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1.下列条件中，可以判定$△ ABC$是等腰三角形的是（
A.$∠ A=50°,∠ B=40°$
B.$∠ A=40°,∠ B=70°$
C.$AB:BC:AC=2:3:4$
D.$AB=4,AC=5,△ ABC$的周长为12
B
）A.$∠ A=50°,∠ B=40°$
B.$∠ A=40°,∠ B=70°$
C.$AB:BC:AC=2:3:4$
D.$AB=4,AC=5,△ ABC$的周长为12
答案
1.B
解析
【分析】
要判定△ABC是等腰三角形，只需验证三角形存在两个相等的内角（依据等角对等边），或存在两条相等的边长即可。解题时我们逐个分析每个选项，结合三角形内角和定理、周长公式分别计算各选项的内角或边长，判断是否满足等腰三角形的判定条件。
【解析】
我们逐一分析选项：
A选项：根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-40°=90°，三个内角度数分别为50°、40°、90°，没有相等的角，对应三条边也不相等，不是等腰三角形。
B选项：同理计算∠C=180°-40°-70°=70°，可得∠B=∠C=70°，根据等角对等边，可知AB=AC，△ABC是等腰三角形。
C选项：三边比为2:3:4，说明三条边长度均不相等，不是等腰三角形。
D选项：△ABC周长为12，可得BC=周长-AB-AC=12-4-5=3，三条边长度分别为3、4、5，均不相等，不是等腰三角形。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形周长计算
【点评】
本题考查等腰三角形的判定方法，解题关键是熟练运用三角形内角和、周长公式计算对应量，判断是否存在相等的角或边，属于基础类习题，掌握基础判定规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC是等腰三角形，只需验证三角形存在两个相等的内角（依据等角对等边），或存在两条相等的边长即可。解题时我们逐个分析每个选项，结合三角形内角和定理、周长公式分别计算各选项的内角或边长，判断是否满足等腰三角形的判定条件。
【解析】
我们逐一分析选项：
A选项：根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-40°=90°，三个内角度数分别为50°、40°、90°，没有相等的角，对应三条边也不相等，不是等腰三角形。
B选项：同理计算∠C=180°-40°-70°=70°，可得∠B=∠C=70°，根据等角对等边，可知AB=AC，△ABC是等腰三角形。
C选项：三边比为2:3:4，说明三条边长度均不相等，不是等腰三角形。
D选项：△ABC周长为12，可得BC=周长-AB-AC=12-4-5=3，三条边长度分别为3、4、5，均不相等，不是等腰三角形。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形周长计算
【点评】
本题考查等腰三角形的判定方法，解题关键是熟练运用三角形内角和、周长公式计算对应量，判断是否存在相等的角或边，属于基础类习题，掌握基础判定规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠BAD的平分线AF与∠ADC的平分线DF相交于点F,∠ABC的平分线BE与∠BCD的平分线CE相交于点E,则图中等腰三角形共有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2.C
解析
【分析】
解题时我们可以结合已知的AD//BC的平行线性质，以及角平分线的定义，通过“等角对等边”的等腰三角形判定方法逐一推导：先分别对4条角平分线进行分析，利用平行线的内错角相等，将角平分线分出的角转化为同一个三角形的内角，得到等角后即可判定等腰三角形，注意不要遗漏符合条件的三角形。
【解析】
1. 判定△ABF为等腰三角形：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AFB（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，△ABF是等腰三角形；
2. 判定△DCF为等腰三角形：
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠CDF=∠DFC，
∴CD=CF，△DCF是等腰三角形；
3. 判定△ABE为等腰三角形：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD//BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，△ABE是等腰三角形；
4. 判定△DCE为等腰三角形：
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵AD//BC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴CD=DE，△DCE是等腰三角形。
