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10. 如图，在三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC长度的最小值是
4.8
。答案
10.4.8
解析
【分析】
要找到线段PC的最小值，首先依据点到直线的所有连线中垂线段最短的性质，可以确定当PC垂直于AB时，PC的长度是最小的。接下来只需计算此时PC的长度即可，我们可以利用直角三角形面积的两种计算方式：一种是用两条直角边的乘积除以2，另一种是用斜边乘斜边上的高再除以2，通过等面积法就能求出PC的长度，解题过程完全使用七年级已学知识，无需超纲内容。
【解析】
根据垂线段最短的性质可得：当$CP ⊥ AB$时，线段$PC$的长度最小。
已知$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
$△ ABC$的面积也可以表示为以AB为底、PC为高的形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × PC$
把$AB=10$、$S_{△ ABC}=24$代入式子：
$\frac{1}{2} × 10 × PC = 24$
化简计算得：$5PC=24$，解得$PC=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短、三角形面积计算、等面积法求高
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题关键是先确定PC取最小值的位置，再灵活运用三角形面积的不同表示方法求解对应高，主要考查对基础几何性质和面积公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
要找到线段PC的最小值，首先依据点到直线的所有连线中垂线段最短的性质，可以确定当PC垂直于AB时，PC的长度是最小的。接下来只需计算此时PC的长度即可，我们可以利用直角三角形面积的两种计算方式：一种是用两条直角边的乘积除以2，另一种是用斜边乘斜边上的高再除以2，通过等面积法就能求出PC的长度，解题过程完全使用七年级已学知识，无需超纲内容。
【解析】
根据垂线段最短的性质可得：当$CP ⊥ AB$时，线段$PC$的长度最小。
已知$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
$△ ABC$的面积也可以表示为以AB为底、PC为高的形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × PC$
把$AB=10$、$S_{△ ABC}=24$代入式子：
$\frac{1}{2} × 10 × PC = 24$
化简计算得：$5PC=24$，解得$PC=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短、三角形面积计算、等面积法求高
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题关键是先确定PC取最小值的位置，再灵活运用三角形面积的不同表示方法求解对应高，主要考查对基础几何性质和面积公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
11. 将命题“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果……那么……”的形式：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
.答案
11. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
解析
【分析】
要把命题改写成“如果……那么……”的形式，首先要明确命题的组成规则：“如果”后面接题设（也就是已知条件），“那么”后面接结论（也就是由已知条件推出的结果）。首先分析原命题“同旁内角互补，两直线平行”，题设是“同旁内角互补”，但同旁内角是两条直线被第三条直线所截才会产生的角，这个隐含的前提需要补充完整，结论是“两直线平行”，最后按照格式把内容组合起来即可。
【解析】
1. 拆分命题结构：首先提取原命题的题设和结论，题设为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”；
2. 补充隐含前提：同旁内角的定义是两条直线被第三条直线所截形成的角，因此需要先补充前提“两条直线被第三条直线所截”；
3. 按格式组合语句：将前提放在最前，“如果”后接题设，“那么”后接结论，完成改写。
【答案】
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
【知识点】
命题的改写，平行线的判定，同旁内角的概念
【点评】
本题是基础类考题，主要考查命题改写的基本方法，解题的关键是准确区分命题的题设和结论，同时注意补全命题中省略的隐含前提，保证表述的严谨性。
【难度系数】
0.8
要把命题改写成“如果……那么……”的形式，首先要明确命题的组成规则：“如果”后面接题设（也就是已知条件），“那么”后面接结论（也就是由已知条件推出的结果）。首先分析原命题“同旁内角互补，两直线平行”，题设是“同旁内角互补”，但同旁内角是两条直线被第三条直线所截才会产生的角，这个隐含的前提需要补充完整，结论是“两直线平行”，最后按照格式把内容组合起来即可。
【解析】
1. 拆分命题结构：首先提取原命题的题设和结论，题设为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”；
2. 补充隐含前提：同旁内角的定义是两条直线被第三条直线所截形成的角，因此需要先补充前提“两条直线被第三条直线所截”；
3. 按格式组合语句：将前提放在最前，“如果”后接题设，“那么”后接结论，完成改写。
【答案】
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
【知识点】
命题的改写，平行线的判定，同旁内角的概念
【点评】
本题是基础类考题，主要考查命题改写的基本方法，解题的关键是准确区分命题的题设和结论，同时注意补全命题中省略的隐含前提，保证表述的严谨性。
【难度系数】
0.8
三、解答题
12. 如图，直线CD与直线AB相交于点C，P为直线外一点.
