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10.某快递公司每天上午9:00-10:00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快递，乙仓库用来派发快递，该时段内甲、乙两仓库的快递数量y(单位:件)与时间x(单位:min)之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递数量相同时，此时的时间为
9:20
。答案
10.9:20
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先需要从图象中提取甲、乙两个函数的已知点坐标，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库快递数量y与时间x的一次函数解析式，再令两个解析式的y值相等，解出对应的x值（x代表9:00之后经过的分钟数），即可得到两仓库快递数量相同的时间。
【解析】
解：设甲仓库的快递数量y与时间x的函数解析式为$ y = k_1x + b_1 $，
由图象可知，函数甲过点$(0,40)$和$(60,400)$，代入解析式得：
$\begin{cases} b_1 = 40 \\ 60k_1 + b_1 = 400 \end{cases}$
解得$ k_1 = 6 $，$ b_1 = 40 $，因此甲的解析式为$ y = 6x + 40 $（$ 0 ≤ x ≤ 60 $）。
设乙仓库的快递数量y与时间x的函数解析式为$ y = k_2x + b_2 $，
由图象可知，函数乙过点$(0,240)$和$(60,0)$，代入解析式得：
$\begin{cases} b_2 = 240 \\ 60k_2 + b_2 = 0 \end{cases}$
解得$ k_2 = -4 $，$ b_2 = 240 $，因此乙的解析式为$ y = -4x + 240 $（$ 0 ≤ x ≤ 60 $）。
当两仓库快递数量相同时，$ 6x + 40 = -4x + 240 $，
移项合并同类项得$ 10x = 200 $，解得$ x = 20 $。
即9:00经过20分钟后对应的时间为9:20。
【答案】
9:20
【知识点】
待定系数法求一次函数，一次函数实际应用，一元一次方程解法
【点评】
本题是典型的函数图象信息应用题，解题核心是从图象中提取有效坐标信息，先求出两个一次函数解析式，再结合数量相等的条件列方程求解，能够很好地考查学生的读图能力和运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们首先需要从图象中提取甲、乙两个函数的已知点坐标，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库快递数量y与时间x的一次函数解析式，再令两个解析式的y值相等，解出对应的x值（x代表9:00之后经过的分钟数），即可得到两仓库快递数量相同的时间。
【解析】
解：设甲仓库的快递数量y与时间x的函数解析式为$ y = k_1x + b_1 $，
由图象可知，函数甲过点$(0,40)$和$(60,400)$，代入解析式得：
$\begin{cases} b_1 = 40 \\ 60k_1 + b_1 = 400 \end{cases}$
解得$ k_1 = 6 $，$ b_1 = 40 $，因此甲的解析式为$ y = 6x + 40 $（$ 0 ≤ x ≤ 60 $）。
设乙仓库的快递数量y与时间x的函数解析式为$ y = k_2x + b_2 $，
由图象可知，函数乙过点$(0,240)$和$(60,0)$，代入解析式得：
$\begin{cases} b_2 = 240 \\ 60k_2 + b_2 = 0 \end{cases}$
解得$ k_2 = -4 $，$ b_2 = 240 $，因此乙的解析式为$ y = -4x + 240 $（$ 0 ≤ x ≤ 60 $）。
当两仓库快递数量相同时，$ 6x + 40 = -4x + 240 $，
移项合并同类项得$ 10x = 200 $，解得$ x = 20 $。
即9:00经过20分钟后对应的时间为9:20。
【答案】
9:20
【知识点】
待定系数法求一次函数，一次函数实际应用，一元一次方程解法
【点评】
本题是典型的函数图象信息应用题，解题核心是从图象中提取有效坐标信息，先求出两个一次函数解析式，再结合数量相等的条件列方程求解，能够很好地考查学生的读图能力和运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
11.新考向 情境题 砀山酥梨是安徽名优特产，具有千年历史，是中国传统三大名梨之首.某水果经销商计划购进A，B两种等级的砀山酥梨共600 kg进行售卖，其进价和售价如下表：
等级 进价/(元/kg) 售价/(元/kg)
A 10
16
B 6 10
设该经销商购进A等级的砀山酥梨x kg，两种等级的砀山酥梨全部售出后获得的利润为y元.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)经过市场调研，该经销商决定购进A等级砀山酥梨的质量不大于B等级的2倍，请求出获利最大的进货方案及最大利润.
等级 进价/(元/kg) 售价/(元/kg)
A 10
16B 6 10
设该经销商购进A等级的砀山酥梨x kg，两种等级的砀山酥梨全部售出后获得的利润为y元.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)经过市场调研，该经销商决定购进A等级砀山酥梨的质量不大于B等级的2倍，请求出获利最大的进货方案及最大利润.