综上，共有4个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题核心是等腰三角形的判定，解题的关键是熟练运用平行线性质和角平分线的定义进行角的等量转化，按照顺序逐一推导可避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以结合已知的AD//BC的平行线性质，以及角平分线的定义，通过“等角对等边”的等腰三角形判定方法逐一推导：先分别对4条角平分线进行分析，利用平行线的内错角相等，将角平分线分出的角转化为同一个三角形的内角，得到等角后即可判定等腰三角形，注意不要遗漏符合条件的三角形。
【解析】
1. 判定△ABF为等腰三角形：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AFB（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，△ABF是等腰三角形；
2. 判定△DCF为等腰三角形：
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠CDF=∠DFC，
∴CD=CF，△DCF是等腰三角形；
3. 判定△ABE为等腰三角形：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD//BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，△ABE是等腰三角形；
4. 判定△DCE为等腰三角形：
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵AD//BC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴CD=DE，△DCE是等腰三角形。
综上，共有4个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题核心是等腰三角形的判定，解题的关键是熟练运用平行线性质和角平分线的定义进行角的等量转化，按照顺序逐一推导可避免漏解。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$△ ABC$中，点$E$在$AB$上，点$D$在$BC$上，$BD＝BE$，$∠ BAD＝∠ BCE$，$AD$与$CE$相交于点$F$，试判断$△ AFC$的形状，并说明理由.
答案
3. 解:$△ AFC$ 是等腰三角形. 理由如下: 在 $△ BAD$ 和 $△ BCE$ 中, $\because \begin{cases}∠ BAD=∠ BCE,\\∠ B=∠ B,\\BD=BE,\end{cases}$ $\therefore △ BAD ≌ △ BCE$,(AAS), $\therefore BA = BC$, $\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$. $\therefore ∠ BAC - ∠ BAD = ∠ BCA - ∠ BCE$, 即$∠ FAC = ∠ FCA$, $\therefore FA = FC$, $\therefore △ AFC$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
要判断△AFC的形状，可通过证明其两个内角相等或两条边相等来推导。首先观察已知条件，△BAD和△BCE有公共角∠B，还给出∠BAD=∠BCE、BD=BE，符合AAS全等判定条件，可先证两个三角形全等；由全等得到BA=BC后，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠BAC=∠BCA，再减去相等的∠BAD和∠BCE，即可推出∠FAC=∠FCA，最后根据等角对等边就能判断△AFC的形状。
【解析】
△AFC是等腰三角形，理由如下：
在$△ BAD$和$△ BCE$中，
$\because \begin{cases}∠ BAD=∠ BCE,\\∠ B=∠ B,\\BD=BE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ BCE$（AAS），
$\therefore BA = BC$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$（等边对等角），
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAD = ∠ BCA - ∠ BCE$，即$∠ FAC = ∠ FCA$，
$\therefore FA = FC$（等角对等边），
$\therefore △ AFC$是等腰三角形。
【答案】
$△ AFC$是等腰三角形
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础常考题，解题的关键是先利用已知条件证明三角形全等，得到边的等量关系后结合等腰三角形的性质推导角的关系，最终完成三角形形状的判定，解题思路清晰，逻辑连贯性较强。
【难度系数】
0.75
