1. |新定义 已知$\min\{\sqrt{x},x^2,x\}$表示取三个数中最小的那个数,例如:当$x=9$时,$\min\{\sqrt{x},x^2,x\} = \min\{\sqrt{9},9^2,9\} = 3$.当$\min\{\sqrt{x},x^2,x\} = \dfrac{1}{16}$时,则$x$的值为 （）

A.$\dfrac{1}{16}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
＞＞ 对点专练 P77

1.C 解析:当$\sqrt{x}=\frac{1}{16}$时,$x=\frac{1}{256},x＜\sqrt{x}$,不合题意;当$x^2=\frac{1}{16}$时,$x=\pm\frac{1}{4}$,当$x=-\frac{1}{4}$时,$\sqrt{x}$没有意义且$x＜x^2$,不合题意;当$x=\frac{1}{4}$时,$\sqrt{x}=\frac{1}{2},x^2＜x＜\sqrt{x}$,符合题意;当$x=\frac{1}{16}$时,$x^2=\frac{1}{256},x^2＜x$,不合题意.故选C.

2. 已知有理数 $a,b$ 满足 $5 - \sqrt{3}a = 2b + \frac{2\sqrt{3}}{3} - a$，则 $a + b = $（）

A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{11}{6}$

2.B 解析:$\because 5-\sqrt{3}a=2b+\frac{2\sqrt{3}}{3}-a,\therefore 5-2b+a-\sqrt{3}a=\frac{2\sqrt{3}}{3}.\because a,b$是有理数,$\therefore -\sqrt{3}a=\frac{2\sqrt{3}}{3},5-2b+a=0,\therefore a=-\frac{2}{3}$,则$b=\frac{13}{6}$,$\therefore a+b=-\frac{2}{3}+\frac{13}{6}=\frac{3}{2}$.故选B.

3. ★★★ (1)已知$\sqrt{5}+1$的整数部分为$a$，$\sqrt{5}-1$的小数部分为$b$，则$2a+b$的值为________.
(2)已知$100+\sqrt{110}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，则$x+\sqrt{110}+24-y$的平方根为________.
＞＞＞ 对点专练 P76

3.(1)$4+\sqrt{5}$ 解析:$\because 2＜\sqrt{5}＜3,\therefore 3＜\sqrt{5}+1＜4,1＜\sqrt{5}-1＜2$,$\therefore a=3,b=\sqrt{5}-2,\therefore 2a+b=2×3+\sqrt{5}-2=4+\sqrt{5}.$
(2)$\pm12$ 解析:$\because 100＜110＜121,\therefore 10＜\sqrt{110}＜11,\therefore 110＜100+\sqrt{110}＜111.\because 100+\sqrt{110}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,$\therefore x=110,y=\sqrt{110}-10,\therefore x+\sqrt{110}+24-y=110+\sqrt{110}+24-\sqrt{110}+10=144$,$x+\sqrt{110}+24-y$的平方根是$\pm12.$

4. 若三个实数 $x,y,z$ 满足 $xyz≠0$，且 $x+y+z=0$，则有 $\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|$（结论不需要证明）。例如：$\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{(-5)^2}}=\left|\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{(-5)}\right|=\frac{19}{30}$。设 $S=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+···+\sqrt{1+\frac{1}{1999^2}+\frac{1}{2000^2}}$，则 $S$ 的整数部分为 ______。
＞＞ 对点专练 P78

4. 1999 解析:$S = \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} + \dots + \sqrt{1+\frac{1}{1999^2}+\frac{1}{2000^2}}=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{(-2)^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{(-3)^2}}+\dots+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1999^2}+\frac{1}{(-2000)^2}}=\left|1+1-\frac{1}{2}\right|+\left|1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right|+\dots+\left|1+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}\right|=1+1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+1+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}=2000-\frac{1}{2000}=1999\frac{1999}{2000}$,故整数部分为1999.

5. 如图,数轴上从左到右依次有A,B,C,D四个点,A,B之间的距离为$a+b$,B,C之间的距离为$2a-b$,B,D之间的距离为$5a+2b$,将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处,并沿数轴水平方向向右滚动.
(1)若圆形纸片从点A处滚到点C处,恰好滚动了$n(n$为正整数$)$圈,则$a=$(用含$n$的代数式表示),$a$是(填“有理数”或“无理数”);
(2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后,恰好到达点B处,求$C,D$之间的距离;(结果保留$π$)
(3)若点$A$表示的数为$π$,圆形纸片从点$A$处滚动到点$B,C,D$处的圈数均为整数,其中圆形纸片从点$A$处滚动3圈后,恰好到达点$C$处,求点$D$表示的数.

$\gg$根据诊断结果,请完成对应的练习

5.(1)$\frac{nπ}{3}$ 无理数 解析:圆形纸片的直径为1,因此周长为$π$,滚动$n$圈的距离为$nπ$,而$AC=(a+b)+(2a-b)=3a,\therefore 3a=nπ$,即$a=\frac{nπ}{3}$,$a$是无理数.
(2)圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处,$\therefore$ 有$a+b=π$,$\therefore CD=5a+2b-(2a-b)=3a+3b=3(a+b)=3π$,故点C,D之间的距离为$3π$.
(3)由(2)得,$CD=3AB$,由于圆形纸片从点A处滚动到点B,C,D处的圈数均为整数,且从点A处滚动3圈到达点C,因此有①当点A,B的距离为$π$时,则点B,C的距离为$2π$,点C,D之间的距离为$3π$,$\therefore$ 点A,D之间的距离为$π+2π+3π=6π$,又$\because$ 点A表示的数为$π$,$\therefore$ 点D所表示的数为$π+6π=7π$.②当点A,B的距离为$2π$时,则点B,C的距离为$π$,点C,D之间的距离为$2π×3=6π$,$\therefore$ 点A,D之间的距离为$2π+π+6π=9π$.又$\because$ 点A表示的数为$π$,$\therefore$ 点D所表示的数为$π+9π=10π$.综上,点D表示的数为$7π$或$10π$.