1. 如图，$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线交于点$O$.若$∠ BOC=120°$.
(1)求$∠ A$的度数；
(2)若$∠ BOC=α$，试用含有$α$的式子表示$∠ A$的度数.

(1)解:
∵∠BOC=120°,
∴∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=60°.
∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴2∠OBC=∠ABC,2∠OCB=∠ACB,
∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠OBC+∠OCB)=120°.
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=60°.
(2)
∵∠BOC=α,
∴∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=180°−α,
∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴2∠OBC = ∠ABC,2∠OCB = ∠ACB.
∴∠ABC + ∠ACB= 2(∠OBC+∠OCB)=2(180°−α)=360°−2α,
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−(360°−2α)=2α−180°.

【分析】
本题可结合三角形内角和定理与角平分线的定义逐步推导求解。(1)首先在△BOC中利用三角形内角和为180°，算出∠OBC与∠OCB的度数和；再根据BO、CO是角平分线的性质，得到∠ABC和∠ACB的和是上述和的2倍；最后在△ABC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数。(2)将(1)中的120°替换为α，沿用相同的推导逻辑，化简代数式后就能得到用α表示∠A的式子。
【解析】
(1) 在$△ BOC$中，
$\because ∠ BOC=120°$，
$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=180°-∠ BOC=180°-120°=60°$。
$\because BO$、$CO$分别平分$∠ ABC$、$∠ ACB$，
$\therefore ∠ ABC=2∠ OBC$，$∠ ACB=2∠ OCB$，
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=2(∠ OBC+∠ OCB)=2×60°=120°$。
在$△ ABC$中，
$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-120°=60°$。
(2) 若$∠ BOC=α$，在$△ BOC$中，
$∠ OBC+∠ OCB=180°-∠ BOC=180°-α$，
$\because BO$、$CO$分别平分$∠ ABC$、$∠ ACB$，
$\therefore ∠ ABC=2∠ OBC$，$∠ ACB=2∠ OCB$，
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=2(∠ OBC+∠ OCB)=2(180°-α)=360°-2α$，
在$△ ABC$中，
$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-(360°-2α)=2α-180°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；
(2) $\boldsymbol{∠ A=2α-180°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，角度运算
【点评】
本题是三角形双内角平分线夹角与原三角形顶角关系的典型题型，推导过程两次运用三角形内角和定理，结合角平分线定义即可得到结论，掌握该推导模型可快速求解同类型的角度计算问题。
【难度系数】
0.7

2.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D.若∠B=60°,则∠D的度数为.

30°

【分析】
本题可通过角平分线定义和三角形外角性质推导求解，思考步骤如下：
1. 先根据角平分线的定义，分别表示出∠ACD与∠ACB的关系、∠FAC与外角∠EAC的关系；
2. 结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，分别得到△ABC中∠EAC和∠B、∠ACB的关系，以及△ADC中∠FAC和∠D、∠ACD的关系；
3. 将上述关系联立，消去相同的角，即可推导出∠D与∠B的数量关系，代入∠B的度数就能算出∠D的大小。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，
∴$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB$。
∵AF是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴$∠ FAC=\frac{1}{2}∠ EAC$。
根据三角形外角的性质：
∠EAC是△ABC的外角，故$∠ EAC=∠ B+∠ ACB$；
∠FAC是△ADC的外角，故$∠ FAC=∠ D+∠ ACD$。
将$∠ FAC=\frac{1}{2}∠ EAC$、$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB$代入$∠ FAC=∠ D+∠ ACD$得：
$\frac{1}{2}∠ EAC=∠ D+\frac{1}{2}∠ ACB$，
再将$∠ EAC=∠ B+∠ ACB$代入上式：
$\frac{1}{2}(∠ B+∠ ACB)=∠ D+\frac{1}{2}∠ ACB$，
化简后可得$∠ D=\frac{1}{2}∠ B$。
已知$∠ B=60°$，代入得$∠ D=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的角平分线与三角形外角结合的模型题，解题关键是梳理清楚角之间的数量关系，通过推导可得到通用结论：三角形一个内角的平分线和另一个外角的平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半，掌握该模型可提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=α$,点$B,C,M$在一条直线上,$∠ ABC$和$∠ ACM$两角的平分线交于点$P_1$,$∠ P_1BC$和$∠ P_1CM$两角的平分线交于点$P_2$,$∠ P_2BC$和$∠ P_2CM$两角的平分线交于点$P_3$……以此类推,则$∠ P_{2025}$的度数是$\underline{\hspace{5cm}}$。