要判断△AFC的形状，可通过证明其两个内角相等或两条边相等来推导。首先观察已知条件，△BAD和△BCE有公共角∠B，还给出∠BAD=∠BCE、BD=BE，符合AAS全等判定条件，可先证两个三角形全等；由全等得到BA=BC后，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠BAC=∠BCA，再减去相等的∠BAD和∠BCE，即可推出∠FAC=∠FCA，最后根据等角对等边就能判断△AFC的形状。
【解析】
△AFC是等腰三角形，理由如下：
在$△ BAD$和$△ BCE$中，
$\because \begin{cases}∠ BAD=∠ BCE,\\∠ B=∠ B,\\BD=BE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ BCE$（AAS），
$\therefore BA = BC$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$（等边对等角），
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAD = ∠ BCA - ∠ BCE$，即$∠ FAC = ∠ FCA$，
$\therefore FA = FC$（等角对等边），
$\therefore △ AFC$是等腰三角形。
【答案】
$△ AFC$是等腰三角形
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础常考题，解题的关键是先利用已知条件证明三角形全等，得到边的等量关系后结合等腰三角形的性质推导角的关系，最终完成三角形形状的判定，解题思路清晰，逻辑连贯性较强。
【难度系数】
0.75
4.在下列命题中:①有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的是
①④
.(只需填写序号)答案
4. ①④
解析
【分析】
解题时需结合等腰三角形的性质、等边三角形的判定定理，逐个分析4个命题的正误：首先回忆等边三角形的判定方法，再逐一判断每个命题的描述是否仅符合等边三角形，还是普通等腰三角形也满足，排除错误命题后即可得到正确结论。
【解析】
我们逐个分析各命题：
1. 对命题①：若等腰三角形的顶角为$60°$，则两个底角均为$\frac{180°-60°}{2}=60°$，三个角都为$60°$，是等边三角形；若等腰三角形的底角为$60°$，则顶角为$180°-2×60°=60°$，三个角也都为$60°$，是等边三角形，故①正确。
2. 对命题②：等腰三角形的两个底角本身相等，对应的外角也必然相等，例如顶角为$30°$、底角为$75°$的等腰三角形，两个底角的外角均为$105°$，满足“两个外角相等”，但它不是等边三角形，故②错误。
3. 对命题③：根据等腰三角形三线合一的性质，普通等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线，无需是等边三角形，故③错误。
4. 对命题④：三角形外角和为$360°$，若三个外角都相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为$60°$的三角形是等边三角形，故④正确。
综上，正确的命题是①④。
【答案】
①④
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题重点考查等腰、等边三角形的性质与判定的区分，解题时要注意普通等腰三角形也具备三线合一、底角相等（对应外角相等）的性质，不能直接将这些性质等同于等边三角形的判定条件。
【难度系数】
0.7
解题时需结合等腰三角形的性质、等边三角形的判定定理，逐个分析4个命题的正误：首先回忆等边三角形的判定方法，再逐一判断每个命题的描述是否仅符合等边三角形，还是普通等腰三角形也满足，排除错误命题后即可得到正确结论。
【解析】
我们逐个分析各命题：
1. 对命题①：若等腰三角形的顶角为$60°$，则两个底角均为$\frac{180°-60°}{2}=60°$，三个角都为$60°$，是等边三角形；若等腰三角形的底角为$60°$，则顶角为$180°-2×60°=60°$，三个角也都为$60°$，是等边三角形，故①正确。
2. 对命题②：等腰三角形的两个底角本身相等，对应的外角也必然相等，例如顶角为$30°$、底角为$75°$的等腰三角形，两个底角的外角均为$105°$，满足“两个外角相等”，但它不是等边三角形，故②错误。
3. 对命题③：根据等腰三角形三线合一的性质，普通等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线，无需是等边三角形，故③错误。
4. 对命题④：三角形外角和为$360°$，若三个外角都相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为$60°$的三角形是等边三角形，故④正确。
综上，正确的命题是①④。
【答案】
①④
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题重点考查等腰、等边三角形的性质与判定的区分，解题时要注意普通等腰三角形也具备三线合一、底角相等（对应外角相等）的性质，不能直接将这些性质等同于等边三角形的判定条件。
【难度系数】
0.7
5.如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC. 求证：△DEF是等边三角形.
