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12. [2025德阳月考] 如图，在$△ ABC$中，$BD$，$BE$分别是$△ ABC$的高线和角平分线，点$F$在$CA$的延长线上，$FH⊥ BE$交$BD$于点$G$，交$BC$于点$H$. 有下列结论：
①$∠ DBE=∠ F$；
②$∠ BEF=\dfrac{1}{2}(∠ BAF+∠ C)$；
③$∠ FGD=\dfrac{1}{2}(∠ ABE+∠ C)$；
④$∠ F=\dfrac{1}{2}(∠ BAC-∠ C)$.
其中正确的是
①$∠ DBE=∠ F$；
②$∠ BEF=\dfrac{1}{2}(∠ BAF+∠ C)$；
③$∠ FGD=\dfrac{1}{2}(∠ ABE+∠ C)$；
④$∠ F=\dfrac{1}{2}(∠ BAC-∠ C)$.
其中正确的是
①②④
.答案
12. ①②④ 【点拨】
∵BD⊥FD，FH⊥BE，
∴易知∠FGD＋∠F＝90°，∠BGH＋∠DBE＝90°.
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠BEF＝∠CBE＋∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC＋2∠C.
∵∠BAF＝∠ABC＋∠C，
∴∠BEF＝1/2(∠BAF＋∠C)，故②正确；
∵∠AEB＝∠EBC＋∠C，∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE＋∠C.
∵BD⊥FD，FH⊥BE，
∴易知∠FGD＝∠FEB.
∴∠FGD＝∠ABE＋∠C，故③错误；
∵∠ABD＝90°－∠BAC，∠ABE＝∠CBE＝∠CBD－∠DBE，
∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝∠CBD－∠DBE－90°＋∠BAC.
∵∠CBD＝90°－∠C，
∴∠DBE＝∠BAC－∠C－∠DBE，即2∠DBE＝∠BAC－∠C，
∵∠DBE＝∠F，
∴∠F＝1/2(∠BAC－∠C)，故④正确.综上所述，正确的有①②④.
∵BD⊥FD，FH⊥BE，
∴易知∠FGD＋∠F＝90°，∠BGH＋∠DBE＝90°.
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠BEF＝∠CBE＋∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC＋2∠C.
∵∠BAF＝∠ABC＋∠C，
∴∠BEF＝1/2(∠BAF＋∠C)，故②正确；
∵∠AEB＝∠EBC＋∠C，∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE＋∠C.
∵BD⊥FD，FH⊥BE，
∴易知∠FGD＝∠FEB.
∴∠FGD＝∠ABE＋∠C，故③错误；
∵∠ABD＝90°－∠BAC，∠ABE＝∠CBE＝∠CBD－∠DBE，
∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝∠CBD－∠DBE－90°＋∠BAC.
∵∠CBD＝90°－∠C，
∴∠DBE＝∠BAC－∠C－∠DBE，即2∠DBE＝∠BAC－∠C，
∵∠DBE＝∠F，
∴∠F＝1/2(∠BAC－∠C)，故④正确.综上所述，正确的有①②④.
三、解答题（共52分）
13.（10分）母题 教材P22复习题T7如图，在$△ ABC$中，$AB＞AC$，$AD$是角平分线，$AE$是高，$AE=CE$，$∠ DAE=10°$，求$∠ CAE$和$∠ B$的度数.
13.（10分）母题 教材P22复习题T7如图，在$△ ABC$中，$AB＞AC$，$AD$是角平分线，$AE$是高，$AE=CE$，$∠ DAE=10°$，求$∠ CAE$和$∠ B$的度数.
答案
13.【解】由题知∠AEC＝90°，AE＝CE，
∴∠C＝∠CAE＝45°.
∵∠DAE＝10°，
∴∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝45°＋10°＝55°.又
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠CAD＝110°.
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－110°－45°＝25°.
∴∠C＝∠CAE＝45°.
∵∠DAE＝10°，
∴∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝45°＋10°＝55°.又
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠CAD＝110°.
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－110°－45°＝25°.
14. (12分)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$a=2,b=5$.
(1)求第三边长$c$的取值范围；
(2)若$△ ABC$的周长是奇数，求$c$的值；
(3)若第三边长$c$为奇数，求$c$的值，并判断此时$△ ABC$的形状.
