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1.若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0, \\ 2x - 2 ＜ 1 - x\end{cases}$有解，则$a$的取值范围为 （ ）
A.$a＞1$
B.$a＜1$
C.$a≥1$
D.$a≤1$
A.$a＞1$
B.$a＜1$
C.$a≥1$
D.$a≤1$
答案
1.B
解析
【分析】
解决这类带参数的一元一次不等式组有解的问题，思路分为三步：第一步先分别解出不等式组中两个不等式的解集；第二步回忆不等式组有解的判定规则：两个解集需要存在公共部分；第三步结合两个解集的形式，推导参数的取值范围，注意单独验证等号是否符合题意。
【解析】
1. 解第一个不等式$x - a ＞ 0$：
移项可得$x ＞ a$。
2. 解第二个不等式$2x - 2 ＜ 1 - x$：
移项得$2x + x ＜ 1 + 2$，合并同类项得$3x ＜ 3$，系数化为1得$x ＜ 1$。
3. 结合不等式组有解的条件判断：
不等式组有解说明$x ＞ a$和$x ＜ 1$存在公共部分，若$a≥1$，则两个解集无公共交集，不等式组无解，因此可得$a ＜ 1$。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式、一元一次不等式组的解集判定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础常考题，易错点是容易误判等号的取值，遇到这类问题时只要单独验证等号是否符合“有解”的条件，就可以避免出错。
【难度系数】
0.7
解决这类带参数的一元一次不等式组有解的问题，思路分为三步：第一步先分别解出不等式组中两个不等式的解集；第二步回忆不等式组有解的判定规则：两个解集需要存在公共部分；第三步结合两个解集的形式，推导参数的取值范围，注意单独验证等号是否符合题意。
【解析】
1. 解第一个不等式$x - a ＞ 0$：
移项可得$x ＞ a$。
2. 解第二个不等式$2x - 2 ＜ 1 - x$：
移项得$2x + x ＜ 1 + 2$，合并同类项得$3x ＜ 3$，系数化为1得$x ＜ 1$。
3. 结合不等式组有解的条件判断：
不等式组有解说明$x ＞ a$和$x ＜ 1$存在公共部分，若$a≥1$，则两个解集无公共交集，不等式组无解，因此可得$a ＜ 1$。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式、一元一次不等式组的解集判定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础常考题，易错点是容易误判等号的取值，遇到这类问题时只要单独验证等号是否符合“有解”的条件，就可以避免出错。
【难度系数】
0.7
2.已知方程组$\begin{cases}3x+y=k+1,\\x+3y=3\end{cases}$的解满足$x+y＜1$，则$k$的取值范围是（ ）
A.$k＜-3$
B.$k＞-3$
C.$k＜0$
D.$k＞0$
A.$k＜-3$
B.$k＞-3$
C.$k＜0$
D.$k＞0$
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察方程组中两个方程x、y的系数特征：两个方程x的系数和为3+1=4，y的系数和为1+3=4，因此可以将两个方程左右两边直接相加，得到x+y的整体表达式，再代入不等式x+y＜1，即可求解k的取值范围，该方法比单独求解x、y的值更简便。
【解析】
记$\begin{cases}3x+y=k+1&①\\x+3y=3&②\end{cases}$，
将①+②，左右两边分别相加得：
$3x+y+x+3y=k+1+3$
合并同类项得：$4x+4y=k+4$
两边同时除以4得：$x+y=\frac{k+4}{4}$
已知$x+y＜1$，将上式代入不等式得：
$\frac{k+4}{4}＜1$
两边同时乘4得：$k+4＜4$
移项化简得：$k＜0$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组化简、解一元一次不等式、整体代换思想
【点评】
本题重点考查对代数式系数的观察能力，不需要单独求解x、y的取值，运用整体相加的方法得到x+y的表达式可简化计算，同时考查一元一次不等式的求解能力，是一类典型的结合方程组与不等式的题型。
【难度系数】
0.7
首先观察方程组中两个方程x、y的系数特征：两个方程x的系数和为3+1=4，y的系数和为1+3=4，因此可以将两个方程左右两边直接相加，得到x+y的整体表达式，再代入不等式x+y＜1，即可求解k的取值范围，该方法比单独求解x、y的值更简便。
【解析】
记$\begin{cases}3x+y=k+1&①\\x+3y=3&②\end{cases}$，
将①+②，左右两边分别相加得：
$3x+y+x+3y=k+1+3$
合并同类项得：$4x+4y=k+4$
两边同时除以4得：$x+y=\frac{k+4}{4}$
已知$x+y＜1$，将上式代入不等式得：
$\frac{k+4}{4}＜1$
两边同时乘4得：$k+4＜4$
移项化简得：$k＜0$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组化简、解一元一次不等式、整体代换思想
【点评】
本题重点考查对代数式系数的观察能力，不需要单独求解x、y的取值，运用整体相加的方法得到x+y的表达式可简化计算，同时考查一元一次不等式的求解能力，是一类典型的结合方程组与不等式的题型。
【难度系数】
0.7
3. 下列各式中,是不等式的是 （
A.$x=3$
B.$x-1＞0$
C.$x+y=1$
D.$4x+5$
B
）A.$x=3$
B.$x-1＞0$
C.$x+y=1$