答案
5. 证明: $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ CAB=60°$. $\because DF ⊥ AB, DE ⊥ CB, EF ⊥ AC, \therefore ∠ DAB=∠ ACF=∠ CBE=90°$. $\therefore ∠ FAC=∠ BCE=∠ DBA=30°$. $\therefore ∠ D=∠ E=∠ F=180° - 90° - 30°=60°$. $\therefore △ DEF$ 是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△DEF是等边三角形，可通过“三个内角都为60°的三角形是等边三角形”这一判定方法推导。首先利用等边三角形的性质，得到△ABC的三个内角均为60°；再结合题目给出的DF⊥AB、DE⊥CB、EF⊥AC三个垂直条件，得到相应的直角，进而求出∠DBA、∠BCE、∠FAC均为30°；最后在包含△DEF三个内角的直角三角形中，利用三角形内角和为180°，计算出∠D、∠E、∠F都等于60°，即可判定△DEF是等边三角形。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°。
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°，
∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°，
∴∠D=∠E=∠F=180°-90°-30°=60°，
∴△DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查等边三角形性质与判定的综合应用，解题关键是结合垂直条件和三角形内角和定理推导待证三角形的内角度数，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
要证明△DEF是等边三角形，可通过“三个内角都为60°的三角形是等边三角形”这一判定方法推导。首先利用等边三角形的性质，得到△ABC的三个内角均为60°；再结合题目给出的DF⊥AB、DE⊥CB、EF⊥AC三个垂直条件，得到相应的直角，进而求出∠DBA、∠BCE、∠FAC均为30°；最后在包含△DEF三个内角的直角三角形中，利用三角形内角和为180°，计算出∠D、∠E、∠F都等于60°，即可判定△DEF是等边三角形。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°。
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°，
∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°，
∴∠D=∠E=∠F=180°-90°-30°=60°，
∴△DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查等边三角形性质与判定的综合应用，解题关键是结合垂直条件和三角形内角和定理推导待证三角形的内角度数，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
6.(黄山市模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,DA⊥BA于点A.若CD=4cm,则BD=
8
cm.答案
6. 8
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C=30°，再通过三角形内角和定理计算出∠BAC的度数；结合DA⊥BA的条件求出∠DAC的度数，发现∠DAC=∠C，利用等角对等边得到AD=CD；最后在Rt△ABD中，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°（等边对等角），
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵DA⊥BA，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD=4cm（等角对等边），
在Rt△ABD中，∠B=30°，∠BAD=90°，
∴BD=2AD=2×4=8cm（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；直角三角形30°角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形和直角三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过角度推导得到AD与CD的等量关系，再结合特殊直角三角形的性质求解，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C=30°，再通过三角形内角和定理计算出∠BAC的度数；结合DA⊥BA的条件求出∠DAC的度数，发现∠DAC=∠C，利用等角对等边得到AD=CD；最后在Rt△ABD中，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°（等边对等角），
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵DA⊥BA，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD=4cm（等角对等边），
在Rt△ABD中，∠B=30°，∠BAD=90°，
