1[2026浙江杭州调研]若一个圆内接正多边形的内角是$144°$,则这个多边形是（）

A.正五边形
B.正六边形
C.正八边形
D.正十边形

设正多边形的边数为 n.
∵ 正多边形的每个内角是 144°,
∴ $\frac{(n-2)×180}{n}=144$,解得 n = 10,则这个正多边形的边数为 10,故选 D.

2 [2025 江苏南京期末]如图，AE,DF是正八边形ABCDEFGH的两条对角线，则$\frac{AE}{DF}=$。

设正八边形ABCDEFGH的中心为点O,连结OF,OD, .
∵ 多边形ABCDEFGH 为正八边形,
∴ $∠ DOF = 360° × \frac{2}{8} = 90°$. 设$OD=OF=a$,则$AE=2a$, $DF= \sqrt{OF^2+OD^2}=\sqrt{2}a$,$\therefore \frac{AE}{DF}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$,故答案为$\sqrt{2}$.

3[2026上海嘉定区期末]已知正五边形ABCDE,请仅用无刻度的直尺作图,并完成相应的任务（保留作图痕迹,不写作法）.
【初步感知】
(1)如图(1),请直接写出∠ABE的度数；
【实践探究】
(2)请在图(1)中作出以BE为对角线的菱形ABME,并证明你的结论；
【拓展延伸】
(3)请在图(2)正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形$A_1B_1C_1D_1E_1$.（不需要证明）

(1) $∠ ABE = 36°$. $\because AB = AE$, $∠ A = \frac{(5-2)×180°}{5}=108°$, $\therefore ∠ ABE= ∠ AEB = \frac{1}{2} ×(180°-108°)= 36°$.
(2)如图(1),连结 BD,CE 相交于点 M,菱形 ABME 即为所求.
证明:在正五边形 ABCDE 中,每个内角都相等且等于$108°$,每条边都相等,则易得$△ ABE ≌ △ CBD$,$\therefore ∠ ABE= ∠ CBD$. $\because ∠ ABE= 36°$,$\therefore ∠ CBD= 36°$,$\therefore ∠ DBE = ∠ ABC - ∠ ABE - ∠ CBD = 108°- 36°-36°= 36°$,$\therefore ∠ AEB = ∠ DBE$,$\therefore AE// BD$,同理可证$AB// CE$,$\therefore$ 四边形 ABME 为平行四边形. 又$\because AE =AB$,$\therefore$ 四边形 ABME 为菱形.
(3)如图(2),正五边形$A_1B_1C_1D_1E_1$即为所求.(答案不唯一)

4[2026浙江杭州质检]如图,点A,B,C,D为一个正多边形的顶点,点O为正多边形的中心,若∠ADB=20°,则这个正多边形的边数为 ()

A.9
B.10
C.18
D.20

(第4题图)
(第5题图)

$\because A,B,C,D$为一个正多边形的顶点,$O$为正多边形的中心,$\therefore$ 点$A,B,C,D$ 在以点 $O$ 为圆心,$OA$ 为半径的圆上. $\because ∠ ADB = 20°$,$\therefore ∠ AOB=2∠ ADB=40°$,$\therefore$ 这个正多边形的边数为$\frac{360°}{40°}=9$,故选 A.

5[2025 浙江嘉兴期中]如图，$\odot O$是正六边形$ABCDEF$的外接圆，若$\odot O$的半径为6，则四边形$ACDF$的周长是（）

A.$6+6\sqrt{3}$
B.$12+6\sqrt{3}$
C.$12+12\sqrt{3}$
D.$6+12\sqrt{3}$

如图,连结 $OA,OF,OD$,过点 $O$ 作 $OM ⊥ DF$ 于点$M$,则 $FM = DM = \frac{1}{2} DF$. $\because$ 点 $O$是正六边形 $ABCDEF$ 的中心,$\therefore ∠ AOF = \frac{360°}{6} = 60°$. $\because OA =OF$,$\therefore △ AOF$ 是正三角形, $\therefore ∠ AFO = 60°$, $AF =OA=6$. 易得$∠ AFD=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ FOM$ 中,$∠ OFM=90°-60°=30°$,$OF=6$,$\therefore OM=\frac{1}{2} OF=3$,$\therefore FM=3\sqrt{3}$,$\therefore DF=2FM=6\sqrt{3}$. 由圆内接正多边形的对称性可知,四边形 $ACDF$ 的周长是 $2AF + 2DF = 12 +12\sqrt{3}$. 故选 C.

6 如图,正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于$\odot O$,连结BG,则弦BG所对圆周角的度数为.

如图,连结$OA,OB,OG$. 由题意得,$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$,$∠ AOG=\frac{360°}{4}=90°$,$\therefore ∠ BOG = ∠ AOG - ∠ AOB =90°-60°=30°$,$\therefore$ 易得弦 $BG$ 所对圆周角的度数为 $15°$或 $165°$. 故答案为 $15°$或 $165°$.

7 已知:$\odot O$与$\odot O$上的一点A,如图.
(1)求作:$\odot O$的内接正六边形ABCDEF;(要求:尺规作图,不写作法但保留作图痕迹)
(2)连结CE,BF,判断四边形BCEF是否为矩形,并说明理由.

(1)如图,正六边形ABCDEF即为所求.
(2)四边形 BCEF 为矩形. 理由:连结 BE, 如图. $\because$ 六边形$ABCDEF$ 为正六边形,$\therefore AB =BC = CD = DE = EF = FA$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{AF}$,$\therefore \overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}+\overset{\frown}{AF}+\overset{\frown}{AB}$,$\therefore \overset{\frown}{BAE}=\overset{\frown}{BCE}$,$\therefore BE$ 为$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BFE=∠ BCE=90°$,同理可得$∠ FBC=∠ CEF=90°$,$\therefore$ 四边形 $BCEF$ 为矩形.