答案
11.解:(1)根据题意可知,该经销商购进B等级的砀山酥梨$(600-x)\mathrm{kg}$,则$y=(16-10)x+(10-6)(600-x)=2x+2400$.
所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=2x+2400(0＜x＜600)$.
(2)由题意,得$x≤ 2(600-x)$,解得$x≤ 400$.
又因为$0＜x＜600$,所以$x$的取值范围为$0＜x≤ 400$.
因为在$y=2x+2400$中,$2＞0$,所以$y$随$x$的增大而增大.
所以当$x=400$时,$y$取得最大值,最大值为$2×400+2400=3200$,此时$600-x=200$.
所以获利最大的进货方案是购进A等级砀山酥梨400 kg,B等级砀山酥梨200 kg,最大利润为3200元.
所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=2x+2400(0＜x＜600)$.
(2)由题意,得$x≤ 2(600-x)$,解得$x≤ 400$.
又因为$0＜x＜600$,所以$x$的取值范围为$0＜x≤ 400$.
因为在$y=2x+2400$中,$2＞0$,所以$y$随$x$的增大而增大.
所以当$x=400$时,$y$取得最大值,最大值为$2×400+2400=3200$,此时$600-x=200$.
所以获利最大的进货方案是购进A等级砀山酥梨400 kg,B等级砀山酥梨200 kg,最大利润为3200元.
解析
【分析】
(1) 推导总利润y和A等级酥梨重量x的函数关系时，先明确总利润等于A等级酥梨总利润加B等级酥梨总利润，每类酥梨的单位利润为售价减进价。已知总进货量为600kg，因此B等级酥梨重量为(600-x)kg，分别计算两类酥梨的总利润相加即可得到函数式，x的取值需满足两类酥梨重量均为正，即可得到x的取值范围。
(2) 先根据“A等级砀山酥梨的质量不大于B等级的2倍”列出不等式，求出x的取值上限，结合第一问的x范围得到最终的可行区间。再根据一次函数的增减性，判断y取最大值时x的取值，代入计算即可得到最大利润和对应的进货方案。
【解析】
(1) 已知购进A等级砀山酥梨$x\ \mathrm{kg}$，则购进B等级砀山酥梨$(600-x)\ \mathrm{kg}$。
每千克A等级酥梨的利润为$16-10=6$元，每千克B等级酥梨的利润为$10-6=4$元。
总利润$y=6x+4(600-x)$，化简得$y=2x+2400$。
因为购进的两种酥梨重量均为正，所以$x$的取值范围是$0＜x＜600$。
(2) 根据题意可得不等式：
$x≤ 2(600-x)$
解不等式：$x≤ 1200-2x$，即$3x≤ 1200$，解得$x≤ 400$。
结合第一问的$0＜x＜600$，得$x$的取值范围为$0＜x≤ 400$。
在一次函数$y=2x+2400$中，$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，当$x$取最大值400时，$y$取得最大值。
将$x=400$代入函数式，得$y=2×400+2400=3200$元，此时B等级酥梨重量为$600-400=200\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+2400(0＜x＜600)}$；
(2) 获利最大的进货方案是购进A等级砀山酥梨400 kg，B等级砀山酥梨200 kg，最大利润为3200元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质
【点评】
本题结合实际销售情境出题，综合考查函数与不等式的相关知识，解题核心是先根据利润计算逻辑列出正确的函数关系式，再结合限制条件确定自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性求解最值，能够很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 推导总利润y和A等级酥梨重量x的函数关系时，先明确总利润等于A等级酥梨总利润加B等级酥梨总利润，每类酥梨的单位利润为售价减进价。已知总进货量为600kg，因此B等级酥梨重量为(600-x)kg，分别计算两类酥梨的总利润相加即可得到函数式，x的取值需满足两类酥梨重量均为正，即可得到x的取值范围。
(2) 先根据“A等级砀山酥梨的质量不大于B等级的2倍”列出不等式，求出x的取值上限，结合第一问的x范围得到最终的可行区间。再根据一次函数的增减性，判断y取最大值时x的取值，代入计算即可得到最大利润和对应的进货方案。
【解析】
(1) 已知购进A等级砀山酥梨$x\ \mathrm{kg}$，则购进B等级砀山酥梨$(600-x)\ \mathrm{kg}$。
每千克A等级酥梨的利润为$16-10=6$元，每千克B等级酥梨的利润为$10-6=4$元。
总利润$y=6x+4(600-x)$，化简得$y=2x+2400$。
因为购进的两种酥梨重量均为正，所以$x$的取值范围是$0＜x＜600$。
(2) 根据题意可得不等式：
$x≤ 2(600-x)$
解不等式：$x≤ 1200-2x$，即$3x≤ 1200$，解得$x≤ 400$。
结合第一问的$0＜x＜600$，得$x$的取值范围为$0＜x≤ 400$。
在一次函数$y=2x+2400$中，$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，当$x$取最大值400时，$y$取得最大值。
将$x=400$代入函数式，得$y=2×400+2400=3200$元，此时B等级酥梨重量为$600-400=200\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+2400(0＜x＜600)}$；
(2) 获利最大的进货方案是购进A等级砀山酥梨400 kg，B等级砀山酥梨200 kg，最大利润为3200元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质
【点评】
本题结合实际销售情境出题，综合考查函数与不等式的相关知识，解题核心是先根据利润计算逻辑列出正确的函数关系式，再结合限制条件确定自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性求解最值，能够很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
12.综合与实践：
背景素材
自制杆秤
如图,称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得:$(m_0 + m) · l = M · (a + y)$,其中秤盘质量为$m_0$ g,重物质量为$m$ g,秤砣质量为$M$ g,秤纽与秤盘的水平距离为$l$ cm,秤纽与零刻线的水平距离为$a$ cm,秤砣与零刻线的水平距离为$y$ cm.
