1. 如图,在$△ ABC$中,$D$为$AC$上一点,连接$BD$,过点$B$作$BH ⊥ AD$于点$H$,$∠ C + 3∠ A = 180°$,$BD = BA = 2$,$BC = 5$,则$BH^2$的值为________.

1. $\dfrac{13}{5}$

2. 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$AB$中点，点$E$在直线$BC$上（点$E$不与点$B$，$C$重合），连接$DE$，过点$D$作$DF ⊥ DE$交直线$AC$于点$F$，连接$EF$。若$AC=5$，$BC=3$，$EC=1$，则线段$AF$的长为$\underline{\hspace{3em}}$。

2. $\dfrac{11}{5}$或1

3. 如图, 四边形 $ABCD$ 中, $AC, BD$ 是对角线, $△ ABC$ 是等边三角形, $∠ ADC=30°, AD=a, BD=b$, 求 $CD$ 的长.

3. 如图,以 CD 为边作等边三角形 CDE,连接 AE,
∵ △ ABC 和△CDE 都是等边三角形,
∴ BC = AC,CD = CE = DE,∠ACB =∠DCE = ∠CDE = 60°,
∴ ∠ACB+ ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD,
∴ ∠BCD= ∠ACE. 在 △BCD 和 △ACE 中, $\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △BCD≌ △ACE ( SAS ),
∴ BD = AE = b.
∵ ∠ADC = 30°,∠CDE = 60°,
∴ ∠ADE = 90°.
∵ AD = a, AE = b,
∴ DE =$\sqrt{AE^2-AD^2} = \sqrt{b^2-a^2}$,
∴ CD = $\sqrt{b^2-a^2}$.

4. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点$D$为$BC$边上一点,连接$AD$.点$M$为$AB$延长线上的一点,连接$DM$,且$AD=DM$,将$DM$绕点$D$逆时针转$90°$至$DN$,连接$AN$,$MN$,求证:$AN=\sqrt{2}BM$.

4. 如图,过点 D 作 DJ ⊥ DB 交 AB 于点 J,DH ⊥ AB 于点 H,连接 NJ,则 △DBJ 为等腰直角三角形.
∵ ∠MDB + ∠BDN =∠JDN+ ∠BDN = 90°,
∴ ∠MDB= ∠JDN. 又
∵ DM = DN, DB =DJ,
∴ △DMB≌△DNJ,
∴ BM=NJ,∠DMB=∠DNJ,∠DBM=∠DJN= 135°.
∵ ∠DJB = 45°,
∴ ∠MJN= 90°.
∵ DM = DA,
∴ ∠DMB= ∠DAJ,
∴ ∠DAJ = ∠DNJ.
∵ DN = DM = AD,
∴ ∠DAN=∠DNA,
∴ ∠JNA=∠JAN.
∵ ∠AJN=90°,
∴ ∠JNA=∠JAN=45°,
∴ AN=$\sqrt{2}JN=\sqrt{2}BM$.