22. (10分)一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的$m$倍($m$为大于1的整数)，制作三种产品共计需要25小时. 广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如表所示.(展板、宣传册和横幅的数量均为正整数)

(1)当$m=5$时,设展板的数量为$x$个,横幅的数量为$y$个.
①请直接写出$y$与$x$的关系式$y=$;(用含$x$的式子表示)
②若三种产品的数量总数不低于66个,且三种产品全部售完所获利润不低于945元,求一共有几种制作方案;
(2)若制作三种产品所获利润为950元,请直接写出$m$的值.

22. 【点拨】本题考查列关系式,一元一次不等式的应用,方案选择,理解题意,列出关系式及不等式是解题的关键.【解析】(1)①已知制作展板的数量为$x$个,宣传册的数量是展板数量的$m=5$倍,则宣传册数量为$5x$个,横幅的数量为$y$个.根据总时间可得,$1 × x + 0.2 × 5x + 0.5y = 25$,化简整理得,$y = 50 - 4x$. 故答案为$50 - 4x$.②已知三种产品的数量总数不低于 66 个,可得$x + 5x + y ≥ 66$,把$y = 50 - 4x$代入,得$x + 5x + (50 - 4x) ≥ 66$,解得$x ≥ 8$,已知三种产品全部售完所获利润不低于 945 元,制作一件展板获利 60 元,制作一件宣传册获利 3 元,制作一件横幅获利 20 元,可得$60x + 3 × 5x + 20y ≥ 945$,把$y = 50 - 4x$代入,得$60x + 15x + 20 × (50 - 4x) ≥ 945$,解得$x ≤ 11$,
∴$8 ≤ x ≤ 11$.
∵$x$为正整数,
∴$x$可以取 8,9,10,11,
∴共有 4 种制作方案.(2)设展板数量为$x$个,则宣传册数量为$mx$,横幅数量为$y$个,根据总时间可得$x + 0.2mx + 0.5y = 25$,移项得$y = 50 - 2x - 0.4mx$,根据总利润可得$60x + 3mx + 20y = 950$,把$y = 50 - 2x - 0.4mx$代入$60x + 3mx + 20y = 950$,得$60x + 3mx + 20 × (50 - 2x - 0.4mx) = 950$,整理,得$x(20 - 5m) = -50$,则$x = \dfrac{50}{5m - 20} = \dfrac{10}{m - 4}$,
∵$x,m$为正整数,且$m ＞ 1$,
∴$m - 4$是 10 的正因数,10 的正因数有 1,2,5,10.当$m - 4 = 1$时,$m = 5$,则$x = 10$;当$m - 4 = 2$时,$m = 6$,则$x = 5$;当$m - 4 = 5$时,$m = 9$,则$x = 2$;当$m - 4 = 10$时,$m = 14$,则$x = 1$,
∵$y$为正整数,
∴将$x,m$的值代入$y = 50 - 2x - 0.4mx$,当$m = 5$,$x = 10$时,$y = 50 - 2 × 10 - 0.4 × 5 × 10 = 10$(符合题意),当$m = 6$,$x = 5$时,$y = 50 - 2 × 5 - 0.4 × 6 × 5 = 28$(符合题意),当$m = 9$,$x = 2$时,$y = 50 - 2 × 2 - 0.4 × 9 × 2 = 38.8$(不符合题意),当$m = 14$,$x = 1$时,$y = 50 - 2 × 1 - 0.4 × 14 × 1 = 42.4$(不符合题意),综上所述,$m$的值为 5 或 6.

23. (10分)如图1，$AB// CD$，$F,E$是直线$CD$上两点($F$在$E$的左侧)，点$P$是直线$AB$上一点.
(1)如图1，点$Q$为线段$FP$上一点，求证：$∠ APQ + ∠ CEQ = ∠ PQE$；
(2)如图2，点$Q$为$PF$延长线上一点，过点$P$作$PK// QE$，作$∠ KPB$和$∠ PQE$的平分线交于点$G$，若$∠ PQE = α$，$∠ FEQ = β$，求$∠ PGQ$的度数(用含$α,β$的式子表示)；
(3)如图3，点$Q$为$PF$延长线上一点，$∠ APQ = 50°$，点$M$在射线$PB$上，以点$Q$为端点作射线$l$，$∠ PME$的平分线交射线$l$于点$N$，$∠ PQN = 10°$，若$∠ MNQ = 165°$，直接写出$∠ MED$的度数.