∴BD=2AD=2×4=8cm（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；直角三角形30°角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形和直角三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过角度推导得到AD与CD的等量关系，再结合特殊直角三角形的性质求解，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图①是一张折叠型方桌，图②是由它侧面抽象出来的图形.若$AO=BO=50\mathrm{cm}$，$CO=DO=30\mathrm{cm}$，将桌子放平后，两条桌腿叉开的角度($∠ AOB$)为$120°$，则AB的距离地面的高为
40
cm.答案
7. 40
解析
【分析】
要求AB距离地面的高度，地面为CD所在的水平面，因此所求高度为水平线段AB与CD之间的距离。首先根据AO=BO、CO=DO，可判断△AOB和△COD均为等腰三角形，结合已知∠AOB=120°，由对顶角相等得∠COD也为120°，利用等腰三角形内角和性质可算出两个三角形的底角均为30°。接下来过点O分别作AB、CD的垂线，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，分别求出两个垂线段的长度，相加即可得到AB到地面的总高度。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F。
∵ AO=BO，∠AOB=120°，
∴ ∠OAB = $\frac{180° - 120°}{2}$ = 30°，
在Rt△AOE中，∠OAB=30°，AO=50cm，
∴ OE = $\frac{1}{2}$AO = $\frac{1}{2}×50 = 25\mathrm{cm}$，
∵ ∠COD与∠AOB是对顶角，
∴ ∠COD=∠AOB=120°，
又
∵ CO=DO，
∴ ∠OCD = $\frac{180° - 120°}{2}$ = 30°，
在Rt△COF中，∠OCD=30°，CO=30cm，
∴ OF = $\frac{1}{2}$CO = $\frac{1}{2}×30 = 15\mathrm{cm}$，
∵ 桌子放平后AB、CD均为水平线段，OE⊥AB、OF⊥CD，
∴ E、O、F三点共线，AB到地面的高度为OE+OF，
∴ 总高度 = 25 + 15 = 40$\mathrm{cm}$。
【答案】
40
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的折叠桌场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题中的高度转化为两个等腰三角形的高之和，考查了学生将实际问题抽象为几何模型的能力，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要求AB距离地面的高度，地面为CD所在的水平面，因此所求高度为水平线段AB与CD之间的距离。首先根据AO=BO、CO=DO，可判断△AOB和△COD均为等腰三角形，结合已知∠AOB=120°，由对顶角相等得∠COD也为120°，利用等腰三角形内角和性质可算出两个三角形的底角均为30°。接下来过点O分别作AB、CD的垂线，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，分别求出两个垂线段的长度，相加即可得到AB到地面的总高度。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F。
∵ AO=BO，∠AOB=120°，
∴ ∠OAB = $\frac{180° - 120°}{2}$ = 30°，
在Rt△AOE中，∠OAB=30°，AO=50cm，
∴ OE = $\frac{1}{2}$AO = $\frac{1}{2}×50 = 25\mathrm{cm}$，
∵ ∠COD与∠AOB是对顶角，
∴ ∠COD=∠AOB=120°，
又
∵ CO=DO，
∴ ∠OCD = $\frac{180° - 120°}{2}$ = 30°，
在Rt△COF中，∠OCD=30°，CO=30cm，
∴ OF = $\frac{1}{2}$CO = $\frac{1}{2}×30 = 15\mathrm{cm}$，
∵ 桌子放平后AB、CD均为水平线段，OE⊥AB、OF⊥CD，
∴ E、O、F三点共线，AB到地面的高度为OE+OF，
∴ 总高度 = 25 + 15 = 40$\mathrm{cm}$。
【答案】
40
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的折叠桌场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题中的高度转化为两个等腰三角形的高之和，考查了学生将实际问题抽象为几何模型的能力，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD的高，∠ABC=40°，∠C=80°，BE=4. 求AB的长.
答案
8. 解: $\because ∠ ABC=40°, ∠ C=80°, \therefore ∠ BAC=180° - 80° - 40°=60°$. $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线, $\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$. 又 $\because BE$ 是 $△ ABD$ 的高, $BE = 4$, $\therefore AB = 2BE=8$.