D.$4x+5$
答案
3.B
解析
【分析】
解这道题首先要明确不等式的定义，判断不等式的核心是式子需用不等号连接、表示不等关系。解题时我们先回忆不等式、等式、代数式的区别，再逐个分析四个选项，排除不符合不等式定义的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接，表示不等关系的式子；
2. 等式：用等号连接，表示相等关系的式子；
3. 代数式：由数和字母经有限次代数运算得到的式子，不含等号或不等号。
逐一分析选项：
A. $x=3$ 用等号连接，是等式，不是不等式；
B. $x-1＞0$ 用大于号连接，表示不等关系，符合不等式的定义，是不等式；
C. $x+y=1$ 用等号连接，是等式，不是不等式；
D. $4x+5$ 是代数式，不含不等号或等号，不是不等式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
不等式的定义、等式的识别、代数式的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要牢记各类式子的核心特征，尤其是不等式必须含有不等号这一关键点，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要明确不等式的定义，判断不等式的核心是式子需用不等号连接、表示不等关系。解题时我们先回忆不等式、等式、代数式的区别，再逐个分析四个选项，排除不符合不等式定义的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接，表示不等关系的式子；
2. 等式：用等号连接，表示相等关系的式子；
3. 代数式：由数和字母经有限次代数运算得到的式子，不含等号或不等号。
逐一分析选项：
A. $x=3$ 用等号连接，是等式，不是不等式；
B. $x-1＞0$ 用大于号连接，表示不等关系，符合不等式的定义，是不等式；
C. $x+y=1$ 用等号连接，是等式，不是不等式；
D. $4x+5$ 是代数式，不含不等号或等号，不是不等式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
不等式的定义、等式的识别、代数式的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要牢记各类式子的核心特征，尤其是不等式必须含有不等号这一关键点，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
4. 在$□ ABCD$中,如果$∠ A+∠ C=140°$,那么$∠ C$的大小是 （
A.$20°$
B.$40°$
C.$70°$
D.$75°$
C
）A.$20°$
B.$40°$
C.$70°$
D.$75°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形的角的相关性质，平行四边形的两组对角分别相等，题中给出了∠A与∠C的和，而∠A和∠C是平行四边形的一组对角，二者大小相等，因此用两个角的和除以2即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A = ∠C（平行四边形的对角相等），
又已知∠A + ∠C = 140°，
代入得2∠C = 140°，
解得∠C = 70°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形的基本性质，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平行四边形的角的相关性质，平行四边形的两组对角分别相等，题中给出了∠A与∠C的和，而∠A和∠C是平行四边形的一组对角，二者大小相等，因此用两个角的和除以2即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A = ∠C（平行四边形的对角相等），
又已知∠A + ∠C = 140°，
代入得2∠C = 140°，
解得∠C = 70°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形的基本性质，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，则点C的坐标为（
A.$(-\sqrt{3},1)$
B.$(-1,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},1)$
D.$(-\sqrt{3},-1)$
（第5题）
A
）A.$(-\sqrt{3},1)$
B.$(-1,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},1)$
D.$(-\sqrt{3},-1)$
（第5题）答案
5.A
解析
【分析】
要确定点C的坐标，可利用正方形的性质：OA与OC长度相等，且∠AOC=90°，通过构造直角三角形证明全等，推导点C到坐标轴的距离，结合象限符号特征得到坐标。具体思考路径：1. 分别过A、C作x轴的垂线，构造两个直角三角形；2. 利用同角的余角相等得到一组对应角相等，结合OA=OC、直角相等，证明两个三角形全等；3. 由点A的坐标得到对应直角边的长度，对应得到点C横、纵坐标的绝对值，再根据第二象限的坐标符号特征得到最终坐标。
【解析】
过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F。
∴∠OFC=∠AEO=90°，可得∠OCF + ∠COF = 90°。
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，
∴∠COF + ∠AOE = 90°，
∴∠OCF = ∠AOE。
在△OCF和△AOE中：
