1. 新素养 运算能力 解方程:$x^{2}-|x|-2=0.$

因为不论 x 取何值,总有 $x^{2}=|x|^{2}$,所以原方程可化为$|x|^{2}-|x|-2=0$,即$(|x|-2)(|x|+1)=0$.因为$|x|+1≠0$,所以$|x|-2=0$,所以$|x|=2$,所以$x=±2$.故原方程的解是$x_1=2,x_2=-2$.

2. 设$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+x-4=0$的两个实数根,求代数式$x_{1}^{3}-5x_{2}^{2}+10$的值.

因为$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+x-4=0$的两个实数根,所以$x_1+x_2=-1$,$x_1^2+x_1-4=0$,$x_2^2+x_2-4=0$,所以$x_1^2=4-x_1$,$x_2^2=4-x_2$,所以原式=$x_1(4-x_1)-5(4-x_2)+10=4x_1-x_1^2-20+5x_2+10=4x_1-(4-x_1)+5x_2-10=5(x_1+x_2)-14=5×(-1)-14=-19$.

3. 已知三个不同的实数 $a,b,c$ 满足 $a-b+c=3$, 关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+1=0$ 和 $x^2+bx+c=0$ 有一个相同的实数根, 关于 $x$ 的方程 $x^2+x+a=0$ 和 $x^2+cx+b=0$ 也有一个相同的实数根. 求 $a,b,$ $c$ 的值.

将方程$x^2+ax+1=0$,$x^2+bx+c=0$,$x^2+x+a=0$,$x^2+cx+b=0$依次编号为①②③④.设$x_1$是方程①②的一个相同的实数根,则$\begin{cases} x_1^2+ax_1+1=0, \\ x_1^2+bx_1+c=0. \end{cases}$因为$a≠b$,所以$x_1=\frac{c-1}{a-b}$.设$x_2$是方程③④的一个相同的实数根,则$\begin{cases} x_2^2+x_2+a=0, \\ x_2^2+cx_2+b=0, \end{cases}$所以$x_2=\frac{a-b}{c-1}$,所以$x_1x_2=1$.因为方程①的两根之积等于1,所以$x_2$也是方程①的根,所以$x_2^2+ax_2+1=0$.又$x_2^2+x_2+a=0$,所以$(a-1)x_2=a-1$.若$a=1$,则方程①无实数根,不合题意,所以$a≠1$,所以$x_2=1$,所以$1+1+a=0$,$1+c+b=0$,所以$a=-2$,$b+c=-1$.又$a-b+c=3$,所以$b=-3$,$c=2$.

4. 如果关于 $x$ 的方程 $(x-1)(x^2-2x+m)=0$ 的三根可以作为一个三角形的三边之长,求实数 $m$ 的取值范围.

因为$(x-1)(x^2-2x+m)=0$,所以$x=1$或$x^2-2x+m=0$.设$α,β$是方程$x^2-2x+m=0$的两个根,则$(-2)^2-4m≥0$,解得$m≤1$.由一元二次方程的根与系数的关系,得$α+β=2$,$αβ=m$.由题意,得$|α-β|＜1$,所以$(α-β)^2＜1$,所以$(α+β)^2-4αβ＜1$,所以$4-4m＜1$,解得$m＞\frac{3}{4}$.故实数$m$的取值范围为$\frac{3}{4}＜m≤1$.

5. 已知关于 $x$ 的两个一元二次方程: $(1+\dfrac{k}{2})x^{2}+(k+2)x-1=0$ ①; $x^{2}+(2k+1)x-2k-3=0$ ②.
(1) 若方程①有两个相等的实数根,求 $k$ 的值;
(2) 若方程①和②有一个公共根 $a$,求代数式 $(2a^{2}+8a-4)k+6a^{2}+10a$ 的值.

(1) 因为关于 $x$ 的一元二次方程$(1+\frac{k}{2})x^2+(k+2)x-1=0$有两个相等的实数根,所以$(k+2)^2-4×(1+\frac{k}{2})×(-1)=0$且$1+\frac{k}{2}≠0$,所以$k=-4$.
(2) 因为方程$(1+\frac{k}{2})x^2+(k+2)x-1=0$和$x^2+(2k+1)x-2k-3=0$有一个公共根$a$,所以$(1+\frac{k}{2})a^2+(k+2)a-1=0$①,$a^2+(2k+1)a-2k-3=0$②.①×2+②,得$(k+3)a^2+(4k+5)a-2k-5=0$,所以$(a^2+4a-2)k+3a^2+5a-5=0$,所以$(a^2+4a-2)k+3a^2+5a=5$,所以原式$=2[(a^2+4a-2)k+3a^2+5a]=2×5=10$.