（1）过点P作$PQ// CD$，交AB于点Q，过点P作$PR⊥ CD$，垂足为R；
（2）若$∠ ACD＝60°$，猜想$∠ PQC$是多少度，并说明理由.
12. 如图，直线CD与直线AB相交于点C，P为直线外一点.
（1）过点P作$PQ// CD$，交AB于点Q，过点P作$PR⊥ CD$，垂足为R；
（2）若$∠ ACD＝60°$，猜想$∠ PQC$是多少度，并说明理由.
答案
12. 解：（1）如图，直线PQ和线段PR即为所求作.
（2）$∠ PQC=60°$. 理由：因为$CD // PQ$，$∠ ACD = 60°$，所以$∠ PQC = ∠ ACD = 60°$.
解析
【分析】
（1）作图部分：作平行线可采用平移三角板的方法：先把三角板的一条直角边与CD重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，平移三角板直到其直角边经过点P，沿该直角边画直线交AB于Q，即可得到PQ//CD；作垂线时，把三角板的一条直角边与CD重合，移动三角板使另一条直角边过点P，沿该直角边画线段交CD于R，标注直角符号即可得到PR⊥CD。
（2）求角度部分：已知PQ//CD，结合平行线的性质，找到∠ACD和∠PQC是直线AB截两条平行线CD、PQ形成的同位角，根据两直线平行同位角相等，即可推出两个角相等，代入已知角度就能得到结果。
【解析】
（1）作图步骤：
① 过点P用平移三角板法作PQ//CD，交AB于点Q；
② 过点P作PR⊥CD，垂足为R，标注直角符号，直线PQ、线段PR即为所求。
（2）推导过程：
已知所作PQ//CD，∠ACD和∠PQC是直线AB截CD、PQ得到的同位角，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，可得∠PQC=∠ACD，又已知∠ACD=60°，因此∠PQC=60°。
【答案】
（1）如图，直线PQ和线段PR即为所求作.
（2）$∠ PQC=60°$. 理由：因为$CD // PQ$，$∠ ACD = 60°$，所以$∠ PQC = ∠ ACD = 60°$.
【知识点】
平行线的画法；垂线的画法；平行线的性质
【点评】
本题考查几何基本作图能力和平行线性质的应用，核心是掌握基本作图的操作规范，能准确识别平行线形成的同位角，结合性质求解角度。
【难度系数】
0.8
（1）作图部分：作平行线可采用平移三角板的方法：先把三角板的一条直角边与CD重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，平移三角板直到其直角边经过点P，沿该直角边画直线交AB于Q，即可得到PQ//CD；作垂线时，把三角板的一条直角边与CD重合，移动三角板使另一条直角边过点P，沿该直角边画线段交CD于R，标注直角符号即可得到PR⊥CD。
（2）求角度部分：已知PQ//CD，结合平行线的性质，找到∠ACD和∠PQC是直线AB截两条平行线CD、PQ形成的同位角，根据两直线平行同位角相等，即可推出两个角相等，代入已知角度就能得到结果。
【解析】
（1）作图步骤：
① 过点P用平移三角板法作PQ//CD，交AB于点Q；
② 过点P作PR⊥CD，垂足为R，标注直角符号，直线PQ、线段PR即为所求。
（2）推导过程：
已知所作PQ//CD，∠ACD和∠PQC是直线AB截CD、PQ得到的同位角，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，可得∠PQC=∠ACD，又已知∠ACD=60°，因此∠PQC=60°。
【答案】
（1）如图，直线PQ和线段PR即为所求作.
（2）$∠ PQC=60°$. 理由：因为$CD // PQ$，$∠ ACD = 60°$，所以$∠ PQC = ∠ ACD = 60°$.
【知识点】
平行线的画法；垂线的画法；平行线的性质
【点评】
本题考查几何基本作图能力和平行线性质的应用，核心是掌握基本作图的操作规范，能准确识别平行线形成的同位角，结合性质求解角度。
【难度系数】
0.8
13. 根据题目给出的条件，将下面推理的依据补充完整.
如图，$AD⊥BC$于点$D$，$EF⊥BC$于点$F$，且交$AB$于点$G$，交$CA$的延长线于点$E$，$∠AGE=∠E$. 求证：$∠BAD=∠CAD$.
证明：因为$AD⊥BC$，$EF⊥BC$（已知），
所以$∠ADC=∠EFC=90°$（
所以$AD// EF$（
所以$∠AGE=∠BAD$（
$∠E=∠CAD$（
因为$∠AGE=∠E$（已知），
所以$∠BAD=∠CAD$（
如图，$AD⊥BC$于点$D$，$EF⊥BC$于点$F$，且交$AB$于点$G$，交$CA$的延长线于点$E$，$∠AGE=∠E$. 求证：$∠BAD=∠CAD$.