$\{\begin{array}{l}∠OFC=∠AEO \\∠OCF=∠AOE \\OC=OA\end{array} $
∴△OCF≌△AOE（AAS）。
∵点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，
∴OE=1，AE=$\sqrt{3}$，
由全等性质得：OF=AE=$\sqrt{3}$，CF=OE=1，
又
∵点C在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，
∴点C的坐标为$(-\sqrt{3},1)$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系和几何性质结合的基础题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将已知点的坐标转化为所求点到坐标轴的距离，解题时注意不要忽略象限对应的坐标符号。
【难度系数】
0.7
要确定点C的坐标，可利用正方形的性质：OA与OC长度相等，且∠AOC=90°，通过构造直角三角形证明全等，推导点C到坐标轴的距离，结合象限符号特征得到坐标。具体思考路径：1. 分别过A、C作x轴的垂线，构造两个直角三角形；2. 利用同角的余角相等得到一组对应角相等，结合OA=OC、直角相等，证明两个三角形全等；3. 由点A的坐标得到对应直角边的长度，对应得到点C横、纵坐标的绝对值，再根据第二象限的坐标符号特征得到最终坐标。
【解析】
过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F。
∴∠OFC=∠AEO=90°，可得∠OCF + ∠COF = 90°。
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，
∴∠COF + ∠AOE = 90°，
∴∠OCF = ∠AOE。
在△OCF和△AOE中：
$\{\begin{array}{l}∠OFC=∠AEO \\∠OCF=∠AOE \\OC=OA\end{array} $
∴△OCF≌△AOE（AAS）。
∵点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，
∴OE=1，AE=$\sqrt{3}$，
由全等性质得：OF=AE=$\sqrt{3}$，CF=OE=1，
又
∵点C在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，
∴点C的坐标为$(-\sqrt{3},1)$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系和几何性质结合的基础题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将已知点的坐标转化为所求点到坐标轴的距离，解题时注意不要忽略象限对应的坐标符号。
【难度系数】
0.7
6.有下列四个命题:①若三角形三边的比为$1:1:\sqrt{2}$,则它是等腰直角三角形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③对角线互相平分且相等的四边形是矩形;④两个邻角相等的平行四边形是矩形.其中真命题的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.D
解析
【分析】
要确定真命题的个数，我们需要逐个分析4个命题的正确性：先结合勾股定理逆定理和等腰三角形的定义判断命题①，再结合矩形的判定定理、平行四边形的性质分别判断命题②③④，最后统计真命题的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个验证命题：
1. 命题①：设三角形三边长分别为$a$、$a$、$\sqrt{2}a$（$a＞0$），由勾股定理逆定理可得$a^2+a^2=(\sqrt{2}a)^2$，说明该三角形是直角三角形，又有两条边长相等，因此它是等腰直角三角形，①为真命题。
2. 命题②：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，②为真命题。
3. 命题③：对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上对角线相等的平行四边形是矩形，因此对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③为真命题。
4. 命题④：平行四边形的邻角互补（和为$180°$），若两个邻角相等，则每个邻角的度数为$180°÷2=90°$，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，因此④为真命题。
4个命题均为真命题，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查特殊三角形和特殊四边形的基础判定，解题时只要熟练掌握相关性质和判定定理，逐个验证命题即可，注意不要混淆不同图形的判定条件。
【难度系数】
0.8
要确定真命题的个数，我们需要逐个分析4个命题的正确性：先结合勾股定理逆定理和等腰三角形的定义判断命题①，再结合矩形的判定定理、平行四边形的性质分别判断命题②③④，最后统计真命题的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个验证命题：
1. 命题①：设三角形三边长分别为$a$、$a$、$\sqrt{2}a$（$a＞0$），由勾股定理逆定理可得$a^2+a^2=(\sqrt{2}a)^2$，说明该三角形是直角三角形，又有两条边长相等，因此它是等腰直角三角形，①为真命题。
2. 命题②：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，②为真命题。