(1)求第三边长$c$的取值范围；
(2)若$△ ABC$的周长是奇数，求$c$的值；
(3)若第三边长$c$为奇数，求$c$的值，并判断此时$△ ABC$的形状.
答案
14.【解】(1)根据三角形的三边关系，得5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7.(2)由(1)知3＜c＜7.
∵△ABC的周长是奇数，且a＋b＝7，
∴c＝4或6.(3)由(1)知3＜c＜7.
∵第三边长c为奇数，
∴c＝5.
∵b＝5，
∴b＝c，
∴△ABC为等腰三角形.【点方法】已知某三条线段能围成一个三角形，则其中任何一边都小于另两边之和，大于另两边之差，据此可以解决“已知两边长，求第三边长的取值范围”的问题.
∵△ABC的周长是奇数，且a＋b＝7，
∴c＝4或6.(3)由(1)知3＜c＜7.
∵第三边长c为奇数，
∴c＝5.
∵b＝5，
∴b＝c，
∴△ABC为等腰三角形.【点方法】已知某三条线段能围成一个三角形，则其中任何一边都小于另两边之和，大于另两边之差，据此可以解决“已知两边长，求第三边长的取值范围”的问题.
15.（15分）[2025汕头期中] 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=4\ \mathrm{cm},BC=3\ \mathrm{cm},AB=5\ \mathrm{cm}$,若动点$P$从点$C$开始,按$C→A→B→C$的路径运动,且速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)当$t=$
(2)当$t$为何值时,$CP$把$△ ABC$的面积分成相等的两部分?
(3)当$P$在$AC$上运动,$t$为何值时,$△ BCP$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$?
(1)当$t=$
3
时,$CP$把$△ ABC$的周长分成相等的两部分;(2)当$t$为何值时,$CP$把$△ ABC$的面积分成相等的两部分?
(3)当$P$在$AC$上运动,$t$为何值时,$△ BCP$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$?
答案
15.【解】(1)3
(2)当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，P为AB的中点，
∴点P运动的路程为4＋5/2＝13/2(cm)，
∴t＝13/2÷2＝13/4，
∴当t＝13/4时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分.
(3)当P在AC上时，PC＝2t cm.
∵△BCP的面积为4 cm²，
∴1/2×3×2t＝4，解得t＝4/3，
∴当t＝4/3时，△BCP的面积为4 cm².
(2)当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，P为AB的中点，
∴点P运动的路程为4＋5/2＝13/2(cm)，
∴t＝13/2÷2＝13/4，
∴当t＝13/4时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分.
(3)当P在AC上时，PC＝2t cm.
∵△BCP的面积为4 cm²，
∴1/2×3×2t＝4，解得t＝4/3，
∴当t＝4/3时，△BCP的面积为4 cm².
16.（15分）新视角 主题探究题 在$△ ABC$中，$∠ ACB$为最大角且$∠ ACB≠90°$，高$BD$和$CE$所在的直线交于点$H$.
(1)$∠ BHC$和$∠ A$有什么关系？写出探究过程；
(2)【探究归纳】非直角三角形的两条边上的高所在的直线所形成的角与第三边所对的角________；
(3)【模型应用】在钝角三角形$ABC$中，$∠ A=45°$，高$BD$和$CE$所在的直线交于点$H$，则$∠ BHC$的度数为________.
(1)$∠ BHC$和$∠ A$有什么关系？写出探究过程；
(2)【探究归纳】非直角三角形的两条边上的高所在的直线所形成的角与第三边所对的角________；
(3)【模型应用】在钝角三角形$ABC$中，$∠ A=45°$，高$BD$和$CE$所在的直线交于点$H$，则$∠ BHC$的度数为________.
答案
16.【解】(1)∠BHC＋∠A＝180°或∠BHC＝∠A.
当∠ACB＜90°时，△ABC为锐角三角形，如图①所示.
∵CE⊥AB，
∴∠ABD＋∠BHE＝90°.
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＋∠A＝90°.
∴∠A＝∠BHE.
∵∠BHC＋∠BHE＝180°，
∴∠BHC＋∠A＝180°.
当∠ACB＞90°时，△ABC为钝角三角形，如图②所示.
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BHC＋∠ABD＝90°.
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°.
∴∠BHC＝∠A.
(2)相等或互补
(3)45°