解析
【分析】
要求AB的长度，已知BE是高且BE=4，可考虑利用含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边等于斜边的一半）求解。首先需要先求出△ABC中∠BAC的度数：利用三角形内角和为180°，结合已知的∠ABC和∠C的度数即可算出；再根据AD是角平分线，得到∠BAE的度数，确认△ABE是含30°角的直角三角形，最后代入性质计算AB的长度。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 40° - 80° = 60°$
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$
又
∵BE是△ABD的高，即$BE⊥ AE$，△ABE为直角三角形，BE是$∠ BAE$所对的直角边，$BE=4$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$AB = 2BE = 2×4 = 8$
【答案】
8
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先通过内角和与角平分线得到30°的特殊角，再结合直角三角形的特殊性质求解，掌握基础几何定理是解决此类题的前提。
【难度系数】
0.8
要求AB的长度，已知BE是高且BE=4，可考虑利用含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边等于斜边的一半）求解。首先需要先求出△ABC中∠BAC的度数：利用三角形内角和为180°，结合已知的∠ABC和∠C的度数即可算出；再根据AD是角平分线，得到∠BAE的度数，确认△ABE是含30°角的直角三角形，最后代入性质计算AB的长度。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 40° - 80° = 60°$
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$
又
∵BE是△ABD的高，即$BE⊥ AE$，△ABE为直角三角形，BE是$∠ BAE$所对的直角边，$BE=4$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$AB = 2BE = 2×4 = 8$
【答案】
8
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先通过内角和与角平分线得到30°的特殊角，再结合直角三角形的特殊性质求解，掌握基础几何定理是解决此类题的前提。
【难度系数】
0.8
9.如图
，在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=90°$，在射线BA上找一点D，使$△ ACD$为等腰三角形，则$∠ ACD$的度数为
，在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=90°$，在射线BA上找一点D，使$△ ACD$为等腰三角形，则$∠ ACD$的度数为70°或40°或20°
。答案
9. $70°$或$40°$或$20°$
解析
【分析】
首先根据直角三角形内角和求出∠BAC的度数，题目要求在射线BA上找点D使△ACD为等腰三角形，需分三种情况讨论等腰三角形的腰的组合，结合等腰三角形等边对等角、三角形内角和定理分别计算每种情况下∠ACD的度数，注意结合射线BA的范围排除不符合的情况，避免漏解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=50°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=180°-90°-50°=40°$
分三种情况讨论：
1. 当$AC=AD$，且点D在线段AB上时：
$△ ACD$为等腰三角形，顶角$∠ CAD=∠ BAC=40°$，
根据等边对等角，$∠ ACD=∠ ADC=(180°-40°)÷2=70°$；
2. 当$AD=CD$时：
$△ ACD$为等腰三角形，$∠ ACD=∠ CAD=40°$；
3. 当$AC=AD$，且点D在BA的延长线上（A点外侧）时：
此时$∠ CAD=180°-∠ BAC=180°-40°=140°$，
$△ ACD$为等腰三角形，顶角为$∠ CAD$，
则$∠ ACD=∠ ADC=(180°-140°)÷2=20°$。
综上，$∠ ACD$的度数为$70°$或$40°$或$20°$。
【答案】
$70°$或$40°$或$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论
【点评】
本题考查等腰三角形性质的应用，解题关键是明确射线的取值范围，对等腰三角形的腰的情况进行全面分类讨论，避免遗漏点在延长线上的情况导致少解。
【难度系数】
0.6
首先根据直角三角形内角和求出∠BAC的度数，题目要求在射线BA上找点D使△ACD为等腰三角形，需分三种情况讨论等腰三角形的腰的组合，结合等腰三角形等边对等角、三角形内角和定理分别计算每种情况下∠ACD的度数，注意结合射线BA的范围排除不符合的情况，避免漏解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=50°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=180°-90°-50°=40°$
分三种情况讨论：
1. 当$AC=AD$，且点D在线段AB上时：
$△ ACD$为等腰三角形，顶角$∠ CAD=∠ BAC=40°$，
根据等边对等角，$∠ ACD=∠ ADC=(180°-40°)÷2=70°$；
2. 当$AD=CD$时：
$△ ACD$为等腰三角形，$∠ ACD=∠ CAD=40°$；
3. 当$AC=AD$，且点D在BA的延长线上（A点外侧）时：
此时$∠ CAD=180°-∠ BAC=180°-40°=140°$，
$△ ACD$为等腰三角形，顶角为$∠ CAD$，
则$∠ ACD=∠ ADC=(180°-140°)÷2=20°$。
综上，$∠ ACD$的度数为$70°$或$40°$或$20°$。
【答案】
$70°$或$40°$或$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论
【点评】
本题考查等腰三角形性质的应用，解题关键是明确射线的取值范围，对等腰三角形的腰的情况进行全面分类讨论，避免遗漏点在延长线上的情况导致少解。
【难度系数】
0.6