3. 命题③：对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上对角线相等的平行四边形是矩形，因此对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③为真命题。
4. 命题④：平行四边形的邻角互补（和为$180°$），若两个邻角相等，则每个邻角的度数为$180°÷2=90°$，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，因此④为真命题。
4个命题均为真命题，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查特殊三角形和特殊四边形的基础判定，解题时只要熟练掌握相关性质和判定定理，逐个验证命题即可，注意不要混淆不同图形的判定条件。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=6,折叠纸片使边AD落在对角线BD上,折痕为DG,则AG的长是 （
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再结合折叠的性质得到相等的边和直角，设AG的长度为未知数，将相关线段用含未知数的式子表示，最后在直角三角形A'GB中利用勾股定理列方程求解即可。
第一步：矩形中∠A为直角，已知AD、AB长度，用勾股定理计算BD的长度；第二步：根据折叠前后图形全等的性质，得到A'D=AD，A'G=AG，∠DA'G=90°，进而算出A'B的长度；第三步：设AG为x，用x表示出GB的长度，在Rt△A'GB中列勾股定理方程，解方程得到x的值即为AG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABD中，AB=8，AD=6，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
由折叠的性质可知$△ ADG ≌ △ A'DG$，
∴$A'D=AD=6$，$A'G=AG$，$∠ DA'G=∠ A=90°$，
∴$∠ GA'B=180°-∠ DA'G=90°$，$A'B=BD-A'D=10-6=4$，
设$AG=x$，则$A'G=x$，$GB=AB-AG=8-x$，
在$Rt△ A'GB$中，由勾股定理得：
$A'G^2 + A'B^2 = GB^2$，
代入得$x^2 + 4^2 = (8-x)^2$，
展开得$x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，
化简得$16x=48$，
解得$x=3$，即$AG=3$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类典型习题，将图形折叠的全等性质与矩形特征、勾股定理结合考查，通过设未知数列方程求解线段长度是这类题的常用解题思路，解题时要注意找准折叠后对应的相等边和角。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再结合折叠的性质得到相等的边和直角，设AG的长度为未知数，将相关线段用含未知数的式子表示，最后在直角三角形A'GB中利用勾股定理列方程求解即可。
第一步：矩形中∠A为直角，已知AD、AB长度，用勾股定理计算BD的长度；第二步：根据折叠前后图形全等的性质，得到A'D=AD，A'G=AG，∠DA'G=90°，进而算出A'B的长度；第三步：设AG为x，用x表示出GB的长度，在Rt△A'GB中列勾股定理方程，解方程得到x的值即为AG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABD中，AB=8，AD=6，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
由折叠的性质可知$△ ADG ≌ △ A'DG$，
∴$A'D=AD=6$，$A'G=AG$，$∠ DA'G=∠ A=90°$，
∴$∠ GA'B=180°-∠ DA'G=90°$，$A'B=BD-A'D=10-6=4$，
设$AG=x$，则$A'G=x$，$GB=AB-AG=8-x$，
在$Rt△ A'GB$中，由勾股定理得：
$A'G^2 + A'B^2 = GB^2$，
代入得$x^2 + 4^2 = (8-x)^2$，
展开得$x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，
化简得$16x=48$，
解得$x=3$，即$AG=3$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类典型习题，将图形折叠的全等性质与矩形特征、勾股定理结合考查，通过设未知数列方程求解线段长度是这类题的常用解题思路，解题时要注意找准折叠后对应的相等边和角。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在四边形ABCD中，$∠ ABC = ∠ ADC = 90°$，M，N分别是AC，BD的中点，AC=12，BD=8，则MN的长是（
A.4
B.$4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{7}$
C
）A.4
B.$4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{7}$
答案
8.C
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知△ABC和△ADC都是直角三角形，且二者共享斜边AC，M是AC中点，我们可以先连接BM、DM，利用直角三角形斜边中线的性质得到BM和DM的长度，可知△BMD是等腰三角形；再结合N是BD中点的条件，根据等腰三角形三线合一的性质，可得MN垂直于BD，最后在直角三角形BMN中用勾股定理计算MN的长度即可。
