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1. ★★★ 已知 $ m,n $ 为常数，三个单项式 $ 4x^2y, mx^{3-n^2}y, 8x^3y $ 的和仍为单项式，则 $ m+n $ 的值共有（
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
）A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
C
2. |改编题 谚语说:“学如逆水行舟,不进则退.”已知顺水速度为轮船在静水中的速度与水流速度之和,逆水速度为轮船在静水中的速度与水流速度之差,现有一艘轮船顺水行驶的速度为$(4x^2 - 2x + 1)$千米/时,水流速度为$(x^2 - x)$千米/时.若轮船逆水行驶,则轮船会
前进
. (填“前进”或“后退”)答案
前进
3. 如果关于 $ x,y $ 的多项式 $ \frac{1}{5}x^2 y^{|m|} - (m-1)y - (n+2)xy + \frac{1}{3} $ 是三次三项式，试探讨 $ m,n $ 的取值情况.
答案
由题意可知$|m|+2=3$,解得 $m=1$ 或 $m=-1$.当 $m=1$ 时,多项式化为$\frac{1}{5}x^2 y-(n+2)xy+\frac{1}{3}$,此时当 $n+2≠0$ 时多项式为三次三项式;当 $m=-1$ 时,多项式化为$\frac{1}{5}x^2 y+2y-(n+2)xy+\frac{1}{3}$,此时当 $n+2=0$ 时多项式为三次三项式.综上所述,当 $m=1$ 且 $n≠-2$ 或者 $m=-1$ 且 $n=-2$ 时多项式为三次三项式.
4. 设$A=2a^2 - ab + 2$，$B=-a^2 + 2ab + 3$。
(1)当$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=2$时，求$3A - 2B$的值；
(2)当$a≠0$时，有$m,n$使得代数式$mA + nB$的值与$b$的取值无关，求$m,n$满足的关系式。
对点专练 P62
(1)当$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=2$时，求$3A - 2B$的值；
(2)当$a≠0$时，有$m,n$使得代数式$mA + nB$的值与$b$的取值无关，求$m,n$满足的关系式。
对点专练 P62
答案
(1)原式 = 3 (2a² -ab + 2 ) - 2 ( -a² + 2ab + 3 ) = 6a² - 3ab + 6+2a² -4ab -6 = 8a² -7ab, 当 $a=-\dfrac{1}{2},b=2$ 时,原式 = 8×$(-\dfrac{1}{2})^2 -7×(-\dfrac{1}{2})×2=2+7=9$.
(2)原式 = $m ( 2a^2 - ab + 2 ) + n ( -a^2 + 2ab + 3 ) = 2ma^2 - mab+2m -na^2 +2nab+3n=(2m-n)a^2+(2n-m)ab+2m+3n$.因为代数式 $mA+nB$ 的值与 $b$ 的取值无关,所以 $2n-m=0$,所以 $m=2n$.
(2)原式 = $m ( 2a^2 - ab + 2 ) + n ( -a^2 + 2ab + 3 ) = 2ma^2 - mab+2m -na^2 +2nab+3n=(2m-n)a^2+(2n-m)ab+2m+3n$.因为代数式 $mA+nB$ 的值与 $b$ 的取值无关,所以 $2n-m=0$,所以 $m=2n$.
5. (2025·苏州期末)阅读下面材料并解决问题:
对任意两个代数式 $a,b$ 比较大小,我们可以用“作差法”:若 $a-b＞0$ 时,则 $a＞b$;若 $a-b=0$ 时,则 $a=b$;若 $a-b＜0$ 时,则 $a＜b$.例如:因为 $(x+2)-(x-1)=x+2-x+1=3＞0$,所以 $x+2＞x-1$.
(1) 比较大小:$-\dfrac{5}{7}$
(2) 比较代数式 $A=3x^2-2x-5$ 与 $B=4x^2-2x+1$ 的大小;
(3) 对于任意的有理数 $x,y$,请比较 $2(x-y)$ 与 $2x-y$ 的大小.
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
对任意两个代数式 $a,b$ 比较大小,我们可以用“作差法”:若 $a-b＞0$ 时,则 $a＞b$;若 $a-b=0$ 时,则 $a=b$;若 $a-b＜0$ 时,则 $a＜b$.例如:因为 $(x+2)-(x-1)=x+2-x+1=3＞0$,所以 $x+2＞x-1$.
(1) 比较大小:$-\dfrac{5}{7}$
＞
$-\dfrac{6}{7}$(填“＞”,“＜”或“=”);(2) 比较代数式 $A=3x^2-2x-5$ 与 $B=4x^2-2x+1$ 的大小;
(3) 对于任意的有理数 $x,y$,请比较 $2(x-y)$ 与 $2x-y$ 的大小.
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
答案
(1) ＞ 【解析】因为$-\dfrac{5}{7}-(-\dfrac{6}{7})=-\dfrac{5}{7}+\dfrac{6}{7}=\dfrac{1}{7}＞0$,所以$-\dfrac{5}{7}＞-\dfrac{6}{7}$.
(2)$A-B=(3x^2-2x-5)-(4x^2-2x+1)=-x^2-6$,因为$-x^2≤0$,所以$-x^2-6＜0$,所以$A-B＜0$,所以$A＜B$.
(3)$2(x-y)-(2x-y)=-y$.①当$y＜0$时,$-y＞0$,则$2(x-y)-(2x-y)＞0$,此时,$2(x-y)＞2x-y$;②当$y=0$时,$-y=0$,则$2(x-y)-(2x-y)=0$,此时,$2(x-y)=2x-y$;③当$y＞0$时,$-y＜0$,则$2(x-y)-(2x-y)＜0$,此时,$2(x-y)＜2x-y$.
(2)$A-B=(3x^2-2x-5)-(4x^2-2x+1)=-x^2-6$,因为$-x^2≤0$,所以$-x^2-6＜0$,所以$A-B＜0$,所以$A＜B$.
(3)$2(x-y)-(2x-y)=-y$.①当$y＜0$时,$-y＞0$,则$2(x-y)-(2x-y)＞0$,此时,$2(x-y)＞2x-y$;②当$y=0$时,$-y=0$,则$2(x-y)-(2x-y)=0$,此时,$2(x-y)=2x-y$;③当$y＞0$时,$-y＜0$,则$2(x-y)-(2x-y)＜0$,此时,$2(x-y)＜2x-y$.