证明：因为$AD⊥BC$，$EF⊥BC$（已知），
所以$∠ADC=∠EFC=90°$（
垂直的定义
）.所以$AD// EF$（
同位角相等，两直线平行
）.所以$∠AGE=∠BAD$（
两直线平行，内错角相等
），$∠E=∠CAD$（
两直线平行，同位角相等
）.因为$∠AGE=∠E$（已知），
所以$∠BAD=∠CAD$（
等式的基本事实
）.答案
13. 垂直的定义 同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 等式的基本事实
两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 等式的基本事实
解析
【分析】
这是一道几何推理依据填空题，解题时需结合图形和每一步的推导逻辑匹配对应的知识点：首先根据垂直的定义得到两个90°的角；再根据同位角相等判定两条直线平行；之后结合平行线的性质，分别判断两组相等的角是内错角还是同位角，对应填写平行线的性质；最后根据已知的等角关系，通过等量代换得到待证结论，对应等式的相关性质。
【解析】
我们逐空分析推导依据：
1. 已知$AD⊥BC$，$EF⊥BC$，根据垂直的定义，两条互相垂直的直线夹角为$90°$，因此可得$∠ ADC=∠ EFC=90°$，第一空填垂直的定义；
2. $∠ ADC$和$∠ EFC$是直线$AD$、$EF$被直线$BC$所截得到的同位角，两个同位角均为$90°$、大小相等，根据“同位角相等，两直线平行”可判定$AD// EF$，第二空填同位角相等，两直线平行；
3. $∠ AGE$和$∠ BAD$是平行线$AD$、$EF$被直线$AB$所截得到的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”可得$∠ AGE=∠ BAD$，第三空填两直线平行，内错角相等；
4. $∠ E$和$∠ CAD$是平行线$AD$、$EF$被直线$EC$所截得到的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠ E=∠ CAD$，第四空填两直线平行，同位角相等；
5. 已知$∠ AGE=∠ E$，结合前面得到的两个等量关系，可推出$∠ BAD=∠ CAD$，这一推导的依据是等式的基本事实，第五空填等式的基本事实。
【答案】
垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等式的基本事实
【知识点】
垂直的定义；平行线的判定与性质；等式的性质
【点评】
本题属于几何入门的基础题型，主要考查学生对基础几何定理、定义的理解和应用，要求学生能准确区分平行线的判定和性质，结合角的位置关系匹配对应的推理依据，为后续复杂几何证明打下基础。
【难度系数】
0.8
这是一道几何推理依据填空题，解题时需结合图形和每一步的推导逻辑匹配对应的知识点：首先根据垂直的定义得到两个90°的角；再根据同位角相等判定两条直线平行；之后结合平行线的性质，分别判断两组相等的角是内错角还是同位角，对应填写平行线的性质；最后根据已知的等角关系，通过等量代换得到待证结论，对应等式的相关性质。
【解析】
我们逐空分析推导依据：
1. 已知$AD⊥BC$，$EF⊥BC$，根据垂直的定义，两条互相垂直的直线夹角为$90°$，因此可得$∠ ADC=∠ EFC=90°$，第一空填垂直的定义；
2. $∠ ADC$和$∠ EFC$是直线$AD$、$EF$被直线$BC$所截得到的同位角，两个同位角均为$90°$、大小相等，根据“同位角相等，两直线平行”可判定$AD// EF$，第二空填同位角相等，两直线平行；
3. $∠ AGE$和$∠ BAD$是平行线$AD$、$EF$被直线$AB$所截得到的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”可得$∠ AGE=∠ BAD$，第三空填两直线平行，内错角相等；
4. $∠ E$和$∠ CAD$是平行线$AD$、$EF$被直线$EC$所截得到的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠ E=∠ CAD$，第四空填两直线平行，同位角相等；
5. 已知$∠ AGE=∠ E$，结合前面得到的两个等量关系，可推出$∠ BAD=∠ CAD$，这一推导的依据是等式的基本事实，第五空填等式的基本事实。
【答案】
垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等式的基本事实
【知识点】
垂直的定义；平行线的判定与性质；等式的性质
【点评】
本题属于几何入门的基础题型，主要考查学生对基础几何定理、定义的理解和应用，要求学生能准确区分平行线的判定和性质，结合角的位置关系匹配对应的推理依据，为后续复杂几何证明打下基础。
【难度系数】
0.8
