登录
1.（教材例题变式）下列关于内心的说法错误的是（
A.到三边的距离相等
B.到三顶点的距离相等
C.一定在三角形的内部
D.任意三角形都有内心
B
）A.到三边的距离相等
B.到三顶点的距离相等
C.一定在三角形的内部
D.任意三角形都有内心
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确三角形内心的定义和性质，再逐一分析每个选项，区分内心与外心的不同特征，找出错误说法。
【解析】
三角形内心是三条角平分线的交点，结合角平分线性质和三角形的特点分析选项：
1. 选项A：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，内心是角平分线交点，因此内心到三角形三边的距离相等，该说法正确；
2. 选项B：到三角形三顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点（外心），并非内心，该说法错误；
3. 选项C：三角形的角平分线都在三角形内部，其交点内心也一定在三角形内部，该说法正确；
4. 选项D：任意三角形都有三条角平分线，因此任意三角形都存在内心，该说法正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质、角平分线的性质
【点评】
本题考查三角形内心的基础概念，核心是区分内心与外心的性质，属于概念辨析类基础题，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先明确三角形内心的定义和性质，再逐一分析每个选项，区分内心与外心的不同特征，找出错误说法。
【解析】
三角形内心是三条角平分线的交点，结合角平分线性质和三角形的特点分析选项：
1. 选项A：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，内心是角平分线交点，因此内心到三角形三边的距离相等，该说法正确；
2. 选项B：到三角形三顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点（外心），并非内心，该说法错误；
3. 选项C：三角形的角平分线都在三角形内部，其交点内心也一定在三角形内部，该说法正确；
4. 选项D：任意三角形都有三条角平分线，因此任意三角形都存在内心，该说法正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质、角平分线的性质
【点评】
本题考查三角形内心的基础概念，核心是区分内心与外心的性质，属于概念辨析类基础题，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$\odot O$ 是等边三角形$ABC$ 的内切圆，分别切$AB$、$BC$、$AC$ 于点$E$、$F$、$D$，$P$ 是$\overset{\frown}{DF}$上一点，则$∠ EPF$ 的度数为（
A.$65°$
B.$60°$
C.$58°$
D.$50°$
B
）A.$65°$
B.$60°$
C.$58°$
D.$50°$
答案
解析:连接OE、OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F是切点，
∴OE⊥AB,OF⊥BC,
∴∠OEB=∠OFB=90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°,
∴∠EOF=120°,
∴∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=60°.
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F是切点，
∴OE⊥AB,OF⊥BC,
∴∠OEB=∠OFB=90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°,
∴∠EOF=120°,
∴∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=60°.
解析
【分析】
要计算∠EPF的度数，需结合内切圆的切线性质和圆周角定理。首先连接圆心与切点得到垂直关系，利用等边三角形的内角求出圆心角∠EOF，再根据同弧所对圆周角与圆心角的关系，即可推导出∠EPF的度数。
【解析】
1. 连接OE、OF。
2. 因为⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，所以OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
3. 由于△ABC是等边三角形，故∠B=60°。在四边形OEBF中，内角和为360°，因此∠EOF=360°−∠OEB−∠OFB−∠B=360°−90°−90°−60°=120°。
4. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，所以∠EPF=½∠EOF=½×120°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
三角形内切圆、切线性质、圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形内切圆的性质与圆周角定理的应用，核心是通过切线性质求出圆心角，再利用圆周角定理计算目标角，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要计算∠EPF的度数，需结合内切圆的切线性质和圆周角定理。首先连接圆心与切点得到垂直关系，利用等边三角形的内角求出圆心角∠EOF，再根据同弧所对圆周角与圆心角的关系，即可推导出∠EPF的度数。
【解析】
1. 连接OE、OF。
2. 因为⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，所以OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
3. 由于△ABC是等边三角形，故∠B=60°。在四边形OEBF中，内角和为360°，因此∠EOF=360°−∠OEB−∠OFB−∠B=360°−90°−90°−60°=120°。
4. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，所以∠EPF=½∠EOF=½×120°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
三角形内切圆、切线性质、圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形内切圆的性质与圆周角定理的应用，核心是通过切线性质求出圆心角，再利用圆周角定理计算目标角，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
3. 如图，$O$是$△ ABC$外接圆的圆心，$I$是$△ ABC$的内心，连接$OB$、$IA$。若$∠ CAI=35^{\circ }$，则$∠ OBC$的度数为
20°
。答案
3. 20° 解析:如图,连接OC.
