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1. ★★ 阅读理解:求$\sqrt{105}$的近似值.
小明的方法:设$\sqrt{105}=10+x$,其中$0＜x＜1$,则$105=(10+x)^2$,即$105=100+20x+x^2$.
$\because 0＜x＜1,\therefore 0＜x^2＜1,\therefore 105\approx100+20x$,解得$x\approx0.25$,即$\sqrt{105}$的近似值为$10.25$.
小莉的方法:设$\sqrt{105}=11-y$,其中$0＜y＜1$,则$105=(11-y)^2$,即$105=121-22y+y^2$.
$\because 0＜y＜1,\therefore 0＜y^2＜1,\therefore 105\approx121-22y$,解得$y\approx0.73$,即$\sqrt{105}$的近似值为$10.27$.
【反思比较】(1)你认为________的方法更接近$\sqrt{105}$.(填“小明”或“小莉”)
【深入思考】(2)$x$与$y$之间的数量关系为________.
小明的方法:设$\sqrt{105}=10+x$,其中$0＜x＜1$,则$105=(10+x)^2$,即$105=100+20x+x^2$.
$\because 0＜x＜1,\therefore 0＜x^2＜1,\therefore 105\approx100+20x$,解得$x\approx0.25$,即$\sqrt{105}$的近似值为$10.25$.
小莉的方法:设$\sqrt{105}=11-y$,其中$0＜y＜1$,则$105=(11-y)^2$,即$105=121-22y+y^2$.
$\because 0＜y＜1,\therefore 0＜y^2＜1,\therefore 105\approx121-22y$,解得$y\approx0.73$,即$\sqrt{105}$的近似值为$10.27$.
【反思比较】(1)你认为________的方法更接近$\sqrt{105}$.(填“小明”或“小莉”)
【深入思考】(2)$x$与$y$之间的数量关系为________.
答案
1.(1)小明 解析:
∵ 小明的方法得到$\sqrt{105}$的近似值为10.25,$10.25^2 = 105.062 5$,小莉的方法得到$\sqrt{105}$的近似值为10.27,$10.27^2 = 105.472 9$,
∴ 小明的方法更接近$\sqrt{105}$.
1.(2)$x+y=1$ 解析:
∵ $10+x=11-y$,
∴ $x+y=1$.
∵ 小明的方法得到$\sqrt{105}$的近似值为10.25,$10.25^2 = 105.062 5$,小莉的方法得到$\sqrt{105}$的近似值为10.27,$10.27^2 = 105.472 9$,
∴ 小明的方法更接近$\sqrt{105}$.
1.(2)$x+y=1$ 解析:
∵ $10+x=11-y$,
∴ $x+y=1$.
2. 新方法 试比较$\frac{1}{\sqrt{11}-3}$与$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}$的大小.
(1)$(3+2)(3-2)=5×1=5=9-4=3^2-2^2,(5+3)(5-3)=8×2=16=25-9=5^2-3^2……$
由此可归纳出结论:$(a+b)(a-b)=$
(2)根据上面的结论计算:$\because (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1,\therefore \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.$
类似地,$\because (\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2=6-5=1,\therefore \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=$
(3)类比应用:$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=$
(4)请你根据以上总结的结论,比较$\frac{1}{\sqrt{11}-3}$与$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}$的大小.
$\boldsymbol{\gg}$进一步挑战进阶专题·P76 专题4
(1)$(3+2)(3-2)=5×1=5=9-4=3^2-2^2,(5+3)(5-3)=8×2=16=25-9=5^2-3^2……$
由此可归纳出结论:$(a+b)(a-b)=$
$a^2-b^2$
;(2)根据上面的结论计算:$\because (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1,\therefore \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.$
类似地,$\because (\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2=6-5=1,\therefore \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=$
$\sqrt{6}+\sqrt{5}$
;(3)类比应用:$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=$
$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$
;(4)请你根据以上总结的结论,比较$\frac{1}{\sqrt{11}-3}$与$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}$的大小.
$\boldsymbol{\gg}$进一步挑战进阶专题·P76 专题4
答案
2.(1)$a^2-b^2$ 解析:已知$(3+2)(3-2)=5×1=5=9-4=3^2-2^2$,$(5+3)(5-3)=8×2=16=25-9=5^2-3^2$……以此类推可得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
2.(2)$\sqrt{6}+\sqrt{5}$ 解析:$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{1}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$.
2.(3)$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$ 解析:
∵ $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$,
∴ $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$.
2.(4)
∵ $(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)=(\sqrt{11})^2-3^2=11-9=2$,
$(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})=(\sqrt{13})^2-(\sqrt{11})^2=13-11=2$,
∴ $\frac{1}{\sqrt{11}-3}=\frac{\sqrt{11}+3}{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)}=\frac{\sqrt{11}+3}{2}$,
$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}$.
∵ $\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}-\frac{\sqrt{11}+3}{2}=\frac{\sqrt{13}-3}{2}＞0$,
∴ $\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}＞\frac{1}{\sqrt{11}-3}$.
2.(2)$\sqrt{6}+\sqrt{5}$ 解析:$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{1}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$.
2.(3)$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$ 解析:
∵ $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$,
∴ $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$.
2.(4)
∵ $(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)=(\sqrt{11})^2-3^2=11-9=2$,
$(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})=(\sqrt{13})^2-(\sqrt{11})^2=13-11=2$,
∴ $\frac{1}{\sqrt{11}-3}=\frac{\sqrt{11}+3}{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)}=\frac{\sqrt{11}+3}{2}$,
$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}$.
∵ $\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}-\frac{\sqrt{11}+3}{2}=\frac{\sqrt{13}-3}{2}＞0$,
∴ $\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}＞\frac{1}{\sqrt{11}-3}$.