【解析】
解：连接BM、DM。
∵∠ABC=90°，M是AC的中点，
∴在Rt△ABC中，BM=$\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，M是AC中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴BM=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12=6。
又
∵N是BD的中点，△BMD为等腰三角形，
∴MN⊥BD，BN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4（等腰三角形三线合一）。
在Rt△BMN中，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{BM^2-BN^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线BM、DM，将已知条件和直角三角形、等腰三角形的性质结合起来，再利用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，已知△ABC和△ADC都是直角三角形，且二者共享斜边AC，M是AC中点，我们可以先连接BM、DM，利用直角三角形斜边中线的性质得到BM和DM的长度，可知△BMD是等腰三角形；再结合N是BD中点的条件，根据等腰三角形三线合一的性质，可得MN垂直于BD，最后在直角三角形BMN中用勾股定理计算MN的长度即可。
【解析】
解：连接BM、DM。
∵∠ABC=90°，M是AC的中点，
∴在Rt△ABC中，BM=$\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，M是AC中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴BM=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12=6。
又
∵N是BD的中点，△BMD为等腰三角形，
∴MN⊥BD，BN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4（等腰三角形三线合一）。
在Rt△BMN中，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{BM^2-BN^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线BM、DM，将已知条件和直角三角形、等腰三角形的性质结合起来，再利用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,要使四边形EFGH是矩形,则四边形ABCD只需要满足的一个条件是 (
A.$AD=BC$
B.$AC=BD$
C.$AC⊥BD$
D.$AD⊥BC$
D
)A.$AD=BC$
B.$AC=BD$
C.$AC⊥BD$
D.$AD⊥BC$
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中位线定理分析四边形EFGH的边的关系，先证明它是平行四边形，再结合矩形“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”的判定条件，推导需要满足的垂直关系，对应选项选出正确答案。首先看各中点连线对应的中位线：EF、HG分别是△ABD、△ACD的中位线，可得EF和HG都平行且等于AD的一半，先确定EFGH是平行四边形；再看另一组邻边EH是△ABC的中位线，平行于BC，要让平行四边形的邻边垂直，只需让AD和BC垂直即可。
【解析】
解：①根据三角形中位线定理：
∵E是AB中点，F是BD中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴$EF// AD$，$EF=\frac{1}{2}AD$；
同理，G是CD中点，H是AC中点，
∴HG是△ACD的中位线，
∴$HG// AD$，$HG=\frac{1}{2}AD$；
∴$EF// HG$且$EF=HG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
②再看邻边EH：
∵E是AB中点，H是AC中点，
∴EH是△ABC的中位线，
∴$EH// BC$。
③要使平行四边形EFGH为矩形，需要有一个内角为直角，即$EF⊥ EH$：
∵$EF// AD$，$EH// BC$，
∴当$AD⊥ BC$时，$EF⊥ EH$，此时平行四边形EFGH有一个内角为90°，是矩形，符合要求。
其他选项分析：A选项$AD=BC$可得$EF=EH$，平行四边形为菱形；B、C选项均无法推导出平行四边形EFGH的邻边垂直，不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形判定，矩形判定
【点评】
本题结合中位线定理考查特殊四边形的判定，解题时要先明确四边形EFGH的边和原四边形边的对应关系，不要和常规四边中点构成的中点四边形混淆，找准垂直对应的边的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用三角形中位线定理分析四边形EFGH的边的关系，先证明它是平行四边形，再结合矩形“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”的判定条件，推导需要满足的垂直关系，对应选项选出正确答案。首先看各中点连线对应的中位线：EF、HG分别是△ABD、△ACD的中位线，可得EF和HG都平行且等于AD的一半，先确定EFGH是平行四边形；再看另一组邻边EH是△ABC的中位线，平行于BC，要让平行四边形的邻边垂直，只需让AD和BC垂直即可。