∵I是△ABC的内心,
∴AI平分∠BAC.
∵∠CAI=35°,
∴∠BAC=2∠CAI=70°.
∵O是△ABC外接圆的圆心,
∴∠BOC=2∠BAC=140°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=
$\frac{1}{2}×(180°−∠BOC)=\frac{1}{2}×(180°−140°)=20°$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合三角形内心、外心的性质，圆周角定理及等腰三角形的内角性质推导。首先，内心是三角形角平分线的交点，可由已知∠CAI求出∠BAC；再根据外心的性质，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到圆心角∠BOC；最后利用OB=OC，结合等腰三角形内角和求出∠OBC的度数。
【解析】
连接OC，如图所示。
∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC。
∵∠CAI=35°，
∴∠BAC=2∠CAI=2×35°=70°。
∵O是△ABC外接圆的圆心，
∴同弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
又
∵OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC=½×(180°−∠BOC)=½×(180°−140°)=20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形内心性质、外心性质、圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形内心、外心的性质，圆周角定理及等腰三角形的性质，解题关键是利用内心的角平分线性质求∠BAC，再结合外心的圆心角与圆周角关系推导，属于基础几何综合题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合三角形内心、外心的性质，圆周角定理及等腰三角形的内角性质推导。首先，内心是三角形角平分线的交点，可由已知∠CAI求出∠BAC；再根据外心的性质，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到圆心角∠BOC；最后利用OB=OC，结合等腰三角形内角和求出∠OBC的度数。
【解析】
连接OC，如图所示。
∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC。
∵∠CAI=35°，
∴∠BAC=2∠CAI=2×35°=70°。
∵O是△ABC外接圆的圆心，
∴同弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
又
∵OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC=½×(180°−∠BOC)=½×(180°−140°)=20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形内心性质、外心性质、圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形内心、外心的性质，圆周角定理及等腰三角形的性质，解题关键是利用内心的角平分线性质求∠BAC，再结合外心的圆心角与圆周角关系推导，属于基础几何综合题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
4. 如图，$I$为$△ ABC$的三个内角的平分线的交点，$AB=4$，$AC=3$，$BC=2$，将$∠ ACB$平移使其顶点与$I$重合，则图中阴影部分的周长为
4
。答案
4. 4 解析:如图,连接AI、BI.
∵I为△ABC的内心,
∴AI平分∠CAB,
∴∠CAI=∠BAI. 由平移得,AC//DI,
∴∠CAI=∠AID,
∴∠BAI=∠AID,
∴AD=DI. 同理可得 BE=EI,
∴△DIE的周长为DI+DE+EI=AD+DE+BE=AB=4,即图中阴影部分的周长为4.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确I是△ABC的内心（三个内角平分线的交点），再结合平移的性质，通过平行线与角平分线的关系构造等腰三角形，将阴影部分的周长转化为已知线段AB的长度。具体思路：1. 连接AI、BI，利用内心的角平分线性质得到相等的角；2. 根据平移得到的平行线，结合角相等推出等腰三角形，得到线段相等关系；3. 将阴影部分的周长转化为AB的长度，从而得出结果。
