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1. (1)已知一次函数$y=ax+b$的图象经过点$(1,m)$，则关于$x$的一元一次方程$ax+b-m=0$的解是________；
(2)如果一元一次方程$2x+m=0$的解是$x=-1$，那么一次函数$y=2x+m$的图象与$x$轴交点的坐标为________。
(2)如果一元一次方程$2x+m=0$的解是$x=-1$，那么一次函数$y=2x+m$的图象与$x$轴交点的坐标为________。
答案
(1) $x=1$ 解析: 因为一次函数$y=ax+b$的图象经过点$(1,m)$,所以当$x=1$时,$y=a+b=m$,即$a+b-m=0$. 所以关于$x$的一元一次方程$ax+b-m=0$的解是$x=1$.
(2) $(-1,0)$ 解析: 因为一元一次方程$2x+m=0$的解是$x=-1$,所以一次函数$y=2x+m$的图象经过点$(-1,0)$. 所以一次函数$y=2x+m$的图象与$x$轴交点的坐标为$(-1,0)$.
(2) $(-1,0)$ 解析: 因为一元一次方程$2x+m=0$的解是$x=-1$,所以一次函数$y=2x+m$的图象经过点$(-1,0)$. 所以一次函数$y=2x+m$的图象与$x$轴交点的坐标为$(-1,0)$.
2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$的图象分别与$x$轴交于$A(-1,0),B(2,0)$两点，两直线交于点$C$。请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识解答下列问题：
（1）关于$x$的一元一次方程$k_1x+b_1=0$的解是________，关于$x$的一元一次方程$k_2x+b_2=0$的解是________；
（2）关于$x$的一元一次不等式$k_2x+b_2＜0$的解集是________；
（3）若点$C(1,3)$，请直接写出关于$x$的不等式$k_1x+b_1≥ k_2x+b_2$的解集；
（4）请直接写出关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}k_1x+b_1＞0, \\k_2x+b_2≥0\end{cases}$的解集。
（1）关于$x$的一元一次方程$k_1x+b_1=0$的解是________，关于$x$的一元一次方程$k_2x+b_2=0$的解是________；
（2）关于$x$的一元一次不等式$k_2x+b_2＜0$的解集是________；
（3）若点$C(1,3)$，请直接写出关于$x$的不等式$k_1x+b_1≥ k_2x+b_2$的解集；
（4）请直接写出关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}k_1x+b_1＞0, \\k_2x+b_2≥0\end{cases}$的解集。
答案
(1) $x=-1$ $x=2$
(2) $x＞2$
(3) 不等式$k_1x+b_1≥k_2x+b_2$的解集为$x≥1$. 解析:由题意,得当$x＞1$时,直线$y=k_1x+b_1$在直线$y=k_2x+b_2$的上方;当$x=1$时,两条直线相交,所以不等式$k_1x+b_1≥k_2x+b_2$的解集为$x≥1$.
(4) 不等式组$\begin{cases}k_1x+b_1＞0,\\k_2x+b_2≥0\end{cases}$的解集为$-1＜x≤2$.
解析:由题图,得$k_1x+b_1＞0$的解集为$x＞-1$,$k_2x+b_2≥0$的解集为$x≤2$.所以关于$x$的不等式组$\begin{cases}k_1x+b_1＞0,\\k_2x+b_2≥0\end{cases}$的解集为$-1＜x≤2$.
(2) $x＞2$
(3) 不等式$k_1x+b_1≥k_2x+b_2$的解集为$x≥1$. 解析:由题意,得当$x＞1$时,直线$y=k_1x+b_1$在直线$y=k_2x+b_2$的上方;当$x=1$时,两条直线相交,所以不等式$k_1x+b_1≥k_2x+b_2$的解集为$x≥1$.
(4) 不等式组$\begin{cases}k_1x+b_1＞0,\\k_2x+b_2≥0\end{cases}$的解集为$-1＜x≤2$.
解析:由题图,得$k_1x+b_1＞0$的解集为$x＞-1$,$k_2x+b_2≥0$的解集为$x≤2$.所以关于$x$的不等式组$\begin{cases}k_1x+b_1＞0,\\k_2x+b_2≥0\end{cases}$的解集为$-1＜x≤2$.
3. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=ax+b, \\ y=-x-2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=-4, \\ y=m,\end{cases}$则一次函数$y=ax+b$和$y=-x-2$的图象的交点坐标为 ______ 。
答案
$(-4,2)$ 解析:由题意,把$\begin{cases}x=-4,\\y=m\end{cases}$代入$y=-x-2$中,得$m=-(-4)-2=2$. 所以方程组$\begin{cases}y=ax+b,\\y=-x-2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=-4,\\y=2,\end{cases}$即一次函数$y=ax+b$和$y=-x-2$的图象的交点坐标为$(-4,2)$.
4. 亮点原创·定义:我们把一次函数$y=kx+b(k≠0)$与正比例函数$y=-x$的交点称为一次函数$y=kx+b(k≠0)$的“亮点”.例如:求一次函数$y=-2x-1$的“亮点”,联立方程组$\begin{cases}y=-2x-1, \\ y=-x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1, \\ y=1.\end{cases}$则一次函数$y=-2x-1$的“亮点”为$(-1,1)$.
(1) 一次函数$y=3x-2$的“亮点”为________;
(2) 若一次函数$y=px+q$的“亮点”为$(2,q-3)$,求$p,q$的值;
(3) 若直线$y=kx+3(k≠0)$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,且直线$y=kx+3$上没有“亮点”,点$P$在$x$轴上,使$S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$,求满足条件的点$P$的坐标.
(1) 一次函数$y=3x-2$的“亮点”为________;
(2) 若一次函数$y=px+q$的“亮点”为$(2,q-3)$,求$p,q$的值;
(3) 若直线$y=kx+3(k≠0)$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,且直线$y=kx+3$上没有“亮点”,点$P$在$x$轴上,使$S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$,求满足条件的点$P$的坐标.
答案
(1) $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
(2) 由题意,得点$(2,q-3)$在直线$y=-x$上,所以$q-3=-2$,解得$q=1$. 又点$(2,q-3)$在直线$y=px+q$上,所以$q-3=2p+q$,解得$p=-\frac{3}{2}$. 则$p$的值为$-\frac{3}{2}$,$q$的值为$1$.
(3) 由题意,得直线$y=kx+3$与直线$y=-x$平行,所以直线$y=kx+3$能由直线$y=-x$平移得到,即$k=-1$. 所以$y=-x+3$. 令$x=0$,得$y=3$;令$y=0$,得$-x+3=0$,解得$x=3$. 所以$A(3,0),B(0,3)$. 所以$OA=3$,$OB=3$. 设$P(m,0)$,则$AP=|3-m|$. 因为$S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$,且$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{9}{2}$,所以$\frac{1}{2}AP· OB=\frac{2}{3}×\frac{9}{2}$,即$\frac{3}{2}|m-3|=3$,解得$m=5$或$m=1$. 所以满足条件的点$P$的坐标为$(5,0)$或$(1,0)$.
(2) 由题意,得点$(2,q-3)$在直线$y=-x$上,所以$q-3=-2$,解得$q=1$. 又点$(2,q-3)$在直线$y=px+q$上,所以$q-3=2p+q$,解得$p=-\frac{3}{2}$. 则$p$的值为$-\frac{3}{2}$,$q$的值为$1$.
(3) 由题意,得直线$y=kx+3$与直线$y=-x$平行,所以直线$y=kx+3$能由直线$y=-x$平移得到,即$k=-1$. 所以$y=-x+3$. 令$x=0$,得$y=3$;令$y=0$,得$-x+3=0$,解得$x=3$. 所以$A(3,0),B(0,3)$. 所以$OA=3$,$OB=3$. 设$P(m,0)$,则$AP=|3-m|$. 因为$S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$,且$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{9}{2}$,所以$\frac{1}{2}AP· OB=\frac{2}{3}×\frac{9}{2}$,即$\frac{3}{2}|m-3|=3$,解得$m=5$或$m=1$. 所以满足条件的点$P$的坐标为$(5,0)$或$(1,0)$.
