【例题】计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+···+\frac{1}{90}$。
【分析】
分子是$1$、分母是两个相邻自然数的积的分数能拆成两个分数的差，拆分后可以发现，算式中间的很多分数都可以相互抵消，从而进行简便计算。本题中，$\frac{1}{2}$可以拆分为$(1-\frac{1}{2})$，$\frac{1}{6}$可以拆分为$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$，$\frac{1}{12}$可以拆分为$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$，$···$，$\frac{1}{90}$可以拆分为$(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})$。整个式子展开为$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+···+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$，相互抵消后原式$=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$。
【解答】

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+··· +\frac{1}{90}=\frac{1}{1× 2}+\frac{1}{2× 3}+\frac{1}{3× 4}+··· +\frac{1}{9× 10}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+··· +(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+··· +\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$

1. 计算：$1-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}-\frac{1}{56}-\frac{1}{72}-\frac{1}{90}-\frac{1}{110}-\frac{1}{132}$。

1. $1-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}-\frac{1}{56}-\frac{1}{72}-\frac{1}{90}-\frac{1}{110}-\frac{1}{132}=1-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})-··· -(\frac{1}{11}-\frac{1}{12})=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-··· -\frac{1}{11}+\frac{1}{12}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{5}{6}$

2. 计算：$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+\frac{2}{7×9}+···+\frac{2}{97×99}$。

2. $\frac{2}{1× 3}+\frac{2}{3× 5}+\frac{2}{5× 7}+\frac{2}{7× 9}+··· +\frac{2}{97× 99}=(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+··· +(\frac{1}{97}-\frac{1}{99})=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+··· +\frac{1}{97}-\frac{1}{99}=1-\frac{1}{99}=\frac{98}{99}$

3. 计算：$\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+···+\frac{1}{10100}$。

3. $\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+··· +\frac{1}{10100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4× 5}+\frac{1}{5× 6}+··· +\frac{1}{100× 101}=\frac{1}{4}+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+··· +(\frac{1}{100}-\frac{1}{101})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{101}=\frac{1}{2}-\frac{1}{101}=\frac{99}{202}$
提示：以$\frac{1}{20}$为例，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4× 5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，将变形后的式子相加，发现中间很多项都可以相互抵消，再对剩下的分数进行计算。

4. 计算：$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{15}{16}+\frac{31}{32}+\frac{63}{64}+\frac{127}{128}$。

4. $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{15}{16}+\frac{31}{32}+\frac{63}{64}+\frac{127}{128}=1-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{8}+1-\frac{1}{16}+1-\frac{1}{32}+1-\frac{1}{64}+1-\frac{1}{128}=(1+1+1+1+1+1+1)-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128})=7-(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}+\frac{1}{64}-\frac{1}{128})=7-(1-\frac{1}{128})=7-1+\frac{1}{128}=6\frac{1}{128}$
提示：根据$\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{2n}$（$n$是不为$0$的自然数），将给出的算式进行变形，互相消去，运用规律即可简算。