【解析】
连接AI、BI。
∵I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，
∴∠CAI=∠BAI，∠CBI=∠ABI。
由平移的性质，得AC//DI，BC//EI，
∴∠CAI=∠AID，∠CBI=∠BIE。
∴∠BAI=∠AID，∠ABI=∠BIE，
∴AD=DI，BE=EI。
∵阴影部分为△DIE，其周长为DI+DE+EI，
将DI=AD，EI=BE代入，得：
△DIE的周长=AD+DE+BE=AB。
已知AB=4，因此阴影部分的周长为4。
【答案】
4
【知识点】
三角形内心、平移性质、等腰三角形判定
【点评】
本题结合三角形内心与平移的性质，通过几何推理构造等腰三角形，将所求周长转化为已知线段长度，重点考查学生的几何转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确I是△ABC的内心（三个内角平分线的交点），再结合平移的性质，通过平行线与角平分线的关系构造等腰三角形，将阴影部分的周长转化为已知线段AB的长度。具体思路：1. 连接AI、BI，利用内心的角平分线性质得到相等的角；2. 根据平移得到的平行线，结合角相等推出等腰三角形，得到线段相等关系；3. 将阴影部分的周长转化为AB的长度，从而得出结果。
【解析】
连接AI、BI。
∵I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，
∴∠CAI=∠BAI，∠CBI=∠ABI。
由平移的性质，得AC//DI，BC//EI，
∴∠CAI=∠AID，∠CBI=∠BIE。
∴∠BAI=∠AID，∠ABI=∠BIE，
∴AD=DI，BE=EI。
∵阴影部分为△DIE，其周长为DI+DE+EI，
将DI=AD，EI=BE代入，得：
△DIE的周长=AD+DE+BE=AB。
已知AB=4，因此阴影部分的周长为4。
【答案】
4
【知识点】
三角形内心、平移性质、等腰三角形判定
【点评】
本题结合三角形内心与平移的性质，通过几何推理构造等腰三角形，将所求周长转化为已知线段长度，重点考查学生的几何转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
5. 如图,已知一块等边三角形钢板 $ABC$ 的边长为 60 cm.
(1)用尺规作出从这块钢板上截得的最大圆(作出图形,保留作图痕迹),并求出此圆的半径.
(2)用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板,这个圆形纸板的最小半径是多少?
(1)用尺规作出从这块钢板上截得的最大圆(作出图形,保留作图痕迹),并求出此圆的半径.
(2)用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板,这个圆形纸板的最小半径是多少?
答案
5. (1)如图,⊙O即为所求.
在Rt△BEO中,BE=30 cm,∠OBE=30°,∴OE=10√3 cm,
∴⊙O的半径为10√3 cm.
(2)在Rt△BEO中,OB=2OE=20√3 cm,用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板,这个圆形纸板的最小半径是20√3 cm.
解析
【分析】
要解决本题，需明确：等边三角形内最大的圆是内切圆，完全覆盖它的最小圆是外接圆；等边三角形的内心（内切圆圆心）与外心（外接圆圆心）重合，均为三条角平分线的交点。解题思路：①用尺规作角平分线找到内切圆圆心，过圆心作一边的垂线得内切圆半径；②利用等边三角形的边长，结合含30°角的直角三角形的性质计算内切圆半径；③外接圆半径为圆心到顶点的距离，同样通过直角三角形性质计算。
【解析】
(1) 作等边三角形ABC的∠ABC和∠BAC的角平分线，交点为O；过O作OE⊥BC于E，则⊙O即为所求的最大圆。
∵△ABC是等边三角形，边长为60 cm，
∴BE = BC/2 = 30 cm，∠ABC = 60°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠OBE = 30°，
在Rt△BEO中，tan∠OBE = OE/BE，
∴OE = BE·tan30° = 30×(√3/3) = 10√3 (cm)，
即此圆的半径为10√3 cm。
(2) 完全覆盖等边三角形的最小圆是其外接圆，外接圆圆心为O，半径为OB。
在Rt△BEO中，∠OBE = 30°，
∴OB = 2OE = 2×10√3 = 20√3 (cm)，
即这个圆形纸板的最小半径是20√3 cm。
【答案】
(1) 作图见解析，⊙O即为所求，此圆半径为10√3 cm；(2) 这个圆形纸板的最小半径为20√3 cm。
