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利用因式分解简算：$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×···×(1-\dfrac{1}{316^2})×(1-\dfrac{1}{317^2}).$
解 原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{316})×(1+\dfrac{1}{316})×(1-\dfrac{1}{317})×(1+\dfrac{1}{317})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{315}{316}×\dfrac{317}{316}×\dfrac{316}{317}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{159}{317}.$
解 原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{316})×(1+\dfrac{1}{316})×(1-\dfrac{1}{317})×(1+\dfrac{1}{317})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{315}{316}×\dfrac{317}{316}×\dfrac{316}{317}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{159}{317}.$
答案
原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{316})×(1+\dfrac{1}{316})×(1-\dfrac{1}{317})×(1+\dfrac{1}{317})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{315}{316}×\dfrac{317}{316}×\dfrac{316}{317}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{159}{317}.$
3. 利用因式分解计算：
(1) $[(2^2 -1)×(3^2 -1)×\dots×(2023^2 -1)×(2024^2 -1)]÷(1^2×2^2×3^2×\dots×2023^2×2024^2)=$ ；
(2) $\frac{1^2 -2^2}{2+4} + \frac{3^2 -4^2}{6+8} + \frac{5^2 -6^2}{10+12} + \dots + \frac{1009^2 -1010^2}{2018+2020} + \frac{1011^2 -1012^2}{2022+2024}=$ 。
(1) $[(2^2 -1)×(3^2 -1)×\dots×(2023^2 -1)×(2024^2 -1)]÷(1^2×2^2×3^2×\dots×2023^2×2024^2)=$ ；
(2) $\frac{1^2 -2^2}{2+4} + \frac{3^2 -4^2}{6+8} + \frac{5^2 -6^2}{10+12} + \dots + \frac{1009^2 -1010^2}{2018+2020} + \frac{1011^2 -1012^2}{2022+2024}=$ 。
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{2025}{4048}}$；(2) $\boldsymbol{-253}$
解析
解：
(1) 由平方差公式，对任意整数$k≥2$，有$k^2-1=(k-1)(k+1)$，因此：
$\begin{aligned}&\mathrm{分子}=(2^2-1)×(3^2-1)×···×(2024^2-1)\\&=(1×3)×(2×4)×(3×5)×···×(2023×2025)\\&=(1×2×3×···×2023)×(3×4×5×···×2025)\end{aligned}$
$\mathrm{分母}=1^2×2^2×3^2×···×2024^2=(1×2×3×···×2024)×(1×2×3×···×2024)$
代入原式约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(1×2×···×2023)×(3×4×···×2025)}{(1×2×···×2024)×(1×2×···×2024)}\\&=\frac{2025}{2×2024}\\&=\frac{2025}{4048}\end{aligned}$
(2) 对任意正整数$k$，第$k$项的分子为$(2k-1)^2-(2k)^2$，由平方差公式：
$(2k-1)^2-(2k)^2=[(2k-1)-2k][(2k-1)+2k]=-(4k-1)$
第$k$项的分母为$(4k-2)+4k=2(4k-1)$，因此：
$\mathrm{第}k\mathrm{项}=\frac{-(4k-1)}{2(4k-1)}=-\frac{1}{2}$
原式共有$\frac{1012}{2}=506$个这样的项：
$\mathrm{原式}=-\frac{1}{2}×506=-253$
最终
(1) 由平方差公式，对任意整数$k≥2$，有$k^2-1=(k-1)(k+1)$，因此：
$\begin{aligned}&\mathrm{分子}=(2^2-1)×(3^2-1)×···×(2024^2-1)\\&=(1×3)×(2×4)×(3×5)×···×(2023×2025)\\&=(1×2×3×···×2023)×(3×4×5×···×2025)\end{aligned}$
$\mathrm{分母}=1^2×2^2×3^2×···×2024^2=(1×2×3×···×2024)×(1×2×3×···×2024)$
代入原式约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(1×2×···×2023)×(3×4×···×2025)}{(1×2×···×2024)×(1×2×···×2024)}\\&=\frac{2025}{2×2024}\\&=\frac{2025}{4048}\end{aligned}$
(2) 对任意正整数$k$，第$k$项的分子为$(2k-1)^2-(2k)^2$，由平方差公式：
$(2k-1)^2-(2k)^2=[(2k-1)-2k][(2k-1)+2k]=-(4k-1)$
第$k$项的分母为$(4k-2)+4k=2(4k-1)$，因此：
$\mathrm{第}k\mathrm{项}=\frac{-(4k-1)}{2(4k-1)}=-\frac{1}{2}$
原式共有$\frac{1012}{2}=506$个这样的项：
$\mathrm{原式}=-\frac{1}{2}×506=-253$
最终
已知 $a+b=\dfrac{1}{2}$，$ab=\dfrac{8}{3}$，求 $a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值。
解 $a^3b+2a^2b^2+ab^3$
$=ab(a^2+2ab+b^2)$
$=ab(a+b)^2.$
将 $a+b=\dfrac{1}{2}$，$ab=\dfrac{8}{3}$代入，
得原式$=\dfrac{8}{3}×(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{8}{3}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}.$