【解析】
解：①根据三角形中位线定理：
∵E是AB中点，F是BD中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴$EF// AD$，$EF=\frac{1}{2}AD$；
同理，G是CD中点，H是AC中点，
∴HG是△ACD的中位线，
∴$HG// AD$，$HG=\frac{1}{2}AD$；
∴$EF// HG$且$EF=HG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
②再看邻边EH：
∵E是AB中点，H是AC中点，
∴EH是△ABC的中位线，
∴$EH// BC$。
③要使平行四边形EFGH为矩形，需要有一个内角为直角，即$EF⊥ EH$：
∵$EF// AD$，$EH// BC$，
∴当$AD⊥ BC$时，$EF⊥ EH$，此时平行四边形EFGH有一个内角为90°，是矩形，符合要求。
其他选项分析：A选项$AD=BC$可得$EF=EH$，平行四边形为菱形；B、C选项均无法推导出平行四边形EFGH的邻边垂直，不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形判定，矩形判定
【点评】
本题结合中位线定理考查特殊四边形的判定，解题时要先明确四边形EFGH的边和原四边形边的对应关系，不要和常规四边中点构成的中点四边形混淆，找准垂直对应的边的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.6
10.如图,在边长为4的正方形ABCD中,将△ABD沿射线BD平移,得到△EGF,连接EC,GC.则EC+GC的最小值是（
A.$4\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{5}$
D.$6\sqrt{2}$
A
）A.$4\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{5}$
D.$6\sqrt{2}$
答案
10.A
解析
【分析】
解题时先利用平移的性质确定动点的运动轨迹：△ABD沿射线BD平移时，点B的对应点G在对角线BD所在直线上，再将EC和GC的长度转化为直线上动点G到两个定点的距离之和，这属于典型的将军饮马最短路径问题，只需作其中一个定点关于直线BD的对称点，根据两点之间线段最短，计算对称点到另一个定点的距离即可得到最小值。
【解析】
建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(4,0)，A(0,4)，D(4,4)，则正方形对角线BD所在直线的解析式为y=x。
由平移的性质可知，平移后点B的对应点G在直线y=x上，设G(k,k)；又EG与AB平行且相等，AB长度为4、方向竖直，故点E的坐标为(k, k+4)。
根据勾股定理推导的两点间距离公式：
$GC = \sqrt{(k-4)^2 + (k-0)^2}$，即G到定点C(4,0)的距离；
$EC = \sqrt{(k-4)^2 + (k+4 - 0)^2} = \sqrt{(k-4)^2 + (k - (-4))^2}$，即G到定点N(4,-4)的距离。
因此$EC+GC$可转化为直线y=x上的动点G到定点C(4,0)、N(4,-4)的距离之和。
作点C关于直线y=x的对称点C'，关于y=x对称的点横纵坐标互换，得C'(0,4)。根据对称性质，$GC=GC'$，故$EC+GC=GN+GC'$，当且仅当C'、G、N三点共线时，和最小，最小值为线段C'N的长度。
用勾股定理计算C'N：
$C'N = \sqrt{(4-0)^2 + (-4-4)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题综合考察平移性质、最短路径模型和勾股定理的应用，解题核心是将待求线段和转化为将军饮马模型，利用对称法将折线段转化为直线段求解，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.6
解题时先利用平移的性质确定动点的运动轨迹：△ABD沿射线BD平移时，点B的对应点G在对角线BD所在直线上，再将EC和GC的长度转化为直线上动点G到两个定点的距离之和，这属于典型的将军饮马最短路径问题，只需作其中一个定点关于直线BD的对称点，根据两点之间线段最短，计算对称点到另一个定点的距离即可得到最小值。
【解析】
建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(4,0)，A(0,4)，D(4,4)，则正方形对角线BD所在直线的解析式为y=x。
由平移的性质可知，平移后点B的对应点G在直线y=x上，设G(k,k)；又EG与AB平行且相等，AB长度为4、方向竖直，故点E的坐标为(k, k+4)。
根据勾股定理推导的两点间距离公式：
$GC = \sqrt{(k-4)^2 + (k-0)^2}$，即G到定点C(4,0)的距离；
$EC = \sqrt{(k-4)^2 + (k+4 - 0)^2} = \sqrt{(k-4)^2 + (k - (-4))^2}$，即G到定点N(4,-4)的距离。
因此$EC+GC$可转化为直线y=x上的动点G到定点C(4,0)、N(4,-4)的距离之和。
作点C关于直线y=x的对称点C'，关于y=x对称的点横纵坐标互换，得C'(0,4)。根据对称性质，$GC=GC'$，故$EC+GC=GN+GC'$，当且仅当C'、G、N三点共线时，和最小，最小值为线段C'N的长度。
用勾股定理计算C'N：