【知识点】
等边三角形内切圆、等边三角形外接圆、尺规作图
【点评】
本题考查等边三角形内切圆与外接圆的性质，利用等边三角形“内心与外心重合”的特点，结合直角三角形的边角关系求解，是基础几何应用题，需掌握等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需明确：等边三角形内最大的圆是内切圆，完全覆盖它的最小圆是外接圆；等边三角形的内心（内切圆圆心）与外心（外接圆圆心）重合，均为三条角平分线的交点。解题思路：①用尺规作角平分线找到内切圆圆心，过圆心作一边的垂线得内切圆半径；②利用等边三角形的边长，结合含30°角的直角三角形的性质计算内切圆半径；③外接圆半径为圆心到顶点的距离，同样通过直角三角形性质计算。
【解析】
(1) 作等边三角形ABC的∠ABC和∠BAC的角平分线，交点为O；过O作OE⊥BC于E，则⊙O即为所求的最大圆。
∵△ABC是等边三角形，边长为60 cm，
∴BE = BC/2 = 30 cm，∠ABC = 60°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠OBE = 30°，
在Rt△BEO中，tan∠OBE = OE/BE，
∴OE = BE·tan30° = 30×(√3/3) = 10√3 (cm)，
即此圆的半径为10√3 cm。
(2) 完全覆盖等边三角形的最小圆是其外接圆，外接圆圆心为O，半径为OB。
在Rt△BEO中，∠OBE = 30°，
∴OB = 2OE = 2×10√3 = 20√3 (cm)，
即这个圆形纸板的最小半径是20√3 cm。
【答案】
(1) 作图见解析，⊙O即为所求，此圆半径为10√3 cm；(2) 这个圆形纸板的最小半径为20√3 cm。
【知识点】
等边三角形内切圆、等边三角形外接圆、尺规作图
【点评】
本题考查等边三角形内切圆与外接圆的性质，利用等边三角形“内心与外心重合”的特点，结合直角三角形的边角关系求解，是基础几何应用题，需掌握等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.5
6. 如图,一个含有$30^{\circ }$角的直角三角形内接于圆,D 是边 AC 上的点,$AD=2DC$,请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)在图1 中作直角三角形的外心 O.
(2)在图 2 中作直角三角形的内心 H.
(1)在图1 中作直角三角形的外心 O.
(2)在图 2 中作直角三角形的内心 H.
答案
6. (1)如图1,点O即为所求.
(2)如图2,点H即为所求. 
解析
【分析】
(1) 直角三角形的外心是其外接圆的圆心，根据圆周角定理：直角所对的弦是直径，因此该直角三角形的斜边AB是圆的直径，外心即为斜边AB的中点，只需找到AB的中点即可确定外心O。
(2) 三角形的内心是三条角平分线的交点，结合AD=2DC的条件，利用角平分线的性质，通过作直角三角形两个内角的角平分线，其交点即为内心H。
【解析】
(1) 因为直角三角形外接圆的圆心（外心）在斜边的中点，AB是圆的直径，取AB的中点O，点O就是直角三角形的外心。
(2) 内心是三角形三条角平分线的交点，结合图形，利用AD=2DC的关系，作出∠A和∠B的角平分线，两条角平分线的交点即为内心H。
【答案】
(1) 图1中AB的中点O；(2) 图2中两条角平分线的交点H。
【知识点】
三角形外心、三角形内心、直角三角形性质
【点评】
本题考查三角形外心和内心的作图，需掌握外心（斜边中点）和内心（角平分线交点）的定义，结合直角三角形的性质完成作图，属于基础作图题。
【难度系数】
0.5
(1) 直角三角形的外心是其外接圆的圆心，根据圆周角定理：直角所对的弦是直径，因此该直角三角形的斜边AB是圆的直径，外心即为斜边AB的中点，只需找到AB的中点即可确定外心O。
(2) 三角形的内心是三条角平分线的交点，结合AD=2DC的条件，利用角平分线的性质，通过作直角三角形两个内角的角平分线，其交点即为内心H。
【解析】
(1) 因为直角三角形外接圆的圆心（外心）在斜边的中点，AB是圆的直径，取AB的中点O，点O就是直角三角形的外心。
(2) 内心是三角形三条角平分线的交点，结合图形，利用AD=2DC的关系，作出∠A和∠B的角平分线，两条角平分线的交点即为内心H。
【答案】
(1) 图1中AB的中点O；(2) 图2中两条角平分线的交点H。
【知识点】
三角形外心、三角形内心、直角三角形性质
【点评】
本题考查三角形外心和内心的作图，需掌握外心（斜边中点）和内心（角平分线交点）的定义，结合直角三角形的性质完成作图，属于基础作图题。
【难度系数】
0.5