$\frac{1}{2^{2025}}α$

【分析】
解题时先利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导出∠P₁与∠A的数量关系，再用相同的方法推导∠P₂与∠P₁的关系、∠P₃与∠P₂的关系，总结出∠Pₙ与∠A的一般规律，最后代入n=2025即可得到结果。
【解析】
解：
∵ BP₁平分∠ABC，CP₁平分∠ACM，
∴ $∠ P_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ P_1CM = \frac{1}{2}∠ ACM$。
∵ ∠ACM是△ABC的外角，
∴ $∠ ACM = ∠ A + ∠ ABC$。
又
∵ ∠P₁CM是△P₁BC的外角，
∴ $∠ P_1CM = ∠ P_1 + ∠ P_1BC$，
∴ $∠ P_1 = ∠ P_1CM - ∠ P_1BC = \frac{1}{2}(∠ ACM - ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ A = \frac{1}{2}α$。
同理可得：$∠ P_2 = \frac{1}{2}∠ P_1 = \frac{1}{2^2}α$，
$∠ P_3 = \frac{1}{2}∠ P_2 = \frac{1}{2^3}α$，
……
以此类推，可得规律：$∠ P_n = \frac{1}{2^n}α$。
当n=2025时，$∠ P_{2025} = \frac{1}{2^{2025}}α$。
【答案】
$\frac{1}{2^{2025}}α$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题属于几何规律探究题，核心是通过三角形外角性质和角平分线的定义，得到相邻两个角的递推关系，再归纳出通用规律即可求解，解题时注意不要搞错角的倍数关系。
【难度系数】
0.6

4. 如图①,在$△ ABC$中,$∠ ABC,∠ ACB$的平分线交于点 O,$△ ABC$的外角$∠ CBM$,$∠ BCN$的平分线交于点 D.

(1)直接写出$∠ BOC$与$∠ BDC$的数量关系:
______;
(2)如图②,若$△ ABC$三个外角的平分线的交点分别为 D,E,F,请判断$△ DEF$是锐角三角形还是钝角三角形或直角三角形?并证明你的结论.

(1)∠BOC+∠BDC=180°
(2)解：△DEF是锐角三角形.证明如下:
∵BD平分∠CBG,CD平分∠BCH,
∴∠CBD = $\frac{1}{2}$∠CBG,∠BCD = $\frac{1}{2}$∠BCH.
∴∠D = 180°−∠CBD −∠BCD = 180°− $\frac{1}{2}$∠CBG − $\frac{1}{2}$∠BCH = 180°− $\frac{1}{2}$(∠CBG + ∠BCH).
∵∠CBG = ∠BAC + ∠ACB,∠BCH = ∠BAC+∠ABC,
∴∠D=180°−$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB + ∠BAC + ∠ABC) = 180°− $\frac{1}{2}$(180° + ∠BAC ) = 90° − $\frac{1}{2}$∠BAC.
∴∠D是锐角.同理可得∠E=90°−$\frac{1}{2}$∠ABC,∠F=90°−$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠D,∠E,∠F都是锐角.故△DEF是锐角三角形.

【分析】
(1) 先分别推导∠BOC和∠BDC的表达式：点O是△ABC内角平分线交点，结合角平分线定义和三角形内角和定理，可推出∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A；点D是△ABC两个外角平分线交点，结合外角性质和内角和定理，可推出∠BDC = 90° - $\frac{1}{2}$∠A，将两个表达式相加即可得到二者的数量关系。
(2) 判断△DEF的形状需明确其三个内角的类型，仿照(1)中推导∠BDC的方法，分别推导∠D、∠E、∠F的表达式，可得出三个角均为90°减去原△ABC一个内角的一半，均小于90°，即可判断三角形的类型。
【解析】
(1) 推导如下：
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A，
∵BD、CD分别平分∠CBM、∠BCN，
∴∠CBD = $\frac{1}{2}$∠CBM，∠BCD = $\frac{1}{2}$∠BCN，
∴∠BDC = 180° - (∠CBD + ∠BCD) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠CBM + ∠BCN)，
又
∵∠CBM = 180° - ∠ABC，∠BCN = 180° - ∠ACB，
∴∠BDC = 180° - $\frac{1}{2}$(360° - (∠ABC + ∠ACB)) = 180° - $\frac{1}{2}$(180° + ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC + ∠BDC = (90° + $\frac{1}{2}$∠A) + (90° - $\frac{1}{2}$∠A) = 180°。
(2) △DEF是锐角三角形，证明如下：
∵BD平分∠CBG，CD平分∠BCH，
∴∠CBD = $\frac{1}{2}$∠CBG，∠BCD = $\frac{1}{2}$∠BCH，
∴∠D = 180°−∠CBD −∠BCD = 180°− $\frac{1}{2}$∠CBG − $\frac{1}{2}$∠BCH = 180°− $\frac{1}{2}$(∠CBG + ∠BCH)，
∵∠CBG = ∠BAC + ∠ACB，∠BCH = ∠BAC+∠ABC，
∴∠D=180°−$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB + ∠BAC + ∠ABC) = 180°− $\frac{1}{2}$(180° + ∠BAC ) = 90° − $\frac{1}{2}$∠BAC，
∵0°＜∠BAC＜180°，
∴0°＜90°− $\frac{1}{2}$∠BAC＜90°，即∠D是锐角，
同理可得∠E=90°−$\frac{1}{2}$∠ABC，∠F=90°−$\frac{1}{2}$∠ACB，均为锐角，
∴△DEF的三个内角都是锐角，故△DEF是锐角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOC + ∠BDC = 180°}$
(2) $\boldsymbol{△DEF}$是锐角三角形
【知识点】
角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题围绕三角形内外角平分线的夹角模型设计，解题核心是灵活运用三角形内角和与外角的性质转化角之间的数量关系，掌握相关常用结论可有效提升此类题型的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7