6 [2025浙江模拟]如图,为测量河的宽度CD,小明在河两岸C,D测得大楼AB楼顶A的仰角分别为α,β.若大楼AB的高为h,则河的宽度CD可表示为 ()

A.$(\tanα - \tanβ)h$
B.$(\sinα - \sinβ)h$
C.$\frac{h}{\tanα} - \frac{h}{\tanβ}$
D.$\frac{h}{\sinα} - \frac{h}{\sinβ}$

(第6题) (第8题)

6. C

7 在一次夏令营活动中，小亮从位于点A的营地出发，沿北偏东$60°$方向走了5 km到达B地，然后沿北偏西$30°$方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西$30°$方向，则A，C两地间的距离为（）

A.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$ km
B.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$ km
C.$5\sqrt{2}$ km
D.$5\sqrt{3}$ km

7. A

8 如图,在一笔直的海岸线$l$上有$A,B$两个观测站,$AB=2\ \mathrm{km}$,从$A$处测得船$C$在北偏东$45°$的方向,从$B$处测得船$C$在北偏东$22.5°$的方向,则船$C$离海岸线$l$的距离(即$CD$的长)为$\mathrm{km}$(结果保留根号).

8. $(2+\sqrt{2})$ 解析:在 CD 上取点 E,使$BD=DE$,连结 BE. 所以$∠ BED=∠ EBD=45°$. 易得$∠ BCE=∠ CBE=22.5°$,所以$CE=BE$. 设$BD=DE=x$ km,则$CE=BE=\sqrt{2}x$ km. 所以$AD=(2+x)\mathrm{km}$,$CD=(\sqrt{2}x +x)\mathrm{km}$. 因为$∠ CAD=45°$,$∠ CDA=90°$,所以$AD=CD$. 所以$2+x=x+\sqrt{2}x$,解得$x=\sqrt{2}$. 所以$CD=(2+\sqrt{2})\mathrm{km}$.

9[2026宁波镇海期中]综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知$CD=6\ \mathrm{m}$，$∠ DCE=30°$，点$E$，$C$，$A$在同一条水平直线上.某学习小组在观景台$C$处测得塔顶部$B$的仰角为$45°$，在观景台$D$处测得塔顶部$B$的仰角为$27°$.
（1）求观景台的高$DE$；
（2）求塔$AB$的高度（结果保留整数，参考数据：$\tan27°\approx0.5$，$\sqrt{3}\approx1.7$）.

9. （1）由题意,得在$\mathrm{Rt}△ DEC$中,$CD=6\ \mathrm{m}$,$∠ DCE=30°$,所以$DE=\dfrac{1}{2}CD=3\ \mathrm{m}$. 所以观景台的高 DE 为 3 m （2）由题意,得在$\mathrm{Rt}△ DEC$中,$DE=3\ \mathrm{m}$,$∠ DCE=30°$,所以$CE=\sqrt{3}DE=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,设$AB=h$ m. 因为$∠ BCA=45°$,所以$AC=\dfrac{AB}{\tan45°}=h$ m. 所以$AE=EC+AC=(3\sqrt{3} +h)\mathrm{m}$. 过点 D 作$DF⊥ AB$,垂足为 F. 易得$DF=EA=(3\sqrt{3} +h)\mathrm{m}$,$DE=FA=3\ \mathrm{m}$. 因为$AB=h$ m,所以$BF=AB-AF=(h-3)\mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ BDF$中,因为$∠ BDF=27°$,所以$BF=DF· \tan 27°\approx0.5(3\sqrt{3} +h)\mathrm{m}$. 所以$h-3=0.5(3\sqrt{3} +h)$,解得$h=3\sqrt{3} +6\approx11$. 所以塔 AB 的高度约为 11 m

10 如图，公路AB为东西走向，在点A的北偏东$36.5°$方向，距离点A5 km处是村庄M；在点A的北偏东$53.5°$方向，距离点A10 km处是村庄N（参考数据：$\sin 36.5° \approx 0.6$，$\cos 36.5° \approx 0.8$）。
（1）求M，N两村庄之间的距离；
（2）要在公路AB旁修建一个收购站P，使得M，N两村庄到收购站P的距离之和最小，求这个最小距离之和。

10. （1）如图,过点 N 作$NE⊥ AB$于点 E,过点 M 作$CD// AB$,交过点 A 的 AB 的垂线于点 C,交 NE 于点 D,则易得$∠ ACD=∠ CDN=90°$,四边形 CAED 为矩形. 由题意,得$∠ CAM=36.5°$,$∠ CAN=53.5°$,$AM=5$ km,$AN=10$ km. 所以$CM=AM· \sin 36.5°\approx5×0.6=3(\mathrm{km})$. 所以$AC=\sqrt{AM^2-CM^2}=4$ km. 在$\mathrm{Rt}△ ANE$中,$∠ NAE=90°-53.5°=36.5°$,$AN=10$ km,所以$NE=AN· \sin 36.5°\approx10×0.6=6(\mathrm{km})$. 所以$AE=\sqrt{AN^2-NE^2}=8$ km. 因为四边形 CAED 为矩形,所以$MD=CD-CM=AE-CM=5$ km,$ND=NE-DE=NE-AC=2$ km. 所以在$\mathrm{Rt}△ MND$中,$MN=\sqrt{MD^2+ND^2}=\sqrt{29}$ km. 所以 M,N 两村庄之间的距离约为$\sqrt{29}$ km （2）如图,作点 N 关于 AB 的对称点 G,连结 MG 交 AB 于点 P,连结 NP,则 P 为收购站,此时$PM+PN=PM+PG=MG$. 易得$DG=DE+EG=DE+NE=10$ km. 在$\mathrm{Rt}△ MDG$中,$MG=\sqrt{5^2+10^2}=5\sqrt{5}(\mathrm{km})$. 所以 M,N 两村庄到收购站 P 的距离之和最小约为$5\sqrt{5}$ km