设计简易杆秤要求:设定$m_0 = 10, M = 50$,最大可称重物质量为1000 g,零刻线与末刻线的距离定为50 cm.
任务一
问题解决
确定$l$和$a$的值
(1)当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,则关于$l,a$的方程为
(2)当秤盘放入质量为1000 g的重物,秤砣从零刻线移至末刻线时,杆秤平衡,则关于$l,a$的方程为
(3)根据(1)和(2)所列方程,求出$l$和$a$的值.
任务二
确定刻线的位置
(4)根据任务一,求$y$与$m$之间的函数表达式.
(5)从零刻线开始,每隔100 g在秤杆上取一个刻线,则两个相邻刻线间的距离为
背景素材
自制杆秤
如图,称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得:$(m_0 + m) · l = M · (a + y)$,其中秤盘质量为$m_0$ g,重物质量为$m$ g,秤砣质量为$M$ g,秤纽与秤盘的水平距离为$l$ cm,秤纽与零刻线的水平距离为$a$ cm,秤砣与零刻线的水平距离为$y$ cm.
设计简易杆秤要求:设定$m_0 = 10, M = 50$,最大可称重物质量为1000 g,零刻线与末刻线的距离定为50 cm.
任务一
问题解决
确定$l$和$a$的值
(1)当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,则关于$l,a$的方程为
$l=5a$
.(2)当秤盘放入质量为1000 g的重物,秤砣从零刻线移至末刻线时,杆秤平衡,则关于$l,a$的方程为
$101l-5a=250$
.(3)根据(1)和(2)所列方程,求出$l$和$a$的值.
任务二
确定刻线的位置
(4)根据任务一,求$y$与$m$之间的函数表达式.
(5)从零刻线开始,每隔100 g在秤杆上取一个刻线,则两个相邻刻线间的距离为
$5$
cm.答案
12.解:(1)$l=5a$
(2)$101l-5a=250$
(3)解方程组$\begin{cases}l=5a, \\101l-5a=250,\end{cases}$得$\begin{cases}l=2.5, \\a=0.5.\end{cases}$
(4)由(3)可知$l=2.5$,$a=0.5$,
所以$2.5(10+m)=50(0.5+y)$,
所以$y=\frac{1}{20}m$,即$y$与$m$之间的函数表达式为$y=\frac{1}{20}m$.
(5)5
(2)$101l-5a=250$
(3)解方程组$\begin{cases}l=5a, \\101l-5a=250,\end{cases}$得$\begin{cases}l=2.5, \\a=0.5.\end{cases}$
(4)由(3)可知$l=2.5$,$a=0.5$,
所以$2.5(10+m)=50(0.5+y)$,
所以$y=\frac{1}{20}m$,即$y$与$m$之间的函数表达式为$y=\frac{1}{20}m$.
