=3^2+3(k-5)+4 $, 解得 $ k=\frac{2}{3} $.
解析
【分析】
首先函数含有绝对值，需先根据绝对值的性质，以x=3为分界点去绝对值，将原函数拆分为x≥3和x≤3两段的二次函数。要使函数图像与x轴有3个不同公共点，说明两段二次函数的零点总个数为3，由于两段函数在x=3处衔接，因此分界点x=3必须是两个分段函数的公共零点，其余两个零点分别位于x＜3和x＞3区间，此时总零点数为3，最后将x=3、y=0代入分段函数即可求解k的值。
【解析】
根据绝对值的性质，分两种情况化简函数：
1. 当$x-3≥0$即$x≥3$时，去绝对值得：
$y_1=x^2-(x-3)-6x+kx+7=x^2+(k-7)x+10$
2. 当$x-3≤0$即$x≤3$时，去绝对值得：
$y_2=x^2+(x-3)-6x+kx+7=x^2+(k-5)x+4$
若函数图像与x轴有3个不同公共点，则两段函数的分界点$(3,0)$必须是两个函数的公共零点（否则零点总个数为2或4，不符合题意）。
将$x=3,y=0$代入$y_2$的解析式：
$0=3^2+3(k-5)+4$
计算得：$9+3k-15+4=0$，整理得$3k-2=0$，解得$k=\frac{2}{3}$。
验证：当$k=\frac{2}{3}$时，$y_2$的零点为$x=3$和$x=\frac{4}{3}＜3$，$y_1$的零点为$x=3$和$x=\frac{10}{3}＞3$，总共有3个不同零点，符合要求。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
绝对值化简，二次函数与x轴交点，分段函数性质
【点评】
本题需要先对带绝对值的函数进行分段化简，再结合交点个数要求推断出分界点x=3是公共零点，考查了对分段函数零点分布的理解，解题关键是明确3个交点对应的零点分布特征。
【难度系数】
0.6
首先函数含有绝对值，需先根据绝对值的性质，以x=3为分界点去绝对值，将原函数拆分为x≥3和x≤3两段的二次函数。要使函数图像与x轴有3个不同公共点，说明两段二次函数的零点总个数为3，由于两段函数在x=3处衔接，因此分界点x=3必须是两个分段函数的公共零点，其余两个零点分别位于x＜3和x＞3区间，此时总零点数为3，最后将x=3、y=0代入分段函数即可求解k的值。
【解析】
根据绝对值的性质，分两种情况化简函数：
1. 当$x-3≥0$即$x≥3$时，去绝对值得：
$y_1=x^2-(x-3)-6x+kx+7=x^2+(k-7)x+10$
2. 当$x-3≤0$即$x≤3$时，去绝对值得：
$y_2=x^2+(x-3)-6x+kx+7=x^2+(k-5)x+4$
若函数图像与x轴有3个不同公共点，则两段函数的分界点$(3,0)$必须是两个函数的公共零点（否则零点总个数为2或4，不符合题意）。
将$x=3,y=0$代入$y_2$的解析式：
$0=3^2+3(k-5)+4$
计算得：$9+3k-15+4=0$，整理得$3k-2=0$，解得$k=\frac{2}{3}$。
验证：当$k=\frac{2}{3}$时，$y_2$的零点为$x=3$和$x=\frac{4}{3}＜3$，$y_1$的零点为$x=3$和$x=\frac{10}{3}＞3$，总共有3个不同零点，符合要求。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
绝对值化简，二次函数与x轴交点，分段函数性质
【点评】
本题需要先对带绝对值的函数进行分段化简，再结合交点个数要求推断出分界点x=3是公共零点，考查了对分段函数零点分布的理解，解题关键是明确3个交点对应的零点分布特征。
【难度系数】
0.6
