杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种.在长沙东郊楚墓出土的公元前700年前的文物中,已有各种精制的秤砣、秤杆、秤盘、提纽等.如图,杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成.秤盘固定悬挂在秤杆AB的端点A处,提纽固定在点O处,秤砣悬挂的位置记为点C.杆秤称物符合杠杆原理“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”.

设秤盘的质量为$ m_0 $,秤砣的质量为$ m_1 $,物体的质量为$ m $,$ OA = l_0 $,$ OC = l $.由杠杆原理,得$ l_0 × (m_0 + m) = l × m_1 $.已知$ AB = 55 \, \mathrm{cm} $,$ OA = 4 \, \mathrm{cm} $,$ m_0 = 50 \, \mathrm{g} $,$ m_1 = 200 \, \mathrm{g} $.(秤杆自身的质量忽略不计,秤砣可以悬挂在点B处)
(1) $ l $随着$ m $的变化而变化,求$ l $关于$ m $的函数表达式；
(2) 在秤杆AB上可以标出质量的刻度,求零刻度所对应的点与点O之间的距离；
(3) 在保持秤杆和秤盘不变的基础上,对于提纽O的位置和秤砣的质量,改变其中一个时,另一个保持不变.
① 在下列选项中,能使称重范围变大的有(填写所有正确的选项)；
A. 提纽O的位置向左移 B. 提纽O的位置向右移
C. 秤砣的质量变小 D. 秤砣的质量变大
② 若将提纽O的位置向左移动,使OA的长变为原来的一半,则杆秤的最大称重值为g；
③ 由于生锈,秤砣的质量会变大,导致杆秤称物的质量有偏差,用生锈的秤砣称得一个物体的质量为550 g,且该物体的实际质量为580 g.求生锈秤砣的质量.

(1) 因为$l_0 × (m_0 + m) = l × m_1$，$l_0=OA=4\ \mathrm{cm}$，$m_0=50\ \mathrm{g}$，$m_1=200\ \mathrm{g}$，所以$4(50+m)=200l$，即$l=\frac{1}{50}m+1$.
(2) 因为零刻度时，$m=0\ \mathrm{g}$，所以$l=\frac{1}{50}m+1=1\ \mathrm{cm}$.
所以零刻度所对应的点与点O之间的距离为1 cm.
(3) ① AD
② 5 250 解析: 因为$l_0 × (m_0 + m) = l × m_1$，$l_0=OA=2\ \mathrm{cm}$，$m_0=50\ \mathrm{g}$，$m_1=200\ \mathrm{g}$，$AB=55\ \mathrm{cm}$，所以$OB=55-2=53(\mathrm{cm})$. 当$l=OB=53\ \mathrm{cm}$时，$2(50+m)=53×200$，解得$m=5\ 250\ \mathrm{g}$. 所以将提纽O的位置向左移动，使OA的长变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为5 250 g.
③ 由(1)，得$l=\frac{1}{50}m+1$，令$m=550\ \mathrm{g}$，得$l=\frac{1}{50}×550+1=12(\mathrm{cm})$. 设生锈秤砣的质量为$x\ \mathrm{g}$. 由题意，得$4×(50+580)=12x$，解得$x=210$. 所以生锈秤砣的质量为210 g.