(5)5
解析
【分析】
解题时结合题目给出的杠杆平衡公式，依次提取每个小问的已知条件代入公式推导即可：
1. 第(1)问：不放重物即$m=0$，秤砣在零刻线即$y=0$，结合已知$m_0=10$、$M=50$代入给定公式，化简即可得到关于$l$、$a$的方程；
2. 第(2)问：重物质量$m=1000\mathrm{g}$，秤砣在末刻线即$y=50\mathrm{cm}$，同样代入给定公式，化简得到另一个关于$l$、$a$的方程；
3. 第(3)问：将前两问得到的两个方程组成二元一次方程组，用代入消元法求解即可得到$l$、$a$的值；
4. 第(4)问：把求出的$l$、$a$和已知的$m_0$、$M$代入原式，整理为用含$m$的代数式表示$y$的形式，就是所求函数表达式；
5. 第(5)问：相邻刻线对应的重物质量差为$100\mathrm{g}$，代入函数表达式求$y$的差值，即可得到相邻刻线的距离。
【解析】
(1) 当秤盘不放重物时$m=0$，秤砣在零刻线时$y=0$，将$m=0$、$y=0$、$m_0=10$、$M=50$代入公式$(m_0 + m) · l = M · (a + y)$，得：
$(10+0)l=50(a+0)$，化简得$10l=50a$，即$l=5a$。
(2) 当放入质量为$1000\mathrm{g}$的重物时$m=1000$，秤砣在末刻线时$y=50$，代入公式得：
$(10+1000)l=50(a+50)$，整理得$1010l=50a+2500$，两边同除以10得$101l-5a=250$。
(3) 联立(1)(2)的方程得方程组：
$\begin{cases}l=5a&① \\101l-5a=250&②\end{cases}$
将①代入②，得$101×5a -5a=250$，即$500a=250$，解得$a=0.5$。
把$a=0.5$代入①，得$l=5×0.5=2.5$。
(4) 将$l=2.5$、$a=0.5$、$m_0=10$、$M=50$代入原公式，得：
$2.5(10+m)=50(0.5+y)$
两边同除以$2.5$得：$10+m=20(0.5+y)$，展开整理得$20y=m$，即$y=\frac{1}{20}m$。
(5) 相邻两个刻线对应的重物质量差为$100\mathrm{g}$，代入函数表达式得$y$的差值为$\frac{1}{20}×100=5\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$l=5a$
(2)$101l-5a=250$
(3)$\begin{cases}l=2.5 \\a=0.5\end{cases}$
(4)$y=\frac{1}{20}m$
(5)$5$
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数应用，代数式求值
【点评】
本题以生活中常见的杆秤为背景，结合杠杆原理考查代数知识的实际应用，解题关键是准确提取题干给出的对应条件，代入公式逐步推导计算，整体计算量小，注重对信息提取能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时结合题目给出的杠杆平衡公式，依次提取每个小问的已知条件代入公式推导即可：
1. 第(1)问：不放重物即$m=0$，秤砣在零刻线即$y=0$，结合已知$m_0=10$、$M=50$代入给定公式，化简即可得到关于$l$、$a$的方程；
2. 第(2)问：重物质量$m=1000\mathrm{g}$，秤砣在末刻线即$y=50\mathrm{cm}$，同样代入给定公式，化简得到另一个关于$l$、$a$的方程；
3. 第(3)问：将前两问得到的两个方程组成二元一次方程组，用代入消元法求解即可得到$l$、$a$的值；
4. 第(4)问：把求出的$l$、$a$和已知的$m_0$、$M$代入原式，整理为用含$m$的代数式表示$y$的形式，就是所求函数表达式；
5. 第(5)问：相邻刻线对应的重物质量差为$100\mathrm{g}$，代入函数表达式求$y$的差值，即可得到相邻刻线的距离。
【解析】
(1) 当秤盘不放重物时$m=0$，秤砣在零刻线时$y=0$，将$m=0$、$y=0$、$m_0=10$、$M=50$代入公式$(m_0 + m) · l = M · (a + y)$，得：
$(10+0)l=50(a+0)$，化简得$10l=50a$，即$l=5a$。
(2) 当放入质量为$1000\mathrm{g}$的重物时$m=1000$，秤砣在末刻线时$y=50$，代入公式得：
$(10+1000)l=50(a+50)$，整理得$1010l=50a+2500$，两边同除以10得$101l-5a=250$。
(3) 联立(1)(2)的方程得方程组：
$\begin{cases}l=5a&① \\101l-5a=250&②\end{cases}$
将①代入②，得$101×5a -5a=250$，即$500a=250$，解得$a=0.5$。
把$a=0.5$代入①，得$l=5×0.5=2.5$。
(4) 将$l=2.5$、$a=0.5$、$m_0=10$、$M=50$代入原公式，得：
$2.5(10+m)=50(0.5+y)$
两边同除以$2.5$得：$10+m=20(0.5+y)$，展开整理得$20y=m$，即$y=\frac{1}{20}m$。
(5) 相邻两个刻线对应的重物质量差为$100\mathrm{g}$，代入函数表达式得$y$的差值为$\frac{1}{20}×100=5\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$l=5a$
(2)$101l-5a=250$
(3)$\begin{cases}l=2.5 \\a=0.5\end{cases}$
(4)$y=\frac{1}{20}m$
(5)$5$
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数应用，代数式求值
【点评】
本题以生活中常见的杆秤为背景，结合杠杆原理考查代数知识的实际应用，解题关键是准确提取题干给出的对应条件，代入公式逐步推导计算，整体计算量小，注重对信息提取能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