$C'N = \sqrt{(4-0)^2 + (-4-4)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题综合考察平移性质、最短路径模型和勾股定理的应用，解题核心是将待求线段和转化为将军饮马模型，利用对称法将折线段转化为直线段求解，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.6
11. 如果$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+5$，那么$y^x$的值是
25
，答案
11.25
解析
【分析】
要计算$y^x$的值，需先确定$x$的取值：式中出现两个二次根式$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$，根据二次根式有意义的规则，被开方数必须是非负数，据此可列出关于$x$的不等式组，解出唯一的$x$值后，代入原式求出$y$的值，最后代入$y^x$计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥2$，解第二个不等式得$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入原式$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+5$，得：
$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+5=0+0+5=5$
则$y^x=5^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值、有理数的乘方
【点评】
本题属于基础常考题，解题的核心是抓住二次根式被开方数的非负性确定未知数的取值，再代入计算即可，掌握这一性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要计算$y^x$的值，需先确定$x$的取值：式中出现两个二次根式$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$，根据二次根式有意义的规则，被开方数必须是非负数，据此可列出关于$x$的不等式组，解出唯一的$x$值后，代入原式求出$y$的值，最后代入$y^x$计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥2$，解第二个不等式得$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入原式$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+5$，得：
$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+5=0+0+5=5$
则$y^x=5^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值、有理数的乘方
【点评】
本题属于基础常考题，解题的核心是抓住二次根式被开方数的非负性确定未知数的取值，再代入计算即可，掌握这一性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
12.若关于$x$的不等式$(1-a)x＞3$可化为$x＜\dfrac{3}{1-a}$，则$a$的取值范围是
$a＞1$
.答案
12.$a＞1$
解析
【分析】
首先回忆不等式的基本性质：不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变。本题中原不等式$(1-a)x＞3$变形为$x＜\dfrac{3}{1-a}$时，不等号方向发生了改变，说明两边除以的系数$(1-a)$是负数，据此列出关于$a$的不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 不等式$(1-a)x＞3$化为$x＜\dfrac{3}{1-a}$时，不等号方向发生了改变，
根据不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
$\therefore 1-a＜0$，
解该不等式：
移项得$-a＜-1$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a＞1$。
【答案】
$a＞1$
【知识点】
不等式的基本性质，解一元一次不等式
【点评】
本题解题的核心是抓住不等号方向的变化，判断出未知系数的正负，是对不等式性质的基础应用，做题时要牢记不等号方向改变时，乘除的数一定是负数。
【难度系数】
0.8
首先回忆不等式的基本性质：不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变。本题中原不等式$(1-a)x＞3$变形为$x＜\dfrac{3}{1-a}$时，不等号方向发生了改变，说明两边除以的系数$(1-a)$是负数，据此列出关于$a$的不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 不等式$(1-a)x＞3$化为$x＜\dfrac{3}{1-a}$时，不等号方向发生了改变，
根据不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
$\therefore 1-a＜0$，
解该不等式：
移项得$-a＜-1$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a＞1$。
【答案】
$a＞1$
【知识点】
不等式的基本性质，解一元一次不等式
【点评】
本题解题的核心是抓住不等号方向的变化，判断出未知系数的正负，是对不等式性质的基础应用，做题时要牢记不等号方向改变时，乘除的数一定是负数。
【难度系数】
0.8