解 $a^3b+2a^2b^2+ab^3$
$=ab(a^2+2ab+b^2)$
$=ab(a+b)^2.$
将 $a+b=\dfrac{1}{2}$，$ab=\dfrac{8}{3}$代入，
得原式$=\dfrac{8}{3}×(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{8}{3}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}.$
答案
解 $a^3b+2a^2b^2+ab^3$
$=ab(a^2+2ab+b^2)$
$=ab(a+b)^2.$
将 $a+b=\dfrac{1}{2}$，$ab=\dfrac{8}{3}$代入，
得原式$=\dfrac{8}{3}×(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{8}{3}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}.$
$=ab(a^2+2ab+b^2)$
$=ab(a+b)^2.$
将 $a+b=\dfrac{1}{2}$，$ab=\dfrac{8}{3}$代入，
得原式$=\dfrac{8}{3}×(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{8}{3}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}.$
4. 利用因式分解求 $4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3$ 的值，其中 $a + b = 1$，$ab = \frac{5}{16}$。
答案
解：
先对多项式进行因式分解：
$4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3$
$=4ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=4ab(a+b)^2$
将$a+b=1$，$ab=\frac{5}{16}$代入上式：
原式$=4×\frac{5}{16}×1^2=\frac{5}{4}$
最终值为$\frac{5}{4}$。
先对多项式进行因式分解：
$4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3$
$=4ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=4ab(a+b)^2$
将$a+b=1$，$ab=\frac{5}{16}$代入上式：
原式$=4×\frac{5}{16}×1^2=\frac{5}{4}$
最终值为$\frac{5}{4}$。
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”.例如：$8=3^2 -1^2$，$16=5^2 -3^2$，$24=7^2 -5^2$，则8，16，24这三个数都是奇特数.
（1）设两个连续奇数是$2n-1$和$2n+1$（其中n为正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（2）如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积.
解（1）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
理由：因为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = (2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n$，
所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
（2）$S_{阴影部分}=39^2 -37^2 +35^2 -33^2 +\dots +7^2 -5^2 +3^2 -1^2=(39+37)×(39-37)+(35+33)×(35-33)+\dots +(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1)=(39+37+35+33+\dots +7+5+3+1)×2=(1+39)×20÷2×2=800.$
（1）设两个连续奇数是$2n-1$和$2n+1$（其中n为正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（2）如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积.
解（1）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
理由：因为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = (2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n$，
所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
（2）$S_{阴影部分}=39^2 -37^2 +35^2 -33^2 +\dots +7^2 -5^2 +3^2 -1^2=(39+37)×(39-37)+(35+33)×(35-33)+\dots +(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1)=(39+37+35+33+\dots +7+5+3+1)×2=(1+39)×20÷2×2=800.$
答案
解（1）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
理由：因为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = (2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n$，
所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
（2）$S_{阴影部分}=39^2 -37^2 +35^2 -33^2 +\dots +7^2 -5^2 +3^2 -1^2=(39+37)×(39-37)+(35+33)×(35-33)+\dots +(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1)=(39+37+35+33+\dots +7+5+3+1)×2=(1+39)×20÷2×2=800.$
理由：因为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = (2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n$，
所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
（2）$S_{阴影部分}=39^2 -37^2 +35^2 -33^2 +\dots +7^2 -5^2 +3^2 -1^2=(39+37)×(39-37)+(35+33)×(35-33)+\dots +(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1)=(39+37+35+33+\dots +7+5+3+1)×2=(1+39)×20÷2×2=800.$