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23. 【点拨】本题考查平行线的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质,角平分线的定义,掌握平行线的性质是解题的关键.【解析】(1)证明:
∵$AB// CD$,
∴$∠APQ = ∠EFQ$,在$△ QFE$中,$∠EFQ + ∠CEQ + ∠FQE = 180°$,又
∵$180° - ∠FQE = ∠PQE$,
∴$∠EFQ + ∠CEQ = ∠PQE$,即$∠APQ + ∠CEQ = ∠PQE$.(2)
∵$∠PQE = α$,$∠FEQ = β$,
∴$∠PFE = ∠PQE + ∠FEQ = α + β$.
∵$AB// CD$,
∴$∠BPF + ∠PFE = 180°$,
∴$∠BPF = 180° - (α + β)$.又
∵$PK// QE$,
∴$∠KPF + ∠PQE = 180°$,
∴$∠KPF = 180° - α$,
∴$∠KPB = ∠KPF - ∠BPF = 180° - α - [180° - (α + β)] = β$.
∵$PG$平分$∠KPB$,
∴$∠GPB = \dfrac{1}{2}∠KPB = \dfrac{1}{2}β$,
∴$∠GPF = ∠BPF + ∠GPB = 180° - (α + β) + \dfrac{1}{2}β = 180° - α - \dfrac{1}{2}β$.
∵$QG$平分$∠PQE$,
∴$∠PQG = \dfrac{1}{2}∠PQE = \dfrac{1}{2}α$,
∴在$△ PQG$中,$∠GPQ + ∠PQG + ∠PGQ = 180°$,即$180° - α - \dfrac{1}{2}β + \dfrac{1}{2}α + ∠PGQ = 180°$,
∴$∠PGQ = \dfrac{α + β}{2}$.(3)如图1,当N在PQ右侧,M在射线l右侧时,令射线l与CD交于点S,$∠PME$的平分线交CD于点T,
∵$∠APQ = 50°$,$AB// CD$,$∠PQN = 10°$,
∴$∠PFD = ∠APQ = 50°$,
∴$∠FSQ = 50° - 10° = 40°$,
∴$∠NSD = ∠FSQ = 40°$.又
∵$∠MNQ = 165°$,
∴$∠QNT = 180° - ∠MNQ = 180° - 165° = 15°$,
∴$∠NTS = ∠NSD - ∠QNT = 25°$.
∵$AB// CD$,
∴$∠AMT = ∠MTD$,即$∠AMT = ∠NTS = 25°$.又
∵$MT$为$∠PME$的平分线,
∴$∠PME = 2∠AMT = 50°$.
∵$AB// CD$,
∴$∠MED = ∠PME = 50°$.如图2,当N在PQ左侧时,令射线l与AB交于点H,与CD交于点K,$∠PME$的平分线交CD于点L,
∵$∠APQ = 50°$,$AB// CD$,$∠PQN = 10°$,
∴$∠LFQ = ∠APQ = 50°$,
∴$∠HKF = ∠LFQ + ∠PQN = 60°$,
∴$∠LKH = 180° - ∠HKF = 120°$.又
∵$∠MNQ = 165°$,
∴$∠MLE = ∠MNQ - ∠LKH = 165° - 120° = 45°$.
∵$AB// CD$,
∴$∠AML = ∠MLE = 45°$.
∵$∠PME$的平分线交CD于点L,
∴$∠PME = 2∠AML = 90°$.
∵$AB// CD$,
∴$∠MED = ∠PME = 90°$.如图3,当点N在PQ右侧,M在射线l左侧时,过点Q作$QG// AB$,过点N作$NH// AB$.
∵$AB// QG$,$∠APQ = 50°$,
∴$∠PQG = ∠APQ = 50°$.
∵$AB// CD$,
∴$HN// QG$,
∵$∠PQN = 10°$,
∴$∠HNQ = ∠NQG = ∠PQG - ∠PQN = 40°$.
∵$∠MNQ = 165°$,
∴$∠MNH = ∠MNQ - ∠HNQ = 165° - 40° = 125°$.
∵$AB// HN$,
∴$∠AMN = 180° - ∠MNH = 55°$.又
∵$MN$平分$∠PME$,$AB// CD$,
∴$∠AME = ∠MED = 2∠AMN = 110°$.综上所述,$∠MED$的度数为$50°$或$90°$或$110°$.