【典型例题 2】如图，$∠ B=∠ C=90°,M$是$BC$的中点，$DM$平分$∠ ADC$，且$∠ ADC=110°$，则$∠ MAB=$（）


A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
【解析】如图，过点$M$作$MN⊥ AD$于点$N$.
因为$∠ B=∠ C=90°$,
所以$∠ B+∠ C=180°$,
所以$AB// CD$,
所以$∠ DAB=180°-∠ ADC=70°$.
因为$DM$平分$∠ ADC$，$MN⊥ AD$，$MC⊥ CD$，
所以$MN=MC$.
因为$M$是$BC$的中点，
所以$MC=MB$，
所以$MN=MB$.
又$MN⊥ AD$，$MB⊥ AB$，

所以$AM$平分$∠ DAB$，
所以$∠ MAB=\frac{1}{2}∠ DAB=35°$.
【答案】B

B

过点M作MN⊥AD于点N。
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB//CD，
∴∠DAB=180°-∠ADC=70°。
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC。
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB。
又∵MN⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠DAB=35°。

2. 如图,已知$AO$平分$∠ BAC$,$OD ⊥ BC$,$OE ⊥ AB$,垂足分别为$D$,$E$,且$OD=OE$.求证:$CO$平分$∠ ACB$.

2.【证明】如图,过点 O 作$OF⊥ AC$ 于点 F. 因为AO 平分$∠BAC,OE⊥ AB$,所以$OF=OE$. 因为$OD=OE$,所以$OF=OD$. 因为$OD⊥ BC$,所以点 O在$∠ACB$ 的平分线上,即 CO 平分$∠ACB$.

1.一块三角形的草坪示意图如图所示,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在（）

A.△ABC三条中线的交点处
B.△ABC三条高所在直线的交点处
C.△ABC三条角平分线的交点处
D.以上都不对

1.C 【解析】由角的平分线的性质与判定可得三角形的三条角平分线相交于一点,且这个点到三边的距离相等.

2. 如图,点O在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°,OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO的度数为.

2. 15° 【解析】由条件知 BO 平分$∠ABC$,所以$∠ABO=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×30°